Алгоритмы автоматической оптимизации

 

7.1. Статическая и динамическая оптимизация

Управление техпроцессом должно быть организовано таким образом, чтобы соотношение его параметров соответствовало заданному экстремуму целевой функции или допустимому граничному режиму, близкому к экстремальному. Если оптимальный режим может быть рассчитан заранее и поддерживаться в соответствии с рассчитанными значениями параметров, то такую оптимизацию называют статической, и ее задачи решают методами программного управления. Если же условия функционирования ТО непрерывно меняются и эти изменения трудно оценить заранее, то АСУТП должна вести автоматический поиск оптимального режима. Организацию такого поиска называют динамической оптимизацией.

Реальные техпроцессы зачастую подвергаются возмущениям, имеющим случайный характер и существенно изменяющим характеристики техпроцессов. В результате воздействия различных возмущений режим функционирования технологического оборудования может отклоняться от оптимального несмотря на поддержание управляющих параметров на заданном первоначально уровне. В таком случае возникает задача определения и задания новых значений управляющих параметров, обеспечивающих оптимальный режим в изменившихся условиях. Если эти значения не могут быть по тем или иным причинам определены заранее и заданы программно, то они определяются по ходу техпроцесса по мере отклонения последнего от оптимального режима. В описанных условиях такие отклонения возникают постоянно, так что необходимо вести поиск оптимального режима в течение всего времени техпроцесса. Иными словами, необходимо непрерывно совершать, одну за другой, попытки достижения оптимального режима. Такие попытки носят название шагов оптимизации. Алгоритмы управления, обеспечивающие непрерывный пошаговый поиск оптимального режима, называются алгоритмами автоматической оптимизации.

Методы оптимизации зависят от характера решаемых задач. Если целевая функция линейна и линейны уравнения ограничений, действующих в управляемом техпроцессе, то прибегают к методам линейного программирования. Если целевая функция нелинейна, то применяют преимущественно градиентные методы. Линейное программирование обычно представлено различными модификациями симплексного метода. Чаще всего оно применяется при решении задач экономического характера, являющихся для АСУТП типичными задачами статической оптимизации. Задачи динамической оптимизации обычно решаются градиентными методами, так как целевые функции техпроцессов чаще всего нелинейны.

 

7.2. Градиентные методы автоматической оптимизации

Сущность градиентных методов заключается в том, что на каждом шаге оптимизации при поиске максимума или минимума целевой функции приращения управляющих параметров выбираются пропорциональными частным производным целевой функции по этим параметрам.

Это правило можно отобразить с помощью следующего рекуррентного соотношения:

 

, , (7.1)

где – значение i-го параметра на (j+1)-м шаге оптимизации;

– значение того же параметра на j-том шаге оптимизации;

– коэффициент, определяющий величину шага оптимизационной процедуры, называемый также шагом;

– частная производная целевой функции F_ц по i -му параметру x_i, которая вычисляется на каждом шаге оптимизации;

n – количество управляющих параметров оптимизируемого процесса.

Частные производные являются проекциями градиента функции F _цв (n+1)-мерном пространстве, которое составляют параметры x_i и функция F _ц. Примем во внимание, что градиент – это вектор, указывающий направление на максимум функции. По этой причине знак плюс в формуле (6.1) ставится, если оптимальный режим соответствует максимуму целевой функции, а знак минус – если оптимальный режим соответствует минимуму целевой функции.

В пределах шага оптимизационной процедуры, когда оптимизируемые параметры получают приращения

, (7.1′)

 

расчётные значения частных производных не изменяются. После выполнения шага оптимизации значение , согласно соотношению (7.1), увеличивается или уменьшается до значения , а это означает, что при изменении параметров техпроцесса в пределах ÷ , i = 1, 2,… n, значения частных производных функции F _цпо этим параметрам принимались неизменными. Следовательно, на каждом шаге оптимизации, в пределах шага, целевая функция принимается линейной, хотя в действительности она нелинейна. Если шаг чрезмерно велик (значение чрезмерно велико), то в пределах шага фактические значения частных производных функции F _цмогут уменьшиться до нуля и даже изменить свой знак, а последнее будет означать, что система управления «проскочила» точку оптимального режима, точку, в которой все частные производные целевой функции равны нулю, т.е.

