Теорема о взаимности перемещений (принцип

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТЕРЖНЕВЫХ

СистемАХ. МЕТОД СИЛ

 

 

§ 14.1. Теорема о взаимности работ (теорема Бетти)

 

Рис.14.1

На горизонтальную балку АВ приложим статически силу Р 1. Балка прогнется и займет положение пунктирной линии, сила Р 1 совершит работу А 11= Р 1Δ11/2. Далее приложим статически силу Р 2, балка еще прогнется (сплошная линия), сила

Р ₂ совершит работу А ₂₂ = Р ₂Δ₂₂/2. При этом сила , постоянная на перемещении , совершит работу . Суммарная работа А при этом будет

А = А ₁₁ + А ₁₂ + А ₂₂ = Р ₁Δ₁₁/2 + Р ₁Δ₁₂ + Р ₂Δ₂₂/2. (14.1)

Здесь: Δ₁₁- перемещение по направлению Р ₁ от Р ₁;

Δ₁₂ – перемещение по направлению Р ₁ от Р ₂;

Δ₂₁ – перемещение по направлению Р ₂ от Р ₁;

Δ₂₂ – перемещение по направлению Р ₂ от Р ₂.

По принципу независимости действия сил, суммарную деформацию балки (сплошная линия) можно получить одновременно статически прикладывая Р ₁ и Р ₂. При этом получим ту же работу А:

А = Р ₁(Δ₁₁+Δ₁₂)/2 + Р ₂(Δ₂₁+ Δ₂₂)/2. (14.2)

Приравнивая (14.1) и (14.2) получим

Р ₁Δ₁₂ = Р ₂ Δ₂₁, или А ₁₂ = А ₂₁. (14.3)

Итак: Работа Р ₁ по ее направлению на перемещение (Δ₁₂), вызванном Р ₂, равна работе Р ₂ по ее направлению на перемещение (Δ₂₁), вызванном Р ₁.Это и есть теорема Бетти. Эта теорема справедлива и в случае, когда под Р ₁ и Р ₂ подразумеваются системы нагрузок.

Теорема о взаимности перемещений (принцип

Максвелла)

 

Пусть на балку (рис. 14.1) приложены силы Р ₁ = Р ₂ = 1. Перемещения от этих единичных сил будем обозначать . С учетом (14.3) можно записать

, т.к. Р ₁ = Р ₂ = 1 получим

. (14.4)

Это и есть принцип Максвелла: для двух единичных нагружений упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванной первой силой.

 

 

§ 14.3. Формула перемещений (Мора)

 

В разделе 3, формула (3.18), показано, что потенциальная энергия деформации при растяжении (сжатии) стержня силой равна

. (14.5)

В разделе 5, формула (5.21), показано, что при изгибе стержня энергия .

В общем случае можно записать, допуская, что изгиб М может быть и относительно оси х () и относительно оси у (),

. (14.6)

Полагаем, что деформации стержней малы, материал их подчиняется закону Гука, потерь энергии нет и работы , определенные выше, переходят в потенциальные энергии , т.е. , где i = 1,2 и j = 1,2.

От нагрузки Р₁ в каждом стержне конструкции появляются N = N ₁ и М = М ₁. С учетом (14.5) и (14.6) и т.к. получим

. (1)

Здесь интегрирования надо вести по длине каждого стержня, а потом суммировать по всем стержням конструкции.

От нагрузки Р ₂ в каждом стержне появляется N = N ₂ и М = М ₂, и тогда

. (2)

При одновременном действии нагрузок Р ₁ и Р ₂ в каждом стержне появятся N = N ₁ + N ₂ и М = М ₁ + М ₂, и тогда работа, совершаемая этими силами,

. (3)

Из формулы (14.1) найдем

.

Подставляя сюда формулы (1), (2) и (3), получим

.

После простых преобразований найдем:

. (4)

Полагаем: 1) Р ₁ = 1 (единичная нагрузка), от нее возникают N ₁ и М ₁ во всех стержнях;

2) Р ₂ = Р _Р – внешняя нагрузка, от нее в каждом стержне возникают N ₂ = N _P, М ₂ = М _Р, а т.к. А ₁₂ = Р ₁Δ₁₂ = 1∙ Δ₁₂ = Δ₁₂ = Δ _1Р.

Подставляя все вышесказанное в (4), получим

. (14.7)

Эта формула называется формула Мора, она определяет перемещение в направлении «единичной силы» от внешней нагрузки.