Линейный коэффициент вариации

Тема: Обобщающие статистические показатели.

Средние величины.

Задача 1

По торговой фирме имеются следующие данные за отчётный период:

 

№ предприятия	Численность работников, чел.	Прибыль, тыс. руб.	Выработка в расчёте на одного работника, тыс. руб.	Рентабельность, %
			15,2
			18,4
			12,0

 

Определить по фирме в целом:

а) среднюю численность работников и среднюю прибыль в расчёте на одно предприятие;

б) среднюю выработку одного работника;

в) средний уровень рентабельности, учитывая, что рентабельность = прибыль / издержки

 

Решение

Среднюю численность работников и среднюю прибыль определяется по формуле средней арифметической простой, так как индивидуальные значения «осредняемого» признака являются абсолютными величинами, и данные не сгруппированы:

,

=380 (чел.)

где – индивидуальные значения признака (численность работников или прибыль);

n – число единиц совокупности.

 

Средняя выработка одного работника рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

.

15,8 (тыс. руб.)

 

В данном случае речь идёт об исчислении средней из средних величин. При этом в расчёте применяется формула взвешенной средней, поскольку имеется возможность использовать при расчёте «веса»:

– выработка одного работника на каждом предприятии;

– численность работников на каждом предприятии (статистический вес);

– общий объём произведённой продукции в стоимостном выражении по предприятиям.

Средний уровень рентабельности рассчитывается по формуле средней гармонической взвешенной:

,

15,1(%)

 

где – прибыль;

– рентабельность;

– издержки.

В данном случае речь идёт о расчёте средней из относительных величин. Любая относительная величина получается в результате соотношения двух величин:

,

где

Гармоническая средняя применяется в том случае, если отсутствует величина, стоящая в знаменателе исходного отношения. В данном примере расчёт среднего уровня рентабельности по совокупности предприятий сводится к отношению суммарной прибыли к суммарным издержкам. Формула средней гармонической взвешенной позволяет получить в знаменателе недостающую величину издержек и определить значение средней. Рассчитанная средняя имеет ту же форму выражения и те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака. Уровни рентабельности по предприятиям взяты для расчёта в процентах. Поэтому значение средней также выражено в процентах.

 

 

Приложение 4

Таблица - Показатели деятельности предприятий за отчётный период

 

№ предприятия	Численность работников, чел.	Прибыль, тыс. руб.	Выработка в расчёте на одного работника, тыс. руб.	Рентабельность, %
			15,0
			19,4
			12,2
			14,8
			18,6
			12,9
			15,4
			19,5
			12,1
			15,7
			19,8
			11,8
			16,0
			17,4
			15,1

 

Варианты заданий:

 

№ варианта	№№ предприятий	№ варианта	№№ предприятий	15,2
	1,2,3		1,3,5	18,4
	2,3,4		2,4,6	12,0
	3,4,5		3,5,7
	4,5,6		4,6,8
	5,6,7		5,7,9
	6,7,8		6,8,10
	7,8,9		7,9,11
	8,9,10		8,10,12
	9,10,11		9,11,13
	10,11,12		10,12,15
	11,12,13		1,4,7
	12,13,14		2,5,8
	13,14,15	-	-

 

 

Задача 2.

Распределение предприятий отрасли по размеру прибыли характеризуется следующими данными:

Таблица 1 – Распределение малых предприятий по размеру прибыли

 

Прибыль, тыс. руб.	Число предприятий
До 500
500 - 1000
1000 - 1500
1500 - 2000
2000 и более

 

Определите:

1) средний размер прибыли в расчёте на одно предприятие по формуле средней арифметической;

2) моду и медиану.

 

Решение.

Для определения среднего размера прибыли по совокупности предприятий на основе интервального вариационного ряда распределения используем формулу средней арифметической взвешенной:

;

где - индивидуальные значения признака,

- частоты

В качестве индивидуальных значений признака можно взять середины интервалов.

Середина интервала определяется как полусумма верхней и нижней границы интервала. В случае открытых интервалов, их границы определяются условно (разъяснения по расчёту содержатся в материале лекции по соответствующей теме).

Частотами являются данные о числе предприятий по интервалам.

В данной задаче имеются открытые интервалы. Размер интервала внутри ряда равен 500 тыс. руб. Можно предположить, что размеры начального и конечного интервала равны такой же величине. Исходя из такого предположения, легко определить неизвестные границы. Ряд распределения с закрытыми интервалами представлен в таблице 2

Расчётные данные необходимо представить в таблице в Word:

Таблица 2–Расчётные данные для определения средней арифметической, моды и медианы

 

Прибыль, тыс. руб.	Число предприятий (частота),	Середины интервалов,		Накопленные частоты
0 - 500
500 - 1000
1000 - 1500
1500 - 2000
2000 -2500
Итого		х		х

 

(тыс. руб.)

