Физические уравнения. теории прочности
Физическими уравнениями называются соотношения, устанавливающие зависимости между напряжениями и деформациями. Экспериментально легко получить зависимость 
в случае осевой нагрузки (см. диаграммы растяжения-сжатия, приведенные в разделе 3 – механические свойства материалов). Сложные эксперименты с трубчатыми образцами позволяют получить такие зависимости для плоского напряженного состояния. Для трехмерного тела в общем случае нагружения, физические уравнения можно получить на основе одномерных экспериментов, используя некоторые гипотезы, проверенные практикой.
Обобщенный закон Гука
Рассмотрим трехмерное изотропное тело. Пусть в некоторой его точке возникают 
, которым соответствуют деформации 
. Найдем связь между ними, используя следующие гипотезы, подтвержденные экспериментально:
1. Деформации малы, поэтому напряжения и деформации связаны линейно.
2. Сдвиги не влияют на линейные деформации и наоборот.
Найдем деформации в направлении оси х от 
и 
:
от 
получим 
продольная деформация по простому закону Гука;
от 
получим 
поперечная деформация по эффекту Пуассона;
от получим 
поперечная деформация.
При одновременном действии и суммарная деформация
.
Аналогично можно найти 
и 
.
Согласно гипотезе 2 сдвиг 
будет определяться напряжением 
, которые связаны законом Гука при сдвиге 
. Здесь: 
продольный модуль упругости, 
модуль сдвига, 
коэффициент Пуассона материала.
Итак, в итоге получается шесть уравнений, которые и называются обобщенным законом Гука:
(12.1)
§ 12.2. Объемный закон Гука
Сложим первые три зависимости (12.1)
(1)
В разделе 11 формула (11.21) определяет 
относительное изменение объема, а формула (11.8) 
- гидростатическое давление, которое можно записать еще и так 
. С учетом этих обозначений (1) можно записать так
или 
. (2)
Обозначим
. (12.2)
Тогда (2) запишется в виде, который и носит название объемный закон Гука:
. (12.3)
Здесь К – объемный модуль упругости материала.
Из формулы (12.3) с учетом (12.2) следует, что 
.
Допустим, что 
. Тогда из (12.2) следует, что 
и при 
(всестороннее растяжение) из (12.3) получим 
, т.е. объем тела уменьшается. А это противоречит опыту. При 
тело при нагружении не меняет объема, т.е. ведет себя как несжимаемая жидкость.
Энергии деформации
I. Полная энергия деформации.
Ранее были получены формулы для удельной потенциальной энергии при осевой нагрузке 
, при сдвиге 
. При трехмерном (объемном) нагружении в теле возникают напряжения 
и деформации . В этом случае используют принцип сложения
.
Подставляя сюда деформации по обобщенному закону Гука (12.1), получим,
(12.4)
Для элемента тела, вырезанного по главным площадкам, полагая 
, 
найдем:
. (12.5)
Полную энергию 
можно представить так:
, (3)
энергия, идущая на изменение объема тела; 
энергия, идущая на изменение формы тела.
II. Энергия изменения объема
Очевидно, что от гидростатического давления
происходит только изменение объема тела 
и удельная энергия деформации при этом определяется так:
. (4)
Подставляя сюда (12.3) и (12.2), получим:
или
. (12.6)
