Лекция 6. Плоские электромагнитные волны в однородной изотропной среде
Волновые уравнения
Одним из важнейших результатов, полученных Максвеллом, явилось доказательство волновой природы переменного во времени электромагнитного поля. Уже утверждалось то, что изменение во времени электрического поля приводит к возникновению вихревого магнитного поля, изменяющегося в пространстве, и наоборот. Докажем волновой характер электромагнитного поля математически. Сведем уравнения Максвелла к другим уравнениям, которые заведомо описывают волновой процесс. Для этого можно взять уравнение Максвелла в виде, не охватывающем явление «первичного возбуждения» электромагнитного поля, то есть без сторонних источников, и исследовать поведение поля за пределами области, где находятся его источники.
Рассмотрим однородную изотропную среду с заданными параметрами 
. Для упрощения математических преобразований предположим, что проводимость среды 
, то есть это идеальная диэлектрическая среда без потерь. Исходными являются уравнения Максвелла для данной среды
(6.1)
(6.2)
(6.3)
. (6.4)
Уравнения (6.1) и (6.2) взаимосвязаны, в каждое из них входит и вектор 
, и вектор 
. При выделении из (6.1) и (6.2) в отдельности вектора и вектора приходим к дифференциальным уравнениям второго порядка для каждого вектора. Возьмем ротор от обеих частей уравнения (6.1) и изменим порядок дифференцирования по времени и по пространственным координатам в правой части (6.1)
. (6.5)
Используем равенство из векторного анализа
, (6.6)
где 
– оператор Лапласа.
Подставляя (6.4) в (6.6) и (6.2), (6.6) в (6.5), приходим к дифференциальному уравнению второго порядка для вектора
. (6.7)
Взяв ротор от обеих частей уравнения (6.2), аналогичным образом выводится уравнение для вектора
. (6.8)
Коэффициент перед второй производной по времени в уравнениях (6.7), (6.8) имеет размерность сек2/м2, то есть обратно пропорционален квадрату скорости. Каждое из векторных уравнений (6.7), (6.8) эквивалентно трем скалярным уравнениям. Обозначим через S любую из пространственных составляющих векторов и , тогда скалярные уравнения принимают вид
. (6.9)
Как известно, уравнения вида (6.9) описывают волновые процессы, причем параметр V равен скорости распространения этого процесса. Такие уравнения называют однородными (с правой нулевой частью) уравнениями Даламбера или однородными волновыми уравнениями. Искомая функция S, описывающая волновой процесс, изменяется и в пространстве и во времени. При учете источников волновых процессов правая часть уравнения (6.9) не равна нулю и уравнение называется неоднородным. Волновое уравнение (6.9) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, решением которого являются функции вида 
, где верхний знак соответствует волне, бегущей вдоль направления r, а нижний знак - волне, бегущей в противоположном направлении. Выбор физического решения выполняется на основе знания местоположения источника.
Полученные уравнения для векторов и электромагнитного процесса отличаются от (6.9) только тем, что входящие в них функции являются векторными. Уравнения такого типа (6.7), (6.8) называют однородными векторными уравнениями Даламбера или однородными векторными волновыми уравнениями. Входящий в уравнения (6.7), (6.8) параметр
(6.10)
связан со скоростью распространения электромагнитной волны в среде без потерь.
Для монохроматического поля вновь воспользуемся комплексным представлением мгновенных значений векторов поля, входящих в уравнения (6.7), (6.8)
; 
. (6.11)
Выполнив дифференцирование по времени в волновых уравнениях (6.7), (6.8) и сократив 
, получим волновые уравнения для комплексных амплитуд векторов поля и
(6.12)
, (6.13)
Величина k имеет размерность рад/м или, короче, м-1. Для k употребляются также термины коэффициент фазы и волновое число, это одна из важнейших характеристик волнового процесса. В теории гармонических волновых процессов уравнения (6.12), (6.13) получили название однородные векторные уравнения Гельмгольца. Если среда обладает потерями, в общем случае и электрическими, и магнитными, она характеризуется комплексными диэлектрической и магнитной проницаемостями 
. Тогда волновое число становится комплексным 
и уравнения Гельмгольца принимают вид
(6.14)
. (6.15)
Волновые уравнения (6.7), (6.8) для мгновенных значений векторов поля и волновые уравнения (6.12) – (6.15) для комплексных амплитуд векторов монохроматического поля описывают волновые процессы, то есть распространение электромагнитных волн в пространстве. Здесь и в дальнейшем речь пойдет о так называемых свободных волнах, распространяющихся в свободном пространстве (или в неограниченной однородной изотропной среде) и “потерявших” в процессе распространения связь со своими источниками. Ниже изучаются гармонические волны, математическая запись которых является решением волновых уравнений Гельмгольца. При решении волновых уравнений в сферической системе координат получаем математическую запись сферической волны, в цилиндрической системе координат – цилиндрической волны, в декартовой системе координат – плоской волны. В данном разделе будет изучен простейший вид волнового процесса – плоские однородные волны.