= 0, i = 1, 2,… n. (7.2)

На следующем шаге при чрезмерно большом система управления может опять пройти точку оптимального режима, но уже в обратном направлении. Начнется так называемое рысканье, из-за которого оптимальный режим не будет достигнут. Если значение достаточно мало, то рысканья не будет, но при чрезмерно малом продвижение к оптимальному режиму будет замедленным, из-за чего оптимальный режим также не будет достигнут: во-первых, поиск оптимального режима может затянуться на всё время реализации техпроцесса (даже при неизменности его параметров); во-вторых, за время поиска параметры техпроцесса могут изменяться так быстро, что система управления не будет успевать найти управляющие параметры, соответствующие оптимальному режиму. Дело в том, что при динамической оптимизации, производимой в течение работы ТО, значения частных производных целевой функции должны быть определены экспериментально, методом конечных разностей. Если контролируются n параметров, то на каждом шаге оптимизации, одновременно с выполнением технологической задачи, необходимо произвести поочередно малое приращение каждого из параметров (i = 1, 2,… n). Эти приращения должны быть достаточно малы, с тем чтобы не нарушать достигнутый уровень оптимизации режима работы, а с другой стороны – достаточно велики, чтобы их можно было измерить с заданной точностью с помощью существующей приборной базы. Кроме того, данные приращения должны оставаться неизменными в течение серии шагов оптимизации, чтобы уменьшить объём производимых при поиске оптимального режима вычислений.

Допустим, что установлены оптимизированные значения управляющих параметров (i = 1, 2,… n) на j -том шаге оптимизации. Им соответствует исходное на текущем шаге оптимизации значение целевой функции F_ц0. Далее следует последовательно, одно за другим, выставить значения управляющих параметров +Δ , где Δ – запланированное пробное приращение i -того параметра, и вычислить n новых значений целевой функции F_цi (i= 1, 2,… n), соответствующих текущему шагу оптимизации. После этого можно будетвычислить все необходимые для реализации очередного шага оптимизации значения n частных производных целевой функции:

= , i= 1, 2,… n. (7.3)

Новые оптимизированные значения x_{ij +1} на (j +1)-м шаге оптимизации рассчитываются по формуле (6.1), после чего рассчитывается новое значение F_ц0.

Рассмотренная процедура измерений и расчетов может оказаться достаточно длительной при управлении реальным быстротекущим технологическим процессом, и тогда она, как показано выше, не гарантирует оптимальности режима работы из-за возможного рысканья или недостаточности быстродействия. Если же система управления достаточно быстродействующая, то итерационный процесс поиска оптимального режима должен продолжаться до тех пор, пока не получится

| F_цi – F_цo | < ε, i= 1, 2,… n,(7.4)

где ε– малое положительное число, выбранное так, чтобы неравенство (7.4) обеспечивало достаточную близость к оптимальному режиму, т.е. к выполнению условий (7.2).

При поиске оптимального режима в точке экстремума целевой функции необходимо следить за тем, чтобы этот экстремум был глобальным, а не локальным, т.е. чтобы он соответствовал точке наибольшего значения целевой функции из всех значений, которых она достигает в точках локальных экстремумов. Эта проблема решается на этапе выбора начальной точки задания рабочего режима, которая должна находиться в такой окрестности глобального оптимума, что дальнейший поиск оптимального режима методом градиента автоматически приводил бы именно к глобальному оптимуму. Выбор такой начальной точки, т.е. совокупности управляющих параметров, задающих исходный рабочий режим, предшествующий автоматическому поиску оптимального режима, зависит в значительной степени от опыта и интуиции проектировщиков и наладчиков системы оптимизации.

Далее необходимо обеспечить максимальное быстродействие системы оптимизации без чрезмерного рысканья в окрестности точки оптимального режима. При этом следует учитывать, что наибольшее время в течение шага оптимизации затрачивается на сбор экспериментальных данных для расчета проекций градиента целевой функции в соответствии с соотношением (7.3). Чтобы наиболее эффективно использовать полученный экспериментальный материал, следует правильно выбрать значение шагового коэффициента . Начальное его значение выбирается исходя из опыта проектирования и наладки аналогичных систем автоматической оптимизации. Наиболее простым способом уточнения значений является метод удвоения длины шага. Он заключается в том, что если после выполнения шага оптимизации с начальным значением окажется F_ц< F_цo (при минимизации F_ц) или F_ц > F_цo (при максимизации F_ц), то производится еще один шаг без сбора экспериментальных данных, с прежними значениями и , что эквивалентно удвоению . Если после этого значение F_ц снова уменьшится (при минимизации) или увеличится (при максимизации), то приступают к обычному шагу оптимизации, т. е. начинают сбор экспериментальных данных но с новым, удвоенным значением . В противном случае попытка удвоения считается неудачной и очередной шаг оптимизации производится с прежним значением . Если же на очередном шаге оптимизации сразу окажется F_ц>F_цо (при минимизации) или F_ц<F_цо при максимизации, то следующий шаг производится обычным порядком, но с уменьшенным вдвое значением . Тем самым предотвращается рысканье при определении параметров оптимального режима.

