ЛЕКЦИЯ 4.
Апериодическое звено II-ого порядка
Передаточная функция.
Передаточная функция апериодического звена II-ого порядка имеет вид:
W(s) = K/[(T1·s + 1)·(T2·s + 1)]
где K – коэффициент усиления; T1 и T2 – постоянные времени, также характеризующая инерционность системы, т.е. продолжительность переходного процесса в ней. (T1 > 0 и T2 > 0).
Математическое описание звена.
Апериодическое звено II-ого порядка описывается дифференциальным уравнением второго порядка:
(T1T2)·d2у(t)/dt2 + (T1 + T2)·dу(t)/dt + у(t) = K·х(t)
Физическая реализация звена.
Апериодическое звено II-ого порядка можно рассматривать как комбинацию двух апериодических звеньев I-ого порядка, т.е. это могут быть различного рода двухъемкостные (двухкаскадные) тепловые, гидравлические и пневматические объекты. Примером апериодического звена II-ого порядка также является двухфазный асинхронный электродвигатель.
Переходная характеристика.
Переходная характеристика апериодического звена II-ого порядка имеет вид:
h(t) = L-1[W(s)·1(t)] = L-1[K/[s·(T1·s + 1)·(T2·s + 1)]] =
= K·[1 – (T1/(T1 – T2))·e-t/T1 – (T2/(T2 – T1))·e-t/T2]
В частном случае, когда T1 = T2 = T аналитическое выражение для переходной характеристики имеет несколько иной вид:
h(t) = L-1[W(s)·1(t)] = L-1[K/[s·(T·s + 1)2]] =
= K·[1 – e-t/T – (t/T)·e-t/T]
Рис. 4.1. Переходная характеристика апериодического звена П-го порядка.
Переходный процесс апериодического звена II-ого порядка имеет экспоненциальный вид с перегибом в начальной области. Это означает, что звено имеет высокую инерционность и как бы не сразу начинает реагировать на входное воздействие. Установившееся значение равно: hуст = K.
Время регулирования Tу (время переходного процесса) для апериодического звена II-ого порядка в 3 – 5 раз превышает значение большей из постоянных времени.
Tу ≈ (3 ÷ 5)·T2
Весовая функция.
Весовая функция апериодического звена II-ого порядка имеет вид:
w(t) = L-1[W(s)] = L-1[K/ [(T1·s + 1)·(T2·s + 1)]] =
= K·[(1/(T1 – T2))·e-t/T1 + (1/(T2 – T1))·e-t/T2]
В частном случае, когда T1 = T2 = T аналитическое выражение для весовой функции имеет несколько иной вид:
w(t) = L-1[W(s)] = L-1[K/ (T1·s + 1)2] =
= (K·t/T2)·e-t/T
Для весовой функции апериодического звена II-ого порядка характерно плавное изменение амплитуды с максимумом: 1) в точке t = T для случая, когда T1 = T2 = T; 2) в точке t = TП (приведенная постоянная времени) для случая, когда T1 ≠ T2.
Приведенная постоянная времени Tп определяется по формуле:
Рис. 4.2. Весовая характеристика апериодического звена П-го порядка.
Частотные характеристики.
Частотные характеристики (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАХ) апериодического звена II-ого порядка имеют достаточно сложный аналитический вид.
Переход к асимптотической ЛАХ: Будем считать, что T1 > T2. Аналогично случаю апериодического звена I-ого порядка вводим сопрягающие частоты w1 = 1/T1 и w2 = 1/T2, которые делят весь частотный диапазон на три участка: область низких частот, область высоких частот и промежуточную область.
Область низких частот: w << w1; можно пренебречь выражениями под логарифмами. Получаем: L(w) = 20lgK. Это горизонтальная прямая.
Область высоких частот: w >>w2; в логарифмах можно пренебречь единицами. Получаем L(w) = 20lgK – 20lgT1w – 20lgT2w. Это – уравнение прямой с наклоном -40дб/декаду.
Промежуточная область частот: w1 > w > w2. Строим прямую, соединяющую оба предыдущих участка.. Получаем L(w) = 20lgK – 20lgT1w. Это – уравнение прямой с наклоном -20дб/декаду.
Рис. 4.3. АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАХ и ЛФХ апериодического звена II-ого порядка.
Колебательное звено
Передаточная функция.
Передаточная функция колебательного звена имеет вид:
W(s) = K/[T2·s2 + 2T·ξ·s + 1]
где K – коэффициент передачи; T – постоянная времени, характеризующая инерционность системы, т.е. продолжительность переходного процесса в ней. (T > 0); ξ – коэффициент (декремент) затухания, который характеризует рассеяние энергии в звене (0 < ξ < 1).
При ξ 
1 колебательное звено превращается в апериодическое звено П-го порядка.
Математическое описание звена.
Колебательное звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка:
T2·d2у(t)/dt2 + 2T ξ·dу(t)/dt + у(t) = K·х(t)
