Теорема 11.1. (Пуассона) Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с вероятностью р. Тогда, если число испытаний неограниченно возрастает, а p →0, причём n∙p=a – величина постоянная, то P n (k) 
.
По формуле Бернулли вероятность того, что событие появится ровно k раз в n независимых испытаниях
P n (k)= 
pkqn-k= pk (1 - p) n-k.
Отсюда
P n (k)= 
pk (1 - p) n-k= 
pk (1 - p) n-k.
По условию a=n∙p 
p= 
, подставляя, получим:
P n (k)= 
=
= 
… 
=
= … 
.
Переходя к пределу при n →∞
= 
= 
[ т.к. 
]. 
Замечание 11.2. Теоремой Пуассона удобно пользоваться, когда p →0, причём a=n∙p 
10.Существуют специальные таблицы, в которых приведены значения вероятностей для различных параметров a и k.
Формула Бернулли удобна, когда значение n не очень велико. В противном случае используют приближенные формулы из теорем Муавра-Лапласа.
Теорема 11.3. (локальная теорема Муавра-Лапласа) Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна и отлична от 0 и 1, т.е.0< p <1, то вероятность того, что событие A появится ровно k раз в n независимых испытаниях
P n (k) 
, где 
– малая функция Лапласа, 
, q =1- p.
Имеются специальные таблицы значений функции 
. Нужно учитывать, что функция – чётная, т.е. 
= .
Теорема 11.4. (интегральная теорема Муавра-Лапласа) Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна и отлична от отлична от 0 и 1, т.е. 0< p <1, то вероятность того, что событие А появится от k1 до k2 раз в n независимых испытаниях, определятся выражением:
P n (k1,k2) 
, где 
– функция Лапласа, 
, 
, q =1- p.
Функция Лапласа – нечётная, т.е. 
. Значения находят по таблице.
Пример 11.5. Пусть вероятность события А в каждом отдельном испытании p =0,8. Найти вероятность того, что событие А появится 75 раз в 100 независимых испытаниях.
По локальной теореме Муавра-Лапласа х = 
= 
= –1,25. Значение 
(–1,25)= (1,25)=0,1826 находится по таблице.
Тогда вероятность
P100(75) 
*0,1826 
0,04565.
Пример 11.6. Вероятность Р(А) появления события А в одном испытании равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится более 69 раз в 100 независимых испытаниях.
n =100, p =0,8, q =0,2, k1= 70, k1= 100.
По интегральной теореме Муавра-Лапласа 
= 
= 
= –1,25, 
= 
= 
= 5. По таблице 
(-2,5)= - (2,5)= -0,4938, (5)=0,5, P100(70,100) (5) - (-2,5)=0,5+0,4938=0,9938
Случайные величины
Определение 12.1. Случайной величиной Хназывается функция Х(ω), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множество действительных чисел 
. Т.о. Х(ω): Ω→ .
Пример 12.2. Дважды подбрасывается монета. Рассмотрим случайную величину Х – число выпадений герба, определённую на пространстве элементарных исходов Ω={(г,г),(г,p),(p,г),(p,p)}. Множество возможных значений случайной величины Х-{0,1,2}. Составим таблицу
| ω | (г,г) | (г,p) | (p,г) | (p,p) |
| Х(ω) |
Одной из важнейших характеристик случайной величины является её функция распределения.
Определение 12.3. Функцией распределения случайной величины Хназывается функция F(x)=F X (x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина X примет в результате эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х
F(x)=P{ X< x }=P{ X 
(-∞; x)}.
Замечание 12.4. Если рассматривать случайную величину Х как случайную точку на оси O x, то функция распределения F(x) с 
геометрической точки зрения – это вероятность того, что случайная точка Х в результате реализации эксперимента попадёт левее точки х.
Свойства функции распределения
Свойство 12.5. Функция распределения F(x) – неубывающая функция, т.е.для 
таких, что 
выполняется условие F(x) F(x).
Поскольку , то события { 
}={ 
}+{ 
}, по определению функции распределения F()=F()+P{ }.
Т.к. P{ } 
0, то F()>F().
Свойство 12.6. Для таких, что справедливо равенство P{ }= F()–F().
Замечание 12.7. Если функция распределения F(x) – непрерывная, то свойство 12.6 выполняется и при замене знаков и < на < и .
Свойство 12.8. 
F(x)=0; 
F(x)=1.
F(-∞)=P{ X < -∞ }=P(Ø)=0, F(+ ∞)=P{ X <+ ∞ }=P(Ω)=1.
Свойство 12.9. Функция распределения F(x) непрерывна слева (
F(x)=F(
)).
Свойство 12.10. P{ X x }=1-F(x).
{ X<+∞ }={ X<x }+{ X x }, по свойству вероятности P{ X<+∞ }=P{ X<x }+P{ X x };
P(Ω)=1= F(x)+ P{ X x }, откуда P{ X x }=1- F(x).