 

7.3. Автоматическая оптимизация электрохимической обработки

В качестве примера применения метода градиента рассмотрим оптимизацию электрохимической обработки (ЭХО).

При электрохимической обработке металла происходит анодное растворение обрабатываемого участка в среде электролита. В процессе анодного растворения электролит загрязняется, и скорость внедрения обрабатывающего электрода в изделие постепенно уменьшается. Чтобы ее повысить, обрабатывающий электрод отодвигают от изделия и в это время производят промывку межэлектродного промежутка. Во время промывки анодное растворение не производится. После промывки производится контроль (измерение глубины внедрения обрабатывающего электрода в изделие), а затем, если заданная глубина ещё не достигнута, вновь приступают к анодному растворению металла. Таким образом, цикл ЭХО состоит из трёх стадий: времени анодного растворения t_a, времени промывки t _п и времени контроля t_{k ,}, причём рабочим операциям всегда предшествует контроль.

Если за время t_a обрабатывающий электрод внедряется в изделие на глубину h, то средняя скорость внедрения электрода в изделие за цикл обработки составит

. (7.5)

Величину t_k делают минимально возможной, а величины t_а и t _п варьируют так, чтобы скорость V_ср внедрения обрабатывающего электрода в изделие стала как можно больше. Чем больше V_ср, тем выше производительность ЭХО. Поэтому, если настраивать ЭХО на максимум производительности, то в качестве целевой функции системы автоматической оптимизации (САО) целесообразно принять выражение (7.5), причем САО должна вести поиск максимума V_ср. Этот поиск заключается в том, что САО периодически так изменяет параметры t_а и t _п, что значение V_ср увеличивается. В идеале такая САО должна поддерживать значение V_ср на максимально возможном уровне при всех возможных возмущениях. Величину и знак изменений управляющих параметров t_а и t _п будем определять методом градиента, описанным выше. Каждый цикл расчёта приращений управляющих параметров и задания системе их новых значений будем называть шагом оптимизации. Поскольку в процессе реализации ЭХО качество электролита непрерывно ухудшается и при этом, как мы увидим ниже, смещается точка оптимального режима, то оптимизация ЭХО должна проводиться непрерывно в течение всего времени ЭХО.

Опишем методику автоматической оптимизации ЭХО, выразив параметры ЭХО в относительных единицах:

,

где – максимально возможное значение скорости внедрения электрода при самом благоприятном сочетании параметров;

τ_а=t_а/Т_а – относительное время анодного растворения;

τ _п =t _п /Т_а – относительное время промывки;

τ_к=t_к/Т_а – относительное время контроля;

Т_а – постоянная времени загрязнения электролита на стадии анодного растворения.

При оптимизации по методу градиента согласно соотношению (7.1) управляющие параметры τ_а и τ _п должны изменяться на каждом шаге оптимизации по следующим правилам:

; (7.6)

. (7.6')

Здесь i – это индекс, которым помечены значения параметров и их производных на i- ом шаге оптимизации,

k _i – коэффициент, определяющий величину шага.

Очевидно, что чем ближе мы к максимуму v _ср, тем меньше должны быть изменения значений τ_а и τ _п, чтобы избежать рысканья САО в окрестности оптимума. Поэтому значения k_i выбирают обратно пропорционально величине v_ср. А величины производных от v_ср определяют при помощи факторного анализа. С этой целью на каждом шаге оптимизации САО производит полнофакторный эксперимент, при котором она задаёт управляющим параметрам τ_а и τ _п малые приращения Δ τ_а и Δ τ _п, которые ввиду своей незначительности существенно не влияют на ход техпроцесса. Величина этих пробных приращений всегда одна и та же. С каждым приращением производится один цикл ЭХО. Затем по формуле (7.5), но в относительных единицах, САО производит расчет значений v_ср, используя данные о ходе ЭХО, полученные по каналам текущей информации. Результаты расчётов на каждом шаге оптимизации, состоящем из четырёх циклов ЭХО, сводятся в таблицу 7.1.