Плоские электромагнитные волны в однородной изотропной среде
Плоской называется электромагнитная волна, векторы и которой имеют постоянные фазы на плоскости, ортогональной направлению распространения. Эта плоскость называется фронтом волны, ее называют еще поверхностью равных фаз или волновой поверхностью или синфазной поверхностью. Плоская волна называется однородной, если амплитуды векторов и не меняются в плоскости фронта. Возбудить в неограниченном пространстве плоскую однородную волну с помощью реального устройства невозможно, так как при этом источник должен представлять бесконечную синфазную плоскость и затрачивать бесконечную мощность. Понятие плоской однородной волны применяется как простейшая математическая модель, раскрывающая основные свойства свободных электромагнитных волн. В реальных случаях это понятие используется при аппроксимации сложного волнового фронта в локальных условиях пространства. Так на достаточно большом расстоянии от источника малый участок сферического фронта в ограниченных участках пространства из-за малой кривизны можно заменить плоскостью и сферическую волну локально аппроксимировать плоской волной. Например, пусть сферическая волна создается элементарным электрическим вибратором. Рассмотрим электромагнитное поле в дальней зоне в безграничной, однородной изотропной среде без потерь. Предположим, что векторы поля и требуется знать только в области V, размеры которой малы по сравнению с расстоянием до источника r 0. Под объемом V можно понимать объем приемной антенны с поперечными размерами малыми по сравнению с расстоянием до излучателя. Введем декартову систему координат x, y, z, ось z которой проведена вдоль радиуса – вектора, соединяющего середину вибратора Q с точкой O, принятой за начало координат (рис. 6.1).
Рис. 6.1. К понятию локально плоского фронта волны
Ориентация векторов и относительно осей x и y зависит от ориентации вибратора. В общем случае эти векторы могут иметь составляющие по осям х и у. В пределах объема V векторы поля и синфазны и поверхности равных фаз определяются уравнением z = const, т.е. представляют собой плоскости, перпендикулярные направлению распространения по оси z. Таким образом, сферическую волну в пределах области V можно рассматривать как плоскую. Этот вывод относится к любому источнику, излучающему сферическую волну.
Определение поля плоской однородной волны и анализ основных ее параметров проведем в безграничной, однородной, изотропной среде с заданными параметрами 
и 
. Частным случаем такой идеальной диэлектрической среды является вакуум с параметрами 
. Атмосферный воздух по своим параметрам близок к вакууму, так что в большинстве случаев для расчета электромагнитных полей воздух рассматривается как среда с 
. Введем декартову систему координат (рис. 6.2).
Рис. 6.2. Система координат для плоской волны
Источник, создающий плоскую однородную волну, находится за пределами рассматриваемой области. Предположим, он расположен со стороны отрицательных значений координаты z (рис. 6.1). Так как среда безгранична, то в рассматриваемой области пространства (z > 0) волна распространяется в положительном направлении оси z. Фронт волны представляет собой бесконечные плоскости, перпендикулярные направлению распространения. Уравнение фронта волны z = const.
Поле плоской однородной волны определим из решения однородных уравнений Гельмгольца (6.12), (6.13)
(6.16)
. (6.17)
Векторные уравнения (6.16), (6.17) эквивалентны системе шести скалярных уравнений, решение которых максимально упрощается для плоской однородной волны. Так как волна плоская и однородная, то фазы и амплитуды векторов поля не меняются в плоскости фронта, т.е. не зависят от координат x и y. Искомые комплексные амплитуды 
и 
являются функциями только одной координаты z. Производные по координатам x и y равны нулю. Далее покажем, что если векторы поля и зависят от одной координаты (в данном случае координаты z), то у них отсутствует составляющая по этой координате. Запишем второе уравнение Максвелла в виде системы трех скалярных уравнений
;
; (6.18).