Средний размер прибыли по совокупности предприятий составил 1млн. 65 тыс. руб.

 

Мода и медиана относятся к структурным средним, представляющим собой характеристики вариационных рядов распределения.

Мода – значение признака, имеющее наибольшую частоту.

Вычисление моды в интервальных вариационных рядах распределения производится о формуле:

 

(1.1)

где

- нижняя граница модального интервала;

- величина интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Модальным является интервал, имеющий наибольшую частоту.

В ряду распределения предприятий по прибыли модальным является второй интервал (прибыль от 500 до 1000 руб.), т. к. в этот интервал попадает наибольшее число предприятий – 35.

 

(тыс. руб.)

 

Медианой является значение, стоящее в середине ранжированного ряда распределения. Ранжированный ряд – это ряд, в котором значения признака расположены в порядке их возрастания (или убывания).

В интервальных вариационных рядах распределения медиана определяется по формуле:

(1.3)

где, - нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- половина суммы частот ряда;

-ь накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

- частота медианного интервала.

Для нахождения медианного интервала необходимо определить накопленные частоты (последняя графа в таблице 1.1)

Медианным является интервал, накопленная частота которого равна или впервые превышает половину суммы частот ряда.

В данном случае, медианным является второй интервал, накопленная частота которого равна 50.

(тыс. руб..)

Таким образом,

900 < 1000 < 1065.

 

Различные виды средних дают разные результаты. В данном случае, наименьшее значение средней даёт мода, а наибольшее – средняя арифметическая.

Соотношение между данными видами средних величин говорит о характере (форме) распределения признака, и о симметричности (асимметричности) распределения.

Если распределение признака по форме близко нормальному закону, то медиана находится между модой и средней арифметической. Можно сделать вывод о том, что распределение размера прибыли по совокупности предприятий близко к закону нормального распределения.

При правосторонней асимметрии

при левосторонней асимметрии

Распределение прибыли по совокупности предприятий характеризуется правосторонней асимметрией.

Сопоставление значений моды и средней арифметической позволяет получить показатель асимметрии (коэффициент асимметрии

К. Пирсона) по формуле:

,

где - среднее квадратическое отклонение (один из показателей вариации).

Расчёт показателей вариации и коэффициента асимметрии представлен в следующей задаче.

 

Порядок расчётов в Excel.

Для определения среднего размера прибыли по формуле средней арифметической взвешенной необходимо ввести данные в программе Excel в диапазоне А1:D7.

В ячейке D8 посчитываем сумму в диапазоне (D3:D7)

В ячейку Е3 вводим формулу =(В3+С3)/2 и протягиваем маркером заполнения вниз до Е7.

В ячейку F3 вводим формулу =Е3*D3 и протягиваем маркером заполнения вниз до F7.

В ячейке F8 подсчитываем сумму значений в диапазоне (F3:F7).

В ячейку F9 вводим формулу=F8/D8.

Получаем значение средней

 

	А	В	С	D	Е	F
	№ интервала	Прибыль, тыс. руб.	Число предприятий	Середина интервала	Произведение середины интервала на частоту

Для интервального ряда распределения с равными интервалами значение моды можно вычислить по интерполяционной (адаптированной) формуле:

Необходимо продолжить работу с данными в диапазоне А1:D7 (открыть следующий лист)

В ячейку Е3 ввести формулу=С3-В3 и протянуть маркером заполнения вниз до ячейки Е7. Получим величину интервала.

 

	А	В	С	D	Е
	№ интервала	Прибыль, тыс. руб.	Число предприятий	Величина интервала

 

Для расчёта моды в ячейку С8 вводится формула:

=В4+Е4*(D4-D3)/(D4-D3+D4-D5)

Получим значение моды 900.

 

Для нахождения медианы сначала определяют номер медианы как полусумму частот ряда

Затем отсчитывают накопленные частоты и находят интервал, для которого сумма накопленных частот не меньше номера медианы. Медиана определяется по адаптированной формуле:

 

Исходные данные ранее уже введены

В ячейке D8 подсчитываем сумму в диапазоне (D3:D7)

В ячейку F3 вводим формулу =D3, а в ячейку F4 формулу =F3+D4

Затем ячейку F4 протягиваем маркером заполнения вниз до F7.

Медианным является интервал №2.

 

	А	В	С	D	Е	F
	№ интервала	Прибыль, тыс. руб.	Число предприятий	Величина интервала	Накопленная частота

 

В ячейку D9 вводим формулу =D8/2

В ячейку С10 вводим формулу = B4+E4*(D9-F3)/D4

Получим значение медианы 1000.

Задача 3

 

Проанализировать вариацию прибыли по совокупности предприятий с помощью системы показателей вариации.