Таблица 7.1

Номер цикла ЭХО	Время активной стадии	Время промывки	Средняя скорость внедрения в изделие
	τаi	τ п i	vсрi1
	τаi	τ п i+ Δ τ п	vсрi2
	τаi+ Δ τа	τ п i+ Δ τ п	vсрi3
	τаi+ Δ τа	τ п i	vсрi4

 

Как видно из табл. 7.1, по результатам эксперимента можно вычислить по два приближенных значения интересующих нас производных целевой функции v_ср. За истинные значения производных САО принимает средние значения, вычисленные по результатам полнофакторного эксперимента:

;

.

Если подставить полученные значения производных в выражения (7.6), то после соответствующих преобразований получим следующий алгоритм управления, по которому должна действовать САО ЭХО на каждом шаге оптимизации:

; (7.7)

 

, (7.8)

где k₁– постоянный коэффициент, учитывающий значение Δ τ_а и другие неизменные параметры САО;

v_cpi – среднее значение величины v_cp в пределах шага оптимизации:

. (7.9)

При работе по алгоритму, описанному в таблице 7.1 и выражениями (7.5)-(7.9), САО ЭХО будет периодически вносить поправки в соотношение τ_а и τ _п, удерживая техпроцесс на максимуме производительности. Полнофакторные эксперименты, необходимые для удержания техпроцесса на максимуме производительности, производятся непрерывно, один за другим, а истинное значение производительности определяется формулой (7.9).

Дальнейшее изучение возможностей оптимизации ЭХО будем вести с помощью математической модели ЭХО, решённой относительно скорости v_{ср ,} являющейся целевой функцией. Исходя из представления об изменении концентрации продуктов электрохимических реакций на каждой стадии ЭХО по экспоненциальному закону, придем к следующему выражению для средней скорости внедрения электрода в изделие:

, (7.10)

где k_T = Т _п /Т_а характеризует степень загрязнения электролита: чем больше значение k_T, тем больше загрязнение;

Т _п – постоянная времени промывки электролита.

При расчёте методом градиента параметров оптимального режима значения целевой функции v_ср будем вычислять по выражению математической модели (7.10) в соответствии с программой полнофакторного эксперимента, приведённой в таблице 7.1. Затем по формулам (7.7) и (7.8) будем определять значения оптимизированных параметров τ_а и τ _п на каждом шаге оптимизации, а по формуле (7.9) – оценивать достигаемое увеличение производительности. Поиск оптимального режима будем вести до тех пор, пока достигаемое на текущем шаге оптимизации увеличение значения v_ср не станет меньше заданного ε в соответствии с неравенством

. (7.11)

С помощью увеличения значения k_T можно моделировать ухудшение качества электролита в процессе реализации ЭХО и оценить влияние этого ухудшения на производительность и параметры оптимального режима ЭХО.

 

Пример7.1. Определить параметры оптимального режима ЭХО методом градиента и оценить влияние ухудшения качества электролита.

Исходные данные: τ_a0 =0,18; τ _{п 0} =0,88; Δ τ_a =0,036; Δ τ _п=0,072; τ_к =0,3; k₁ =1; ε_доп =0,005.

Определить параметры оптимального режима при k_T1 =1,8 и k_T2 =5,8.

Для проведения расчётов на компьютере рекомендуется составить расчётную программу. Величину ε необходимо определять исходя из неравенства (7.11) и сравнивать с допустимым значением ε_доп.

Результаты расчётов приведены в таблицах 7.2 и 7.3.

k_{T 1}=1,8 Таблица 7.2

ε	−	0,38	0,030	0,015	0,0091	0,0060	0,0042
τа	0,18	0,388	0,437	0,472	0,499	0,521	0,539
τп	0,88	0,851	0,841	0,835	0,832	0,830	0,830
v ср	0,0974	0,1374	0,1415	0,1436	0,1450	0,1458	0,1464

 

k_{T 2}=5,8 Таблица 7.3

ε	-0,53	0,011	0,0087	0,0069	0,0055	0,0045
τа	0,554	0,538	0,524	0,512	0,502	0,493
τп	0,831	0,855	0,877	0,896	0,914	0,930
v ср	0,0676	0,0684	0,0690	0,0694	0,0698	0,0702

 

Параметры оптимального режима:

1). k_T =1,8; τ_a=0,539; τ_п=0,830; v _ср=0,1464;

2). k_T =5,8; τ_a=0,493; τ_п=0,930; v _ср=0,0702.

Прочерк в таблице 7.2 означает, что начальное значение v_ср (до начала процесса оптимизации) не с чем сравнить. Переход к k_T2 =5,8, т.е. ухудшение качества электролита, ведёт к резкому уменьшению v_ср. В действительности же таких резких скачков не случается, так как качество электролита ухудшается постепенно.

 

 

Лекция 8