Пример решения задачи 1
Задано: координаты вершин треугольника: A(70,45,60), B(40,55,0) и C(0,10,45). Требуется построить на расстоянии 30 мм проекции плоскости параллельной треугольнику АВС.
Последовательность решения задачи.
1. По заданным координатам X, Y, Z строим проекции вершин треугольника АВС в выбранной системе координат (рис. 2а).
2. Строим линии уровня h и f, лежащие в треугольнике (рис. 2б).
2.1. Строим проекции горизонтали h плоскости. Построение начинаем c фронтальной проекции h2, т.к. h2׀׀OX. Проекция h2 проходит через точки С2 и 12.
2.2. Строим горизонтальную проекцию h1 горизонтали h, проходящую через точки С1 и 11.
2.3. Строим проекции фронтали f. Построение начинаем с горизонтальной проекции фронтали f1׀׀OX. Проекция проходит через точки А1 и 21.
2.4. Строим фронтальную проекцию f2 фронтали f (рис. 2б).
3. Строим проекции перпендикуляра n к плоскости АВС, проходящего через точку А. При этом n1^h1 и n2^f2. Ограничиваем проекции перпендикуляра точками E1 и E2 (рис. 2в).
4. Определяем способом прямоугольного треугольника натуральную величину отрезка АЕ (рис. 2г). Для этого:
– измеряем на фронтальной проекции разность DZ (ZE–ZA) расстояний концов отрезка АЕ от горизонтальной плоскости проекций;
– проводим из точки Е1 на горизонтальной проекции отрезка А1Е1 перпендикуляр и откладываем на нем величину равную ΔZ;
– соединяем полученную точку Е0 с А1. Отрезок А1Е0 является истинной величиной отрезка АЕ.
5. Определяем положение точки М, через которую проходит плоскость параллельная плоскости треугольника АВС (рис. 2д). Для этого:
– откладываем от точки А1 на отрезке А1Е0 расстояние 30 мм (точка М0);
– через точку М0 проводим прямую параллельную отрезку Е1Е0 до пересечения с отрезком А1Е1 в точке М1;
– строим фронтальную проекцию М2 точки М.
6. Строим проекции плоскости S(m∩p), проходящей через точку М и параллельной плоскости треугольника АВС (рис. 2е). Плоскость S задана двумя пересекающимися прямыми m∩AB и l∩BC, т.е. m1∩A1B1, р1∩B1C1 и m2∩A2B2, р2∩B2C2.
Пример решения задачи 2
Задано: Координаты вершин треугольника A(70,45,60), B(40,55,0), C(0,10,45) и точки D(55,0,15). Построить проекции сферы с центром в точке D, касательной в точке К к плоскости треугольника АВС.
Последовательность решения задачи.
1. Строим проекции треугольника АВС и точки D по заданным координатам (рис. 3а).
2. Строим линии уровня h и f, лежащие в треугольнике АВС (рис. 3б). Построение аналогично п.2 задачи 1.
3. Строим из точки D перпендикуляр p к плоскости треугольника АВС (p^АВС), т.е. p2^f2 и p1^h1 (рис. 3в).
Рис. 2
4. Определяем точку К пересечения перпендикуляра с плоскостью треугольника АВС (рис. 3г). Для этого:
– проводим через построенный перпендикуляр р фронтально проецирующую плоскость Т, которая пересекает фронтальную проекцию треугольника по линии 1222;
– строим горизонтальную проекцию1121 линии 12 пересечения плоскости Т и АВС;
– определяем точку К1, как результат пересечения линии 1121 с горизонтальной проекцией перпендикуляра р1;
– строим фронтальную проекцию К2 точки К. Точка К является точкой касания сферы с треугольником.
5. Определяем способом прямоугольного треугольника натуральную величину отрезка DK, равную радиусу R сферы, касательной к плоскости АВС (рис. 3д).
6. Строим из точек D2 и D1 радиусом R=D2K0 проекции искомой сферы (рис. 3е).
Рис. 3
Пример решения задачи 3
Задано: координаты вершин треугольника: A(70,45,60), B(40,55,0) и C(0,10,45). Требуется построить проекции плоскости BEF, проходящей через вершину В заданного треугольника АВС и перпендикулярной стороне АС.
Последовательность решения задачи.
1. По заданным координатам X, Y, Z строят проекции вершин треугольника АВС (рис. 4а).
