ИКТИБ ИТА ЮФУ
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
Лекция 13 Монотонные последовательности, число e
Мы доказываем теорему о свойствах пределов. Пусть 
, 
, тогда 
, 
, 
, а если, кроме того, 
, 
, то 
.
Доказательство формулы 
. Мы докажем, что предел частного последовательностей равен частному от их пределов, если каждый из пределов существует, все числа в знаменателе не равны 0 и предел знаменателя не равен 0. Так как , то 
, где 
- б. м. Аналогично 
, где 
- б. м. Отсюда следует, что 
. Для доказательства формулы достаточно доказать, что величина 
является б. м. Проверим, что величина 
является б. м. В самом деле, легко проверить, что в полученном выражении числитель стремится к 0, а знаменатель по модулю больше некоторого положительного числа. Формула доказана.
Пример 1. Найдите пределы числовых последовательностей (
):
а) 
, 
; б) 
, ;
Решение. а) Докажем, что 
. В самом деле, 
, т. е. 
является б. м. величиной. Можно доказать, что отношение многочленов равно 0, если степень числителя меньше степени знаменателя; равно бесконечности (является б. б.), если степень числителя больше степени знаменателя; равно отношению коэффициентов при старших степенях, если степень числителя равна степени знаменателя.
б) Докажем, что 
. В самом деле, 
, поэтому 
. Полученная величина отличается от 0,5 на б. м. величину.
Свойства монотонных последовательностей
Давайте повторим это определение, используя в большей степени русский язык. Предел числовой последовательности существует и равен некоторому числу, если, начиная с некоторого номера, все члены
Определение 1. Числовая последовательность 
(1) называется монотонной, если для каждого натурального 
выполнено одно из четырех условий: 
(2), 
(3), 
(4), 
(5). В случае выполнения условия (2) последовательность (1) называется монотонно возрастающей. В случае выполнения условия (3) последовательность (1) называется монотонно убывающей. В случае выполнения условия (4) последовательность (1) называется монотонно неубывающей. В случае выполнения условия (5) последовательность (1) называется монотонно невозрастающей.
Теорема 1. Монотонная и ограниченная числовая последовательность имеет предел.
Доказательство. Достаточно доказать, что монотонно неубывающая последовательность (1) имеет предел. В самом деле, во-первых, возрастающая последовательность является частным случаем неубывающей последовательности. Во-вторых, если поменять знаки последовательности, то она из убывающей превратится в возрастающую.
Итак, пусть для последовательности (1) выполнено условие (4) и последовательность (1) ограничена. Но ведь ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань, допустим – это число 
, для которого все 
. Докажем, что в таком случае . Будем действовать в соответствии с определением предела числовой последовательности. Пусть задано число 
, тогда число 
не является верхней гранью множества членов последовательности (1). Следовательно, существует номер 
такое что 
. Но тогда, в силу монотонности, при условии 
также 
. С учетом соотношения для этих членов числовой последовательности выполнено условие 
. А это и означает, что . Теорема доказана.
Бином Ньютона
Мы знаем, что 
, 
и т. д. Формула бинома Ньютона обобщает эти правила на случай произвольной степени.
Теорема 2. Справедлива формула бинома Ньютона 
, (6) где 
.
Доказательство. Теорема будет доказана методом математической индукции. Что такое метод математической индукции? Если утверждение надо доказать для всех натуральных значений параметра , то для этого достаточно доказать это утверждение для 
и затем доказать, что из справедливости утверждения для 
следует справедливость этого утверждения для 
.
Проверим справедливость формулы (6) при . Действительно, 
, т. к. (проверьте) 
.
Пусть формула (6) справедлива при , т. е. 
. Вычислим 
. Последнее произведение представляется в виде 
и при этом 
. С другой стороны, для проверки индуктивного предположения надо доказать, что 
. Следовательно, для завершения доказательства теоремы Ньютона надо установить справедливость соотношения 
. Действительно, 
. Теорема доказана.
Кстати, величина 
называется числом сочетаний из по 
и показывает, сколькими способами можно выбрать предметов из предметов.
Число e
Рассмотрим числовую последовательность 
, (7).
Теорема 3. Для членов числовой последовательности (7) справедливы соотношения: , 
.
Доказательство. Для величины применим формулу бинома Ньютона. Следовательно, 
и отсюда 
. Мы видим, что с ростом каждое слагаемое в последней записи 
и число слагаемых увеличиваются. Следовательно, . Для доказательства второй части теоремы заметим, что 
. Теорема доказана.
Итак, числовая последовательность (7) является монотонно возрастающей, ограниченной сверху последовательностью. Следовательно, она имеет предел. Этот предел является важной мировой константой, является трансцендентным числом и имеет специальное название.
Определение 2. Предел числовой последовательности (7) называется числом e.
Итак, по определению 
. (8)