 

Таблица 3 – Исходные и расчётные данные для определения средней и показателей вариации

 

Прибыль, тыс. руб.	Число предприятий (частота),	Расчётные величины
середины интерва лов
0 - 500
500 - 1000
1000 - 1500
1500 - 2000
2000 -2500
Итого

 

Для анализа вариации признаков используются абсолютные и относительные показатели вариации.

1. Размах вариации:

3.1

где, - максимальное значение признака,

- минимальное значение признака.

Показатель может быть определён исходя из середин интервалов

2. Среднее линейное отклонение:

(3.2)

Для этого в таблицу необходимо внести дополнительные расчётные величины:

- отклонения от общей средней,

- взвешенное отклонение от средней (модуль отклонений)

3. Дисперсия:

(3.3)

где, - взвешенный квадрат отклонений от средней (последняя графа таблицы 1)

4. Среднее квадратическое отклонение:

(3.4)

5. Относительные показатели вариации:

а) коэффициент вариации,

б) линейный коэффициент вариации,

в) коэффициент осцилляции.

 

Коэффициент вариации

, (3.5)

- в данном случае общая средняя - .

Коэффициент вариации служит критерием однородности совокупности по данному признаку. Считается, что если не превышает по величине 33%, то совокупность (группу) можно считать однородной.

Линейный коэффициент вариации

(3.6)

Коэффициент осцилляции

(3.7)

 

Графически дискретные вариационные ряды распределения изображаются в виде полигона распределения, интервальные ряды распределения – в виде гистограммы. Поскольку, в данной задаче интервальный ряд распределения преобразован в дискретный ряд (рассчитаны середины интервалов), гистограмму и полигон распределения можно представить на одном графике.

 

 

Порядок работы в Excel.

 

Для вычисления показателей вариации необходимо взять исходные и расчётные данные, используемые для расчёта среднего значения признака по формуле средней арифметической (данные таблицы Excel в диапазоне А1: F9).

1. Определяем отклонения отдельных значений признака (середин интервалов) от общей средней величины.

Для этого в ячейку G3вводим формулу = Е3-F|9 (использовать функциональную клавишу F4). Затем ячейку G3 протягиваем маркером заполнения вниз до G7.

2. Определяем абсолютные отклонения от общей средней, для чего с помощью Мастера функций в ячейке Н3 получаем абсолютное значение ячейки G3 (на панели формулы выбираем вставить функцию: математическую, выбираем АВС: число G3). Затем ячейку H3 протягиваем маркером заполнения вниз до H7.

3.Определяем взвешенные отклонения от общей средней. Для этого в ячейку I3 вводим формулу = Н3*D3. Затем ячейку I3 протягиваем маркером заполнения вниз до I7. В ячейке I8 получаем сумму рассчитанных значений.

4. Определяем среднее линейное отклонение, для чего в ячейку I9 вводим формулу = I8/D8.

Получаем значение =465

5. Определяем квадраты отклонений от общей средней.

Для этого с помощью Мастера функций в ячейке J3 получаем квадрат значения ячейки G3 (на панели формулы выбираем вставить функцию: математическую, выбираем степень: число G3 степень 2). Затем ячейку J3 протягиваем маркером заполнения вниз до J7.

6. Определяем взвешенные квадраты отклонений от общей средней. Для этого в ячейку K3 вводим функцию = J3*D3. Затем ячейку K3 протягиваем маркером заполнения вниз до K7.

В ячейке K8 получаем сумму рассчитанных значений.

7. Определяем дисперсию, для чего в ячейку K9 вводим функцию = K8/D8.

Получаем значение = 313275

6. Определяем среднее квадратическое отклонение. Для этого с помощью Мастера функций в ячейке K10 получаем квадратный корень значения ячейки K9 (на панели формулы выбираем вставить функцию: математическую, выбираем корень: число K9).

Получаем значение = 559,7097

560

 

Порядок вычисления средней арифметической, моды и медианы необходимо представить в таблице 2 Word, показателей вариации - в таблице 3.

В заключении необходимо рассчитать коэффициент асимметрии и сформулировать выводы.

 

 

Варианты заданий для задач № 2 и № 3:

 

Таблица 1 – Распределение малых предприятий по размеру прибыли

 

Прибыль, тыс. руб.	Номера вариантов по числу предприятий
До 1000
1000 - 1500
1500 - 2000
2000 - 2500
2500 и более

 

Таблица 2 – Распределение магазинов по стоимости основных фондов

 

Основные фонды, млн. руб.	Номера вариантов по числу магазинов
2,2 – 3,7
3,7 – 5,2
5,2 – 6,7
6,7 – 8,2
8,2 – 9,7

 

Таблица 3 – Распределение по размеру товарооборота

 

Товарооборот, млн. руб.	Номера вариантов по числу магазинов
50 - 100
100 - 150
150 - 200
200 - 250
250 - 300