Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Постановка задачи. Решение задачи Коши с помощью формулы Тейлора. Метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта. Многошаговые методы. Понятие о численных методах решения дифференциальных уравнений частных производных.
Задания для контрольных работ
Задача1. Определить, какое равенство точнее.
 ; 
|  ; 
| ||||
 ; 
|  ; 
| ||||
 ; 
|  ; 
| ||||
 ; 
|  ; 
| ||||
 ; 
|  ; 
| ||||
 ; 
|  ; 
| ||||
 ;
|  ; 
| ||||
 ; 
|  ; 
| ||||
 ; 
|  ; 
| ||||
 ; 
|  ; 
| ||||
 ;
| ; 
| ||||
 ; 
|  ; 
| ||||
 ; 
|  ; 
| ||||
 ; 
|  ; 
| ||||
 ; 
|  ; 
|
Задача 2. Вычислить и определить погрешности результата.
| 
| 
| 
| |
| а= 
| в= 
| с= 
| |
| а = 
| в= 
| с= 
| |
| а= 
| в= 
| с= 
| |
| а= 
| в= 
| с= 
| |
| а= 
| в= 
| с= 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
|  
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
|
| 
| 
| 
| |
|
|
| 
| 
| |
|
| 
| 
| 
| |
|
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
|
| 
| 
| 
| |
|
| 
| 
| 
| |
|
| 
| 
| 
| |
|
| 
| 
| 
| |
|
| 
| 
| 
| |
|
| 
| 
| 
| |
|
|
| 
| 
| |
|
| 
| 
| 
| |
|
| 
| 
| 
| |
|
| 
| 
| 
|
Задача 3. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в равноотстоящих узлах таблицы.
| x | y | № варианта | x | |
| 1, 375 1,380 1,385 1,390 1,395 1,400 | 5,04192 5,17744 5,32016 5,47069 5,62968 5,79788 | 1,3832 1,3926 1,3862 1,3934 1.3866 |
| x | y | № варианта | x | |
| 0,115 0,120 0,125 0,130 0,135 0,140 | 8,65729 8,29329 7,95829 7,64893 7,36235 7,09613 | 0,1264 0,1315 0,1232 0,1334 0,1285 |
| x | y | № варианта | x | |
| 0,150 0,155 0,160 0,165 0,170 0,175 | 6,61659 6,39989 6,19658 6,00551 5,82558 5,65583 | 0,1521 0,1611 0,1662 0,1542 0,1625 |
| x | y | № варианта | x | |
| 0,180 0,185 0,190 0,195 0,200 0,205 | 5,61543 5,46693 5,32634 5,19304 5,06649 4,94619 | 0,1838 0,1875 0,1944 0,1976 0,2038 |
| x | y | № варианта | x | |
| 0,210 0,215 0,220 0,225 0,230 0,235 | 4,83170 4,72261 4,61855 4,51919 4,42422 4,33337 | 0,2121 0,2165 0,2232 0,2263 0,2244 |
| x | y | № варианта | x | |
| 1,415 1,420 1,425 1,430 1,435 1,440 | 0,888551 0,889599 0,890637 0,891667 0,892687 0,893698 | 1,4179 1,4258 1,4396 1,4236 1,4315 |
Задача 4. Вычислить интеграл 
по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.
| № вар. | f(x) | a | в | № вар. | f(x) | a | в |
| 0,8 | 1,6 | 
| 1,6 | 2,2 | ||
| 1,2 | 2,7 | 
| 0,6 | 1,6 | ||
| 
| 1,2 | |||||
| 0,2 | 1,2 | 
| 1,4 | |||
| 0,8 | 1,4 | 
| 3,2 | |||
| 0,4 | 1,2 | 
| 0,8 | 1,7 | ||
| 1,4 | 2,1 | 
| 1,2 | 2,0 | ||
| 1,2 | 2,4 | 
| 2,1 | 3,6 | ||
| 0,4 | 1,2 | 
| 
| 2,5 | ||
| 0,6 | 1,5 | 
| 0,6 | 1,4 | ||
| 3,5 | 
| 1,3 | 2,1 | |||
| 0,5 | 1,3 | 
| 1,4 | 2,6 | ||
| 1,2 | 2,6 | 
| 0,15 | 0,5 | ||
| 1,4 | 2,2 | 
| 0,5 | 2,3 | ||
| 0,8 | 1,8 | 
| 0,32 | 0,66 |
Задание 5. Решить задачу Каши для дифференциального уравнения 
при заданном начальном условии 
и шагах интегрирования.
Используя точные решения yT, определить ошибку метода.
| № | Дифференциальное уравнение | Точное решение уравнения | Нач. условие | xmax | Шаг интегрирова-ния h | |
| 
| 
| 0,01; 0,005; 0,001 | |||
| 
| 
| 0,01; 0,005; 0,001 | |||
| 
| 
| 0,05; 0,01; 0,005 | |||
| 
| 
| 0,5 | 0,01; 0,005; 0,001 | ||
| 
| 
| 0,5 | 0,1; 0,05, 0,01 | ||
| 
| 
| 0,01; 0,005; 0,001 | |||
| 
| 
| 1,5 | 0,1; 0,05; 0,01 | ||
| 
| 
| 1,5 | 0,05; 0,01; 0,005 | ||
| 
| 
| 0,1; 0,05; 0,01 | |||
| 
| 
| 0,1; 0,05; 0,01 | |||
| 
|
| 0,01; 0,005; 0,001 | |||
| 
|
| 0,01; 0,005; 0,001 | |||
| 
|
| 0,01; 0,03; 0,05 | |||
| 
|
| 1,4 | 0,01; 0,005; 0,001 | ||
| 
|
| 0,8 | 0,01; 0,005; 0,001 | ||
| 
| 
| 0,05; 0,01; 0,005 | |||
| 
| 
| 0,1; 0,05; 0,01 | |||
| 
| 
| 0,01; 0,005; 0,001 | |||
| 
|
| 0,1; 0,03; 0,01 | |||
| 
| 
| 0,3; 0,2; 0,1 | |||
| 
|
| 0,01; 0,005; 0,001 | |||
| 
|
| 1,4 | 0,05; 0,01; 0,005 | ||
| 
| 
| 0,5; 0,1; 0,05 | |||
| 
| 
| 0,5; 0,3; 0,1 | |||
| 
|
| 0,2; 0,1; 0,05 | |||
| 
| 
| 0,05; 0,01; 0,005 | |||
| 
| 
| 0,1; 0,2; 0,3 | |||
| 
| 
| 0,3; 0,2; 0,1 | |||
| 
| 
| 0,01; 0,005; 0,001 | |||
| 
| 
| 0,1; 0,05; 0,01 | |||
Рекомендуемая литература
1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М., Численные методы. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
2. Гмурман В.Е. Элементы приближенных вычислений. – М.: Высш. Шк., 2005.
3. Б.П. Демидович, И.А. Марон Основы вычислительной математики: Учебное пособие.СПб.: Лань Изд-во, 2009.
4. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах: Учебное пособие. – СПб.: Издательство «Лань», 2009.
5. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные методы. – М.: Изд. Центр «Академия», 2004.
6. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. – М.: Лань, 2002.
7. Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004.
8. Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005.
9. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9. – М.: НТ Пресс, 2006.
10. Васильев А.Н. Научные вычисления в Microsoft Exсel. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004.
