Э л е к т р о с т а т и к а

Основные законы и формулы

 

• Закон Кулона

 

,

где F- сила взаимодействия двух точечных зарядов Q₁ и Q₂ в вакууме; r- расстояние между зарядами; ