Рассмотрим числовую последовательность 
(1). Что будет, если мы возьмем в том же порядке часть членов этой последовательности, образующих бесконечное множество?
Определение 3. Счетное упорядоченное подмножество 
(9) членов последовательности (1) называется подпоследовательностью последовательности (1)
Если последовательность (1) имеет предел, то, очевидно, подпоследовательность (9) имеет тот же предел. При каких обстоятельствах расходящаяся последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность?
Теорема 4. (Больцано-Вейерштрассе) Каждая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Рассмотрим ограниченную числовую последовательность (1), все члены которой лежат на отрезке 
. Разделим отрезок пополам и в качестве отрезка 
возьмем ту его половину, которая содержит бесконечно много членов последовательности (1). Разделим отрезок пополам и в качестве отрезка 
возьмем ту его половину, которая содержит бесконечно много членов последовательности (1). Продолжая этот процесс, мы получим последовательность вложенных друг в друга отрезков, длины которых, уменьшаясь каждый раз вдвое, стремятся к 0. Следовательно, эти вложенные отрезки по принципу Кантора имеют единственную общую точку 
. Построим теперь искомую подпоследовательность следующим образом. В качестве 
возьмем первый из членов последовательности (1), принадлежащий отрезку . В качестве 
возьмем первый из членов последовательности (1), принадлежащий отрезку , не совпадающий с . В качестве 
возьмем первый из членов последовательности (1), принадлежащий отрезку 
, не совпадающий с предыдущими выбранными членами подпоследовательности. Продолжая этот процесс, мы получим искомую последовательность , сходящуюся к указанному числу .
Определение 4. Пусть задана числовая последовательность (1). Наибольший из пределов различных подпоследовательностей последовательности (1) называется верхним пределом последовательности (1) и обозначается символом 
. Наименьший из пределов различных подпоследовательностей последовательности (1) называется нижним пределом последовательности (1) и обозначается символом 
.
Несложно проверить, что у ограниченной сверху последовательности верхний предел совпадает с точной верхней гранью этого множества, а у ограниченной снизу последовательности нижний предел совпадает с точной нижней гранью этого множества.
Критерий Коши
В определении предела числовой последовательности (1) есть существенный недостаток. Нельзя выяснить, существует ли предел числовой последовательности, не найдя предварительно этого предела. Критерий Коши сходимости числовой последовательности лишен этого недостатка и эквивалентен определению предела.
Теорема 5. (Критерий Коши) Числовую последовательность (1) сходится тогда и только тогда, когда выполнен следующий критерий: 
(10)
Доказательство. Необходимость.
Достаточность.
