Оценивание случайных погрешностей прямых измерений

Оценивание систематических погрешностей результата прямых измерений на основе класса точности средств измерений

Погрешности, вносимые в результат измерения средствами измерения, определяются классом точности СИ.

Класс точности СИ – это обобщенная характеристика, выражаемая пределами допускаемых погрешностей.

Классы точности конкретного типа СИ устанавливают в нормативной документации. Класс точности (предел допускаемой погрешности) может быть также нанесен на лицевую панель прибора. В зависимости от типа СИ пределы допускаемых погрешностей СИ выражаются по-разному.

1) класс точности выражен числом в кружке:

Это означает, что предел допускаемой относительной погрешности для любого измеренного значения в пределах шкалы равен 1,5 % (δ = 1,5%). Учитывая формулу (4), найдем абсолютную погрешность:

 

2) Класс точности выражен числом без кружка: 0,5.

Это означает, что предел допускаемой приведенной погрешности равен 0,5 (γ = 0.5%). Тогда абсолютная погрешность определиться из формулы (5):

 

3) Класс точности выражен дробью c/d (0,02/0,01). Это означает, что относительная погрешность определяется формулой:

(6)

После вычисления относительной погрешности, легко определить абсолютную погрешность по формуле (4).

Пример №1

Милливольтметром В3-38 измерялось напряжение переменного тока. В нормальных условиях получено значение 100 мВ, на поддиапазоне 0 - 300 мВ. В паспорте прибора указано: предел допускаемой основной погрешности в процентах от конечного значения установленного поддиапазона измерений равен 2,5% на поддиапазоне измерений от 0 до 300 мВ.

Решение:

Приведенная погрешность γ = 2,5%, = 300 мВ, следовательно, абсолютная погрешность будет равна:

 

Результат измерения: U = (100,0 ± 7,5) мВ.

 

 

Оценивание систематической погрешности косвенных измерений

4.1 Пусть решается задача измерения некоторой величины y, которая является функцией суммы n аргументов:

(7)

И пусть при измерении величин присутствуют только систематические погрешности: .

Абсолютную погрешность косвенного измерения можно записать в виде:

 

(8)

 

В тех случаях, когда нужно определить возможную предельную погрешность результата измерения при n>3 применяют простое суммирование:

 

. (9)

 

Пример №2

Два резистора сопротивлениями R1=50 Ом и три резистора сопротивлениями R2=100 Ом соединены последовательно, причем их систематические погрешности равны ∆R1 = ±1 Ом и ∆R2 = ±2 Ом. Определить сопротивление цепи и его погрешность.

Решение:

Общее сопротивление вычисляется по формуле:

 

R=2R1+3R2=2∙50+3∙100=400 Ом.

 

Определим максимальную абсолютную погрешность, учитывая, что n>3:

 

∆R=∆R1+∆R1+∆R2+∆R2+∆R2=2∆R1+3∆R2=±(2∙1+3∙2)= ±8 Ом.

Результат измерения: R = (400±8) Ом.

 

 

4.2 Пусть функция выражается в виде произведения сомножителей:

, (10)

где c, α, β, γ – любые положительные или отрицательные константы.

 

В этом случае вычисляется сначала относительная погрешность:

. (11)

Прологарифмируем функцию (10), (логарифм произведения равен сумме логарифмов):

(12)

Продифференцируем выражение (12), заменяя dx и dy на ∆x и ∆y:

 

(13)

Зная относительную погрешность, легко определить абсолютную:

(14)

 

Пример №3

Два резистора R1 = 100 Ом и R2 = 200 Ом соединены параллельно. Их систематические погрешности равны ∆ R1 = ±1 Ом и ∆ R2 = ±2 Ом. Найти сопротивление цепи и оценить его погрешность.

Решение:

Сопротивление цепи R вычисляется по формуле:

Ом

Максимальная возможная относительная погрешность согласно (13) определяется:

%

Абсолютная погрешность:

Ом

Результат измерения: R = (66,7±2,0) Ом

 

Оценивание случайных погрешностей прямых измерений

Из-за влияния на средство измерений помех различного происхождения (изменение температуры окружающей среды, электромагнитных полей, вибраций, изменения частоты и амплитуды сетевого напряжения, изменения атмосферного давления, влажности и т.д.), результаты повторных измерений одной и той же физической величины (особенно ее малых значений) будут в большей или меньшей степени отличаться друг от друга. Результат измерений является случайной величиной, которая характеризуется наиболее вероятным значением и разбросом (рассеянием) результатов повторных измерений вблизи наиболее вероятного значения. Если при повторных измерениях одной и той же величины результаты измерений не отличаются друг от друга, то это означает, что случайная составляющая погрешности измерений является несущественной и ею можно пренебречь. При этом неисключенную систематическую погрешность результата измерений оценивают по величине пределов допускаемых погрешностей применяемых средств измерений. Если же при повторных измерениях одной и той же величины наблюдается разброс показаний, то это означает, что наряду с большей или меньшей неисключенной систематической погрешностью, имеет место и случайная погрешность, принимающая при повторных измерениях различные значения.

Пусть получен ряд из n измеренных значений величины x:

(15)

При многократных измерениях за результат измерения принимается среднее значение измеряемой величины:

, (16)

где: x_i – результат i – го измерения;

n – число проведенных измерений в данной серии измерений.

Затем находят оценку среднеквадратического отклонения наблюдений, характеризующую степень рассеяния результатов отдельных наблюдений вблизи , по формуле:

, (17)

где - отклонение результатов отдельных измерений x_i от оценки среднего значения.

Точность оценки наиболее вероятного значения измеряемой величины зависит от числа наблюдений . Нетрудно убедиться в том, что результаты нескольких оценок по одному и тому же числу отдельных измерений будут отличаться. Таким образом, сама оценка также является случайной величиной. В связи с этим вычисляется оценка среднеквадратического отклонения результата измерения , которую обозначают . Эта оценка характеризует степень разброса значений по отношению к истинному значению результата, т.е. характеризует точность результата, полученного усреднением результата многократных измерений. Для различных она определяется по формуле:

. (18)

Следовательно, точность результата многократных измерений увеличивается с ростом числа последних.

Случайная погрешность оценивается доверительным интервалом:

, (19)

где - коэффициент Стьюдента.