ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТЕРЖНЕВЫХ
СистемАХ. МЕТОД СИЛ
§ 14.1. Теорема о взаимности работ (теорема Бетти)
Рис.14.1
| На горизонтальную балку АВ приложим статически силу Р 1. Балка прогнется и займет положение пунктирной линии, сила Р 1 совершит работу А 11= Р 1Δ11/2. Далее приложим статически силу Р 2, балка еще прогнется (сплошная линия), сила |
Р 2 совершит работу А 22 = Р 2Δ22/2. При этом сила 
, постоянная на перемещении 
, совершит работу 
. Суммарная работа А при этом будет
А = А 11 + А 12 + А 22 = Р 1Δ11/2 + Р 1Δ12 + Р 2Δ22/2. (14.1)
Здесь: Δ11- перемещение по направлению Р 1 от Р 1;
Δ12 – перемещение по направлению Р 1 от Р 2;
Δ21 – перемещение по направлению Р 2 от Р 1;
Δ22 – перемещение по направлению Р 2 от Р 2.
По принципу независимости действия сил, суммарную деформацию балки (сплошная линия) можно получить одновременно статически прикладывая Р 1 и Р 2. При этом получим ту же работу А:
А = Р 1(Δ11+Δ12)/2 + Р 2(Δ21+ Δ22)/2. (14.2)
Приравнивая (14.1) и (14.2) получим
Р 1Δ12 = Р 2 Δ21, или А 12 = А 21. (14.3)
Итак: Работа Р 1 по ее направлению на перемещение (Δ12), вызванном Р 2, равна работе Р 2 по ее направлению на перемещение (Δ21), вызванном Р 1.Это и есть теорема Бетти. Эта теорема справедлива и в случае, когда под Р 1 и Р 2 подразумеваются системы нагрузок.
Теорема о взаимности перемещений (принцип
Максвелла)
Пусть на балку (рис. 14.1) приложены силы Р 1 = Р 2 = 1. Перемещения от этих единичных сил будем обозначать 
. С учетом (14.3) можно записать
, т.к. Р 1 = Р 2 = 1 получим
. (14.4)
Это и есть принцип Максвелла: для двух единичных нагружений упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванной первой силой.
§ 14.3. Формула перемещений (Мора)
В разделе 3, формула (3.18), показано, что потенциальная энергия деформации при растяжении (сжатии) стержня силой 
равна
. (14.5)
В разделе 5, формула (5.21), показано, что при изгибе стержня 
энергия 
.
В общем случае можно записать, допуская, что изгиб М может быть и относительно оси х () и относительно оси у (
),
. (14.6)
Полагаем, что деформации стержней малы, материал их подчиняется закону Гука, потерь энергии нет и работы 
, определенные выше, переходят в потенциальные энергии 
, т.е. 
, где i = 1,2 и j = 1,2.
От нагрузки Р1 в каждом стержне конструкции появляются N = N 1 и М = М 1. С учетом (14.5) и (14.6) и т.к. получим
. (1)
Здесь интегрирования надо вести по длине каждого стержня, а потом суммировать по всем стержням конструкции.
От нагрузки Р 2 в каждом стержне появляется N = N 2 и М = М 2, и тогда
. (2)
При одновременном действии нагрузок Р 1 и Р 2 в каждом стержне появятся N = N 1 + N 2 и М = М 1 + М 2, и тогда работа, совершаемая этими силами,
. (3)
Из формулы (14.1) найдем
.
Подставляя сюда формулы (1), (2) и (3), получим
.
После простых преобразований найдем:
. (4)
Полагаем: 1) Р 1 = 1 (единичная нагрузка), от нее возникают N 1 и М 1 во всех стержнях;
2) Р 2 = Р Р – внешняя нагрузка, от нее в каждом стержне возникают N 2 = N P, М 2 = М Р, а т.к. А 12 = Р 1Δ12 = 1∙ Δ12 = Δ12 = Δ 1Р.
Подставляя все вышесказанное в (4), получим
. (14.7)
Эта формула называется формула Мора, она определяет перемещение в направлении «единичной силы» от внешней нагрузки.
