Декартовы координаты на прямой,
На плоскости и в пространстве
 |
Прямую линию с указанным на ней направлением, началом отчета и единицей масштаба назовем числовой осью. Каждому действительному числу Х на числовой оси соответствует единственное число, которое называется координатой данной точки.
Здесь числа х2>х1>0, х3<0.
х3, х1, х2, х - координаты точек Q, F, N, M соответственно. Записывают:
Q (х3), F (x1), N(x2), M (x).
Точки F и N ограничивают отрезок FN. Очевидно, его длина | FN | = х2- х1.
Две взаимно перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой единицей масштаба образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одна из осей - ось абсцисс Ох, другая - ось ординат Оу.
Каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел х, у.
x, у называют координатами точки М и записывают М (х, у).
В пространстве декартова прямоугольная система координат представляет собой совокупность трех взаимно перпендикулярных осей с общим началом и одинаковой единицей масштаба. Это ось абсцисс Ох, ось ординат Оу и ось аппликат Оz. Каждая точка пространства М имеет координаты х, у, z. Записывают:
М (х, у, z).
Вектор. Основные понятия. Действия над векторами
Вектором называется направленный отрезок.
Будем обозначать вектор либо символом 
, где точки А и В – начало и конец направленного отрезка, либо символом 
(малая латинская буква с чертой).
Для обозначения длины вектора будем использовать символ модуля:
| 
| – длина вектора 
,
| | – длина вектора .
Вектор называется нулевым (или нуль-вектором), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления, длина его равна числу 0. Записывают: | 
| = 0.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если векторы и 
коллинеарны, то записывают: 
|| .
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеютодинаковую длину и одинаковое направление. Записывают: = .
Понятно, что вектор можно переносить параллельно самому себе в любую точку пространства, т.е. изучаемые в геометрии векторы являются свободными.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях.
 |
Рассмотрим векторы, совпадающие с ребрами куба.
Векторы 
и 
коллинеарны, но не равны.
Векторы , , , 
, компланарны, так как лежат в параллельных гранях.
Векторы , , 
равны: = = .
В квадрате MNKZ векторы 
, 
, 
, 
, имеют одинаковые длины, но не равны. Если изменим направление у двух векторов, то можно утверждать, что 
= и 
= .
Рассмотрим векторы, совпадающие со сторонами ромба ABCD.
Здесь = , но ¹ 
, ¹ , хотя длины векторов, совпадающих со сторонами ромба, равны:
| | = | | = | | = | 
|.
Линейными операциями над векторами называют сложение векторов и умножение вектора на число.
Суммой + двух векторов и называется вектор 
, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора . Записывают:
 |  | ||
= 
+ 
.
Рис. 1. Рис. 2.
Это правило называется "правилом треугольника" (рис. 1). Для сложения двух векторов можно использовать "правило параллелограмма" (рис. 2): если векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то суммой и этих векторов является вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, идущей из общего начала векторов и .
Сумму трех, четырех и большего числа векторов можно построить по "правилу многоугольника": начало каждого последующего вектора совмещают с концом предыдущего, а суммой всех векторов является вектор, идущий из начала первого вектора в конец последнего. На рис. 3 построена сумма четырех векторов 
+ 
+ 
+ 
.
Рис. 3
Три вектора в пространстве можно складывать по "правилу параллелепипеда": если на трех векторах , , , как на ребрах, построить параллелепипед, то его диагональ, выходящая из общего начала данных векторов, и будет их суммой (рис. 4):
= + + .
Рис. 4
Произведением 
× вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную | |×| |, одинаково с вектором направленный в случае >0 и противоположно с ним направленный в случае <0. Записывают:
= × .
Когда =0, для любого вектора произведение × равно нуль-вектору:
0 × = .
Когда =1, 1× = .
Когда = -1, (-1)× =- - вектор, противоположный вектору .
Итак, при умножении вектора на число получаем вектор, коллинеарный данному. Поэтому, если известно, что = 
× , где - число, имеем два коллинеарных вектора и . Иначе говоря, равенство = × является условием коллинеарности векторов и .
Для примера рассмотрим векторы, совпадающие со сторонами треугольника АВС: 
= , 
= .
Требуется выразить через векторы и 
вектор 
, где О – точка пересечения медиан треугольника.
Известно, что точка О пересечения медиан треугольника делит отрезок медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому =2/3× 
, где точка D – середина стороны СВ.
Но вектор =1/2× =1/2× ; =-1/2× .
В треугольнике САD вектор = + = -1/2× + .
