Ее найдем как разность из (3)
.
Подставим сюда (12.4) и (12.6), найдем
(5)
Найдем:
С учетом полученного окончательно найдем
(12.7)
Через главные напряжения 
запишется так:
. (12.8)
Теории прочности
Наиболее важным этапом расчета конструкции является выполнение условий прочности конструкции.
Введем обозначения: НДС – напряженно-деформированное состояние; 
опасное напряжение; 
предел текучести для пластичных материалов; 
предел прочности для хрупких материалов; 
допускаемые напряжения при растяжении; 
допускаемые напряжения при сжатии; 
и 
коэффициенты запаса прочности. Для пластичных материалов 
, для хрупких материалов 
.
Для одноосного НДС (растяжение или сжатие) условие прочности имеет вид
.
В большинстве конструкций возникает сложное НДС, характеризуемое главными напряжениями 
и главными деформациями 
(см. раздел 11). При этом возможны различные сочетания их величин и знаков. В каждом конкретном случае оценить прочность конструкции – очень сложная задача. Поэтому на практике приходится использовать здесь результаты опытов при одноосном НДС, вводя различные гипотезы о причине разрушения материала.
Установить единую причину разрушения разных материалов при различных НДС пока не удалось. Поэтому появилось несколько теорий прочности.
I теория прочности
Основана на гипотезе: независимо от вида НДС причиной разрушения материала является наибольшее нормальное напряжение. Для безопасного состояния должно быть выполнено условие
.
В общем случае, когда 
и 
имеют разные величины и знаки, условия прочности надо записать так:
.
Недостаток этой теории в том, что не учитывается влияние двух других главных напряжений (каждое отдельно).
Известно, что хрупкие материалы хорошо работают на сжатие и плохо на растяжение. Практика показала, что эта теория прочности применима для хрупких материалов, когда наибольшим из и является растягивающее напряжение.
При плоском напряженном состоянии (ПНС) в материале возникают два главных напряжения 
и 
, определяемые формулами (11.12)
. (6)
Условие прочности при ПНС записываются так для хрупких материалов в общем случае:
А с учетом (6) получим
. (12.9)
Сейчас эта теория не применяется и имеет лишь историческое значение.
II теория прочности
Основана на гипотезе: независимо от вида НДС причиной разрушения материала является наибольшая растягивающая деформация. В объемном НДС в теле возникают три главных деформации (см. раздел 11), которые через главные напряжения можно определить по обобщенному закону Гука (12.1). Например:
. (7)
Эта теория справедлива и для одноосного НДС, для которого допускаемая деформация 
может быть найдена по простому закону Гука
. (8)
В общем случае, когда имеют разные знаки, для различных материалов условия прочности следует записать так:
.
С учетом (7) и (8) получим в общем виде:
(12.10)
Эта теория прочности более совершенна, чем первая, т.к. учитывает все главные напряжения и тоже рекомендуется для оценки прочности хрупких материалов, когда разрушение происходит путем отрыва.
Для ПНС, когда =0 условия прочности (12.10) упростятся:
(12.11)
Обычно 
и первое условие (12.11) с учетом формул (6) для и , запишется так:
. (12.12)
III теория прочности
Основана на гипотезе: независимо от вида НДС причиной разрушения материала являются наибольшие касательные напряжения.
Экспериментально установлено, что со сдвигами связаны пластические деформации, поэтому эта теория прочности применима для пластичных материалов, для которых .
Для одноосного НДС касательные напряжения на наклонной площадке определяются по (3.4):
,
а 
будут при 
. Отсюда можно определить допускаемое напряжение:
. (9)
В трехмерном НДС экстремальные 
находятся по формулам (11.7):
. (10)
Условия прочности в общем случае нагружения тела по этой теории можно записать так с учетом (9) и (10):
. (12.13)
Для ПНС, когда =0, условия (12.13) примут вид:
(12.14)
С учетом формул (6) для и получим
(12.15)
Недостаток этой теории в том, что в случае объемного НДС учитываются только по два главных напряжения.
Эта теория лучше всего подтверждается опытами с пластичными материалами, для которых и рекомендуется.
IV теория прочности
Основана на гипотезе: независимо от вида НДС предельное состояние материала наступает в точке тела, где удельная потенциальная энергия изменения формы тела достигает опасной величины. Как показали эксперименты, этот критерий справедлив для пластичных материалов, т.к. изменение формы тела связано со сдвигами, характерными для пластичных материалов.
В объемном НДС величина определяется формулой (12.8):
. (11)
Этот критерий прочности справедлив и для одноосного НДС, когда 
, 
и в этом случае будет
.
Отсюда можно найти допустимую энергию
. (12)
С учетом (11) и (12) условие прочности для объемного НДС по этой теории можно записать так:
. (12.16)
Для ПНС, когда 
, условие прочности будет
. (12.17)
Подставляя сюда и по (6), после преобразований получим
.
Окончательно
. (12.18)
Эта теория прочности называется еще энергетической.
Итак, III и IV теории прочности применяются для пластичных материалов, для которых за опасное состояние принимается возникновение пластических деформаций. Поэтому эти теории прочности называют условиями пластичности.
V теория прочности (Мора)
Эта теория прочности является достаточно универсальной, т.к. может применяться как к хрупким материалам с разными пределами прочности на растяжение (р) и сжатие (сж), так и к пластичным материалам.
В общем виде объемного НДС эта теория прочности имеет вид
. (12.19)
Здесь и коэффициенты запаса прочности при растяжении и сжатии.
Недостаток этой теории в том, что не учитывается .
Если принять 
, а для пластичных материалов 
, то из (12.19) следует 
. А это, как указано выше, есть условие прочности по III теории.