Рис. 4
2. Две стороны треугольника BEF задают линиями уровня – горизонталью h и фронталью f, проходящими через точку В и перпендикулярными стороне АС, т.е. h1 ^ А1С1, а f2 ^ А2С2 (рис. 4б).
3. Ограничиваем проекции линий уровня точками F1, F2 и E1, E2 и строим проекции треугольника BFE (рис. 4в).
4. Строим линию пересечения двух треугольников (рис. 4г). Линия пересечения треугольников проходит через вершину В и точку К пересечения стороны EF с треугольником АВС. Для определения точки К:
– проводим через строну EF фронтально-проецирующую плоскость Т2.
Эта плоскость пересекается с треугольником АВС по линии, начало и конец которой ограничен на рисунке черными точками;
– строим горизонтальную проекцию линии пересечения. Точка К1, полученная в результате пересечения построенной линии со стороной E F, и будет искомой точкой. Проекциями линии пересечения двух плоскостей будут отрезки В1К1 и В2К2 (рис. 4г).
5. Определяем видимость треугольников с помощью конкурирующих точек (точек лежащих на проецирующей прямой). На рис. 4д показан пример определения видимости сторон АС и EF треугольников. Последовательность определения видимости треугольников в проекциях такова:
– выбираем конкурирующие точки. Проекции точки 1 – на проекциях стороны АС, а проекции точки 2 – на проекциях стороны EF (рис. 4д);
– показываем направление взгляда наблюдателя стрелкой на горизонтальной проекции. Так как точка 2 ближе к наблюдателю, то она видимая, следовательно, сторона EF тоже ближе к наблюдателю и потому видимая;
– определяем видимость треугольников на фронтальной проекции. Так как сторона FE треугольника BFE видимая, то часть треугольника ВEF выше линии пересечения КВ будет видимая, а ниже линии пересечения – невидимая. Для треугольника АВС, наоборот, часть треугольника выше линии пересечения будет невидимой, ниже линии пересечения видимой.
6. Обводим стороны треугольников: видимые участки – толстой линией, а невидимые – штриховой (рис. 4е).
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Назовите основные виды проецирования.
2. Сформулируйте основные свойства ортогонального проецирования.
3. Что называется комплексным чертежом?
4. Как построить комплексный чертеж точки?
5. Какие положения могут занимать точки, относительно плоскостей проекций?
6. Как обозначаются проекции точек, линий и поверхностей на комплексном чертеже?
7. Какие положения могут занимать прямые линии относительно плоскостей проекций?
8. Какие положения могут занимать плоскости относительно плоскостей проекций?
9. Какие главные линии плоскости вы знаете?
10. Сформулируйте теорему о проецировании прямого угла.
11. Как определяется длина отрезка прямой общего положения способом прямоугольного треугольника?
12. Как определить по правилу прямоугольного треугольника натуральную величину угла между прямой общего положения и плоскостью проекций по двум заданным проекциям отрезка этой прямой?
13. Сформулируйте основные позиционные свойства пар геометрических элементов.
14. Сформулируйте основные метрические свойства пар геометрических элементов.
15. Что такое конкурирующие точки и что с их помощью определяют?
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате выполнения задания студенты научатся:
– изображать и узнавать геометрические элементы (точки, прямые, плоскости) на комплексном чертеже;
– моделировать на комплексном чертеже взаимное расположение геометрических элементов с учетом позиционных и метрических свойств ортогональных проекций.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Середа В.Г. Начертательная геометрия. Практикум для студентов: учеб. пособие/ В.Г. Середа, А.Ф. Медведь. – Севастополь: СевНТУ, 2008. – 120 с.
2. Методические указания к выполнению расчетно-графического задания по дисциплине «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика» для студентов технических специальностей дневной и заочной форм обучения: в 2-х частях. –Ч. І. Моделирование геометрических элементов по заданным характеристикам. Сост. В.М. Бабенко, О.В. Мухина. – Севастополь: СевНТУ, 2010. – 36 с.
Технический редактор – Р.В. Дмитриева
Подписано к печати 25.03.16. Изд. № 205/15. Зак. 385/ 2015. Тираж 100 экз.
Объем 2,5 п.л. Усл. печ. л. 2,32. Уч.-изд. л. 2,46.
Формат бумаги 60 х 84 1/8
РИИЦМ ФГаоУВО «Севастопольский государственный университет»
