(12)
Умножая здесь обе части на dt и снова интегрируя, найдем
(13)
Так как при t = 0 х = 0, то С 3 = 0, и искомый закон движения груза будет
х = 2,5 t 2 + 8,4 t - 0,5 sin (4 t), (14)
где х - в метрах, t - в секундах.
Задача Д3
(тема: “Теорема об изменении кинетической энергии системы”)
Механическая система состоит из грузов 1 и 2 (коэффициент трения грузов о плоскость f = 0,1), цилиндрического сплошного однородного катка 3 и ступенчатых шкивов 4 и 5 с радиусами ступеней R 4 = 0,3 м, r 4 = 0,1 м, R 5 = 0,2 м, r 5 = 0,1 м (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу) (рис. Д3.0 – Д3.9, табл. Д3). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.
Под действием силы F = f (s), зависящей от перемещения точки приложения силы, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 4 и 5 действуют постоянные моменты сил сопротивлений, равные соответственно M 4 и М 5.
Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы 
равно s,. Искомая величина указана в столбце "Найти" таблицы, где обозначено: 
- скорость груза 1, 
- скорость центра масс катка 3, 
- угловая скорость тела 4 и т.д.
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Таблица Д3
| Номер усло-вия | m 1, кг | m2, кг | m 3, кг | m 4, кг | m 5, кг | M 4, Н×м | M 5, Н×м | F = f(s) | s 1, м | Найти |
| 0,8 | 50(2+3 s) | 1,0 |
| |||||||
| 0,6 | 20(5+2 s) | 1,2 | 
| |||||||
| 0,4 | 80(3+4 s) | 0,8 |
| |||||||
| 0,3 | 40(4+5 s) | 0,6 | 
| |||||||
| 0,6 | 30(3+2 s) | 1,4 |
| |||||||
| 0,9 | 40(3+5 s) | 1,6 |
| |||||||
| 0,8 | 60(2+5 s) | 1,0 |
| |||||||
| 0,6 | 30(8+3 s) | 0,8 | 
| |||||||
| 0,3 | 40(2+5 s) | 1,6 |
| |||||||
| 0,4 | 50(3+2 s) | 1,4 |
|
Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
(краткие сведения из теории)
Кинетическая энергия.Кинетической энергией точки называется величина  , где m – масса точки,  – абсолютная скорость точки. Кинетическая энергия механической системы
 , (1)
где  – масса точки системы,  – абсолютная скорость этой точки.
При поступательном движении твердого тела
 ,
где M – масса тела, – скорость тела;
при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси
 ,
где  – момент инерции тела относительно оси вращения, w – угловая скорость тела;
при плоском движении тела
 ,
где M – масса тела,  – скорость центра масс,  – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс С, w – угловая скорость тела.
|
Момент инерции тела относительно оси z – это величина
 ,
где – масса точки тела,  – расстояние от этой точки до оси z.
Момент инерции тела зависит от формы тела и положения оси z. Значения для однородных тел простой формы (кольцо, стержень, диск, прямоугольник, цилиндр и т. д.) приводятся в справочниках по механике; значения , необходимые для решения данной задачи, приведены ниже в указаниях к решению.
Если задан радиус инерции r тела, то  , где M – масса тела.
Элементарная работа силы dA на бесконечно малом перемещении ds точки, в которой приложена сила, равна
 , (2)
где  – сила, ds – модуль бесконечно малого перемещения точки, – скорость точки, в которой приложена сила (направление  совпадает с направлением ). Выражение (2) – одна из возможных форм записи  . Например, если учесть, что  , то из (2) следует еще одна форма записи:
 , (3)
где dt – время бесконечно малого перемещения. Из (2) (или (3)) следует, что
 если  ;
если  ;
 если  ;
 если  .
Если сила приложена к точке вращающегося тела, то, применяя (2), получим
 , (4)
где  – момент силы относительно оси вращения тела,  – бесконечно малый угол поворота тела. Если на тело действует пара сил, то (4) дает элементарную работу пары сил, где – момент пары сил относительно оси z.
Работа силы на конечном перемещении точки из  в 
 . (5)
Из (5) следуют выражения для работы силы в частных случаях.
Работа силы тяжести (постоянной):
 ,
где P=mg – сила тяжести,  – перемещение центра масс тела по вертикали. Знак “–“ соответствует движению центра масс вверх.
|
Теорема об изменении кинетической энергии системы.
Формулировка (в интегральной (конечной) форме): изменение кинетической энергии системы на некотором конечном перемещении системы из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к точкам системы на соответствующих конечных перемещениях точек приложения этих сил.
Математическая запись:
 .
Если система состоит из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями или стержнями (неизменяемая система), то  .
|
Указания. Задача ДЗ - на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел: эту энергию нужно выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вычислении кинетической энергии катка, совершающего плоское движение, для установления зависимости между его угловой скоростью и скоростью его центра масс воспользоваться понятием о мгновенном центре скоростей (кинематика). При определении работы все перемещения следует выразить через заданное перемещение s 1, учтя, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями.
Когда по данным таблицы m 2 = 0, груз 2 на чертеже не изображать; шкивы 4 и 5 всегда входят в систему.
Пример ДЗ. Механическая система (рис. ДЗ) состоит из сплошного цилиндрического катка l, ступенчатого шкива 2 с радиусами ступеней R 2 и r 2 (масса шкива равномерно распределена по его внешнему ободу) и груза 3 (коэффициент трения груза о плоскость равен f). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкив 2.
| Под действием силы F = f (s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движения из состояния покоя. При движении на шкив 2 действует постоянный момент М 2 сил сопротивления.
Дано: m 1 = 4 кг, m 2 = 10кг,
m 3 = 8 кг, R 2 = 0,2 м, r 2 = 0,1м, f = 0,2. М 2 = 0,6 Н × м, F = 2(1+2 s) Н, s 1 = 2м.
Определить: скорость 
центра масс катка, когда s = s 1.
|
Решение. 1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из тел 1 2, 3, соединенных нитями. Изобразим все действующие на систему внешние силы: активные 
, момент сопротивления М 2 реакции 
и силы трения 
и 
.
Для определения 
воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы
(1)
2. Определяем Т 0 и Т. Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т 0 = 0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:
(2)
Учитывая, что тело 1 совершает плоское движение, тело 3 движется поступательно, а тело 2 вращается вокруг неподвижной оси, получим
(3)
Все входящие сюда скорости следует выразить через искомую . Приняв во внимание, что точка K 1 - мгновенный центр скоростей катка 1, и обозначив радиус катка через r 1, получим
(4)
Кроме того, входящие в (3) моменты инерции имеют значения
(5)
Подставив все величины (4) и (5) в равенство (3), а затем используя равенство (2) получим окончательно:
(6)
3. Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при том перемещении, которое будет иметь система, когда точка С 1 пройдет путь s 1. Одновременно все перемещения следует выразить через заданную величину s 1, для чего учтем, что здесь зависимость между перемещениями будет такой же, как и между соответствующими скоростями в равенствах (4), т.е. 
. В результате получим:
Работа остальных сил равна нулю, так как точка K 1, где приложены силы 
и , является мгновенным центром скоростей, точка O, где приложены 
, и 
, неподвижна, а реакция 
перпендикулярна перемещению груза 3. Тогда окончательно
(7)
4. Подставив выражения (6) и (7) в уравнение (1) и учитывая, что T 0 = 0, получим
(8)
При числовых значениях заданных величин равенство (8) дает
Отсюда находим искомую скорость.
Ответ: = 1.53м/с.