Искомый вектор =-2/3(-1/2 + )= 1/3× -2/3× .
Итак, =1/3× -2/3× . Заметим, что разность векторов и можно рассматривать как сумму вектора и вектора, противоположного вектору :
– = +(–1)× = +(– ).
В нашем примере из треугольника САD можно получить вектор = – =1/2× – .
Если вектор умножить на число 1/| |, получим так называемый единичный вектор вектора (или орт вектора ), который обозначается 0. Итак, орт вектора или единичный вектор вектора
0=1/| |× = /| |; | 0|=1.
Принято единичные векторы на координатных осях Ох, Оу, Оz обозначать 
, 
, 
соответственно.
Линейные операции над векторами обладают теми же свойствами, что и линейные операции над матрицами. Укажем некоторые из них:
1) + = + – перестановочный закон сложения;
2) +( + )=( + )+ – сочетательный закон сложения;
3) ×(
× ) = ( × )× – сочетательный закон умножения на число;
4) ×( + )= × + × ;
5) ( + )× = × + × – распределительные законы.
Рассмотрим координаты вектора, для чего перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Пусть конец вектора – точка М.
Координатами вектора назовем координаты его конечной точки.
 |
Рис. 5
Рис. 6
Так как координатами точки на плоскости являются два числа х и у, то на плоскости вектор задается двумя координатами.
Записывают: =(х, у) (рис. 5).
В пространстве вектор задается тремя координатами х, у и z.
Записывают: =(х, у, z) (рис. 6).
Нетрудно показать, что при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Если даны координаты векторов и =(х1, у1, z1), =(х2, у2, z2) и
= + ; = - ; 
= × ,
то координаты векторов , , легко находятся:
=(х1+х2; у1+у2; z1+z2),
=(x1-x2; y1–y2; z1–z2),
=( ×х1; ×у1; ×z1).
На рис. 5 и рис. 6 видно, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:
| |=| 
|= 
.
В плоском случае достаточно считать третью координату z равной нулю.
 |
Если вектор
ограничен двумя точками, координаты которых заданы: т. А (х1, у1, z1), т. В (х2, у2, z2), то легко найти координаты самого вектора .
Рис. 7
На рис. 7 видно, что вектор можно получить как разность векторов 
и 
, где т. О – начало координат:
= – ,
=(х1, у1, z1), =(х2, у2, z2).
Тогда координаты вектора равны разности соответствующих координат конца и начала вектора:
=(х2–х1; у2–у1; z2–z1).
Расстояние между точками А и В вычислим как длину вектора :
| АВ |=| |= 
.
Углом между векторами и назовем наименьший угол, на который надо повернуть один вектор до совпадения его с другим.
Записывают (
)= 
.
Покажем угол между вектором и координатной осью Ох, например. Обозначим этот угол через . Пусть = .
 |
Очевидно, что cos 
= 
= 
.
Обозначим через , , 
углы между вектором и координатными осями Ох, Оу, Оz соответственно. Тогда
cos = , cos = 
, cos = 
.
Эти формулы определяют направляющие косинусы вектора и полностью задают направление вектора в пространстве. Направляющие косинусы вектора удовлетворяют условию:
cos2 +cos2 +cos2 =1.
Это равенство легко получить, учитывая, что длина вектора
= .
В школьном курсе рассматривается еще одна операция над векторами – скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначают скалярное произведение векторов и символами
× или (, ).
Таким образом, по определению
× = × 
×cos ,
где – угол между векторами и .
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1. × = ×
2. 
3. ( + )× = × + ×
4. Если векторы и взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю (и наоборот), т. е. ^ 
× =0.
Условие × =0 поэтому и называют условием перпендикулярности векторов.
5. × = 
. Отсюда получают правило для вычисления длины вектора:
= 
Если известны координаты векторов и , то легко показать, что скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат векторов, т. е. если =(х1, у1, z1) и =(х2, у2, z2), то
× =х1×х2+у1×у2+z1×z2
Условие перпендикулярности тогда примет вид:
^ x1×x2+y1×y2+z1×z2=0
Пусть, например, даны векторы = (2, –1, 2), = (1, 0, 4), = (3, 4, –1).
Найдем скалярные произведения
× = 2 × 1 + (–1) × 0 + 2 × 4 = 10,
× =2 × 3 + (–1) × 4 + 2 × (–1) = 0,
× = 1 × 3 + 0 × 4 + 4 × (–1) = –1.
Мы обнаружили, что векторы и образуют прямой угол.
Используя определение скалярного произведения, можно вычислить угол между векторами по формуле
.
