Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Квадратурные формулы Гаусса.

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Постановка задачи. Решение задачи Коши с помощью формулы Тейлора. Метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта. Многошаговые методы. Понятие о численных методах решения дифференциальных уравнений частных производных.

Задания для контрольных работ

Задача1. Определить, какое равенство точнее.

 

	;			;
	;			;
	;			;
	;			;
	;			;
	;			;
	;			;
	;			;
	;			;
	;			;
	;			;
	;			;
	;			;
	;			;
	;			;

 

 

Задача 2. Вычислить и определить погрешности результата.

 

		а=	в=	с=
		а =	в=	с=
		а=	в=	с=
		а=	в=	с=
		а=	в=	с=

 

Задача 3. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в равноотстоящих узлах таблицы.

 

x	y		№ варианта	x
1, 375 1,380 1,385 1,390 1,395 1,400	5,04192 5,17744 5,32016 5,47069 5,62968 5,79788			1,3832 1,3926 1,3862 1,3934 1.3866

 

 

x	y		№ варианта	x
0,115 0,120 0,125 0,130 0,135 0,140	8,65729 8,29329 7,95829 7,64893 7,36235 7,09613			0,1264 0,1315 0,1232 0,1334 0,1285

 

x	y		№ варианта	x
0,150 0,155 0,160 0,165 0,170 0,175	6,61659 6,39989 6,19658 6,00551 5,82558 5,65583			0,1521 0,1611 0,1662 0,1542 0,1625

 

x	y		№ варианта	x
0,180 0,185 0,190 0,195 0,200 0,205	5,61543 5,46693 5,32634 5,19304 5,06649 4,94619			0,1838 0,1875 0,1944 0,1976 0,2038

 

x	y		№ варианта	x
0,210 0,215 0,220 0,225 0,230 0,235	4,83170 4,72261 4,61855 4,51919 4,42422 4,33337			0,2121 0,2165 0,2232 0,2263 0,2244

 

x	y		№ варианта	x
1,415 1,420 1,425 1,430 1,435 1,440	0,888551 0,889599 0,890637 0,891667 0,892687 0,893698			1,4179 1,4258 1,4396 1,4236 1,4315

Задача 4. Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

 

№ вар.	f(x)	a	в	№ вар.	f(x)	a	в
		0,8	1,6			1,6	2,2
		1,2	2,7			0,6	1,6
						1,2
		0,2	1,2			1,4
		0,8	1,4			3,2
		0,4	1,2			0,8	1,7
		1,4	2,1			1,2	2,0
		1,2	2,4			2,1	3,6
		0,4	1,2				2,5
		0,6	1,5			0,6	1,4
			3,5			1,3	2,1
		0,5	1,3			1,4	2,6
		1,2	2,6			0,15	0,5
		1,4	2,2			0,5	2,3
		0,8	1,8			0,32	0,66

 

Задание 5. Решить задачу Каши для дифференциального уравнения при заданном начальном условии и шагах интегрирования.

Используя точные решения y_T, определить ошибку метода.

 

№	Дифференциальное уравнение	Точное решение уравнения	Нач. условие	xmax	Шаг интегрирова-ния h
					0,01; 0,005; 0,001
					0,01; 0,005; 0,001
					0,05; 0,01; 0,005
				0,5	0,01; 0,005; 0,001
				0,5	0,1; 0,05, 0,01
					0,01; 0,005; 0,001
				1,5	0,1; 0,05; 0,01
				1,5	0,05; 0,01; 0,005
					0,1; 0,05; 0,01
					0,1; 0,05; 0,01
					0,01; 0,005; 0,001
					0,01; 0,005; 0,001
					0,01; 0,03; 0,05
				1,4	0,01; 0,005; 0,001
				0,8	0,01; 0,005; 0,001
					0,05; 0,01; 0,005
					0,1; 0,05; 0,01
					0,01; 0,005; 0,001
					0,1; 0,03; 0,01
					0,3; 0,2; 0,1
					0,01; 0,005; 0,001
				1,4	0,05; 0,01; 0,005
					0,5; 0,1; 0,05
					0,5; 0,3; 0,1
					0,2; 0,1; 0,05
					0,05; 0,01; 0,005
					0,1; 0,2; 0,3
					0,3; 0,2; 0,1
					0,01; 0,005; 0,001
					0,1; 0,05; 0,01

Рекомендуемая литература

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М., Численные методы. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

2. Гмурман В.Е. Элементы приближенных вычислений. – М.: Высш. Шк., 2005.

3. Б.П. Демидович, И.А. Марон Основы вычислительной математики: Учебное пособие.СПб.: Лань Изд-во, 2009.

4. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах: Учебное пособие. – СПб.: Издательство «Лань», 2009.

5. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные методы. – М.: Изд. Центр «Академия», 2004.

6. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. – М.: Лань, 2002.

7. Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004.

8. Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005.

9. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9. – М.: НТ Пресс, 2006.

10. Васильев А.Н. Научные вычисления в Microsoft Exсel. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004.