Деление отрезка в данном отношении

Пусть в пространстве даны две точки М₁ и М₂. Говорят, что точка М делит отрезок М₁М₂. в отношении , если

 

Точка М делит отрезок М₁М₂ в отношении .

Точка N делит тот же отрезок М₁М₂ в отношении .

Видимо, при мы получим середину отрезка.

Если известны координаты начала М₁ и конца М₂ отрезка, то координаты точки М, делящей отрезок М₁М₂ в отношении , находят по формулам:

, ,

 

где т. М₁(х₁, у₁, z₁), т. М₂(х₂, у₂, z₂), т. М(х, у, z).

Координаты середины отрезка получают при :

 

 

Например, если т. А(-2, 3, 4), т. В(0, 1, -2), то координаты середины отрезка АВ получим из формул:

 

z=

 

Итак, точка С(-1, 2, 1) является серединой отрезка АВ.

3. Угол между векторами вычисляется по формуле

 

cos .

4. Условие перпендикулярности двух векторов: х₁×х₂+у₁×у₂+z₁×z₂=0.

5. Условие коллинеарности двух векторов:

Если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны.

Пример № 1.

Даны три вершины параллелограмма: А(4;2), В(5;7), С(-3;4). Найти четвертую вершину D, противолежащую вершине В.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма: диагонали его, пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам.

 

Пусть точка М – точка пересечения диагоналей параллелограмма АВСD.

Тогда точка М – середина отрезка АС; координаты точки М найдем из формул:

А

 

 

Итак, т. М(.

Но точка М является серединой и отрезка ВD. Поэтому верны равенства:

 

и .

; .

Из этих равенств находим координаты вершины D(-4, -1).

Проверить правильность решения можно, построив все вершины параллелограмма.

Пример № 2.

Найти центр тяжести треугольника, зная координаты его вершин:

А(1;4), В(-5;0), С(-2;-1).

Центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения медиан, которая делит отрезок любой медианы в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка М делит отрезок СD в отношении =2, а точка D – середина стороны АВ.

 

 

;

 

Середина стороны АВ – точка D(-2;2). Координаты точки М найдем, рассматривая отрезок СD.

 

 

Итак, центр тяжести треугольника лежит в точке М(-2,1).

Построим все точки и убедимся, что решение верно.

 

 

Пример № 3.

Проверить, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(5; 2; 6;), В(6; 4; 4), С(4; 3; 2) и D (3; 1; 4), есть квадрат.

Квадратом является четырехугольник, у которого стороны взаимно перпендикулярны и длины сторон равны.

Запишем координаты векторов, совпадающих со сторонами:

 

=(6-5; 4-2; 4-6)=(1; 2; -2)

=(4-6; 3-4; 2-4)=(-2; -1; -2)

=(3-4; 1-3; 4-2)=(-1; -2; 2)

=(5-3; 2-1; 6-4)=(2; 1; 2)

Проверим, выполняется ли условие перпендикулярности для каждой пары смежных сторон-векторов.

 

=1×(-2)+2×(-1)+(-2)×(-2)=-2–2+4=0, что и доказывает, что ^ .

=(-2)×(-1)+(-1)×(-2)+(-2)×2=2+2–4=0, т. е. ^ .

=(-1)×2+(-2)×1+2×2=0, т. е. ^ .

=2×1+1×2+2×(-2)=0, т. е. ^ .

 

Мы установили, что стороны четырехугольника взаимно перпендикулярны. Покажем, что и длины сторон его равны.

 

,

 

Итак, АВСD – квадрат. Заметим, что построением эту задачу не проверить, так как точки заданы не на плоскости, а в пространстве.