.
Из третьего уравнения сразу получаем 
. Аналогичным образом из первого уравнения Максвелла получаем 
. С учетом проведенного анализа векторное уравнение Гельмгольца (6.16) сводится к двум скалярным уравнениям. Это дифференциальные уравнения второго порядка уже не в частных, а в обыкновенных производных, так как 
и 
зависят лишь от координаты z
; (6.19)
. (6.20)
Общее решение этих дифференциальных уравнений представляет собой сумму двух экспоненциальных слагаемых
; (6.21)
, (6.22)
где 
– амплитуды, определяемые мощностью источника.
Функция 
– называется волновым множителем, а так же оператором бегущей волны или фазовым множителем. Покажем, что решение, содержащее множитель 
, описывает волновой процесс, распространяющийся с определенной скоростью в положительном направлении оси z (так называемая прямая волна). Проведем рассуждения, например, для первого частного решения (6.21), записав его мгновенное значение.
. (6.23)
В выражении (6.23) 
– амплитуда, (
) – фаза, 
– круговая частота, k – коэффициент фазы. Напряженность электрического поля изменяется в пространстве и во времени. В фиксированной точке пространства, например z = 0, электрическое поле 
изменяется во времени по гармоническому закону
.
Временной интервал, по истечению которого фаза меняется на 
, называется периодом T
. (6.24)
Если зафиксировать время, например t = 0, то распределение 
также имеет гармонический характер
.
Пространственный интервал, по прохождению которого фаза меняется на 
вдоль направления распространения, называется длиной волны 
, 
. (6.25)
Таким образом, частота 
переводит временной интервал T в фазу 
, а коэффициент k переводит пространственный интервал в ту же фазу.
Поверхность, удовлетворяющая уравнению постоянства фазы
, (6.26)
представляет собой фронт волны z = const. В рассматриваемом случае фронт представляет собой бесконечные плоскости, перпендикулярные оси z. Скорость перемещения фронта волны называется фазовой скоростью
. (6.27)
Выражение фазовой скорости (6.27) совпало со скоростью (6.10), входящей в волновые уравнения (6.7), (6.8). Фазовая скорость может быть определена экспериментально через измеренное значение длины волны в интерференционной картине поля, образованной волной падающей на границу раздела сред и отраженной волной. Возвращаемся к уравнению постоянства фазы (6.26). Поскольку время изменяется всегда лишь в одном направлении, уравнение 
выполняется, если возрастает координата z, и соответствует перемещению фронта в направлении положительной оси z.
Таким образом, решение (6.23) определяет волну, распространяющуюся в положительном направлении оси z. Мгновенное значение второго решения в (6.21) имеет вид
. (6.28)
Здесь уравнение постоянства фазы
будет выполняться, если положительным изменениям времени 
соответствуют уменьшение координаты 
, то есть волна (6.28) распространяется вдоль убывающих значений z (так называемая обратная волна). Эти волны (прямая и обратная) не связаны между собой, так как им соответствуют два линейно независимых решения дифференциального уравнения (6.19). Ранее мы предположили, что источник расположен со стороны отрицательных значений z и в безграничной среде должна существовать только волна (6.23), бегущая в положительном направлении оси z. Поэтому в (6.28) берем 
= 0. Все приведенные рассуждения относятся и к уравнению (6.22).
Итак, решение однородного уравнения Гельмгольца (6.16) определяет электрическое поле плоской однородной волны, распространяющейся вдоль оси z
. (6.29)
Аналогично может быть записано решение однородного уравнения Гельмгольца (6.17) для комплексной амплитуды вектора 
. Но уравнения Гельмгольца (6.16) и (6.17) независимы, и теряется связь между комплексными амплитудами векторов поля 
и . Эта связь заложена в уравнениях Максвелла, и необходимо воспользоваться этой дополнительной информацией. По найденному вектору (6.29) из второго уравнения Максвелла (6.18) определяем напряженность магнитного поля
(6.30)
. (6.31)
Значения комплексных амплитуд векторов поля и в любой точке пространства связаны коэффициентом пропорциональности, имеющим размерность Ом и называемым характеристическим сопротивлением среды 
(буква «c» является начальной буквой английского слова characteristic).
, 
. (6.32)
По определению, характеристическое сопротивление среды – величина, определяемая отношением поперечных к направлению распространения волны составляющих комплексных амплитуд векторов поля бегущей волны. В нашем случае
. (6.33)
В идеальной диэлектрической среде (
= 0) сопротивление (6.33) определяется только параметрами среды. Подчеркнем, что сопротивление есть коэффициент пропорциональности, не связанный в общем случае с тепловыми потерями энергии в среде. Знание характеристического сопротивления данной среды позволяет находить поперечные компоненты магнитного поля в плоской волне по известным поперечным компонентам электрического поля и наоборот.
Искомое уравнение плоской однородной волны, распространяющейся вдоль оси z в идеальной диэлектрической среде, определяется решениями уравнений Гельмгольца (6.16), (6.17) и принимает вид
; (6.34)
. (6.35)
Из четырех поперечных к направлению распространения компонент векторов поля, один компонент имеет знак минус. При этом каждая пара ортогональных составляющих электрического и магнитного полей дают одинаковое направление вектора Пойнтинга. На рис. 6.2а показана ориентация векторов поля (6.34), (6.35) и вектора Пойнтинга волны, распространяющейся вдоль оси z.
Рис. 6.2 а. Ориентация векторов поля и вектора Пойнтинга
Во втором соотношении выражений (6.32) знак минус относится к х-ой составляющей магнитного поля, а не к характеристическому сопротивлению.
Проделаем небольшие преобразования и получим еще одну запись поля плоской однородной волны
.
Аналогичные преобразования можно проделать с вектором . В результате получим следующую запись поля плоской волны, распространяющейся вдоль оси z
. (6.36)
Из выражений (6.36) следует, что векторы и перпендикулярны и оба вектора и перпендикулярны оси распространения, поэтому плоская однородная электромагнитная волна является поперечной.
Проанализируем полученные результаты. Рассмотрим случай, когда вектор имеет лишь одну составляющую, например, , тогда вектор также будет иметь одну составляющую, перпендикулярную 
, в данном случае это составляющая 
. Перейдем к их мгновенным значениям
(6.37)
. (6.38)
Поверхности равных фаз (фронт волны) определяются уравнением 
и представляют собой плоскости, перпендикулярные оси z. Согласно (6.37), (6.38) векторы и изменяются синфазно, и их амплитуды не зависят от координат. На рис. 6.3 изображены мгновенные значения векторов и (6.37), (6.38) в зависимости от времени в некоторой точке пространства z = z 0, а на рис. 6.4 приведена зависимость и от координаты z в некоторый момент времени t = t 0.
Рис. 6.3. Изменение поля плоской волны во времени
Рис. 6.4. Изменение поля плоской волны в пространстве
Из сравнения рисунков следует, что зависимости от времени и от координаты z имеют одинаковый характер. Как было показано в (6.27) такая волна распространяется с фазовой скоростью
, (6.39)
не зависящей от частоты. Распространение волны сопровождается переносом энергии. Среднее за период значение вектора Пойнтинга вычисляется по формуле
. (6.40)
Имеется только активный поток энергии в направлении оси z. Ориентация вектора 
показывает направление распространения волны и направление переноса мощности. Скорость распространения энергии определяется по формуле (4.33), она равна фазовой скорости
(6.41)
и одинакова при любой частоте волны. В качестве примера рассмотрим характеристики плоских электромагнитных волн в некоторых средах.
1. Вакуум. Идеальная среда, имеющая параметры 
. Коэффициент фазы плоской волны в вакууме
.
Откуда фазовая скорость
равна скорости света и не зависит от частоты. Длину волны в вакууме принято обозначать 
.
Характеристическое сопротивление вакуума
Величина 
действительная, то есть в любой точке z векторы поля и синфазны. Как уже отмечалось, атмосферный воздух при нормальных условиях схож по своим свойствам с вакуумом, поэтому в большинстве случаев для расчета электромагнитных волн в воздухе можно использовать формулы, представленные для вакуума.
2. Диэлектрическая немагнитная среда без потерь с параметрами 
. Фазовая скорость плоских однородных волн в такой среде
.
Фазовая скорость, а, следовательно, и длина волны в диэлектрике
уменьшаются в 
раз по сравнению с аналогичными величинами в вакууме. Характеристическое сопротивление диэлектрической среды также уменьшается
.
3. Магнитодиэлектрическая среда без потерь с параметрами 
. Фазовая скорость, длина волны и характеристическое сопротивление волны в такой среде вычисляются по формулам:
.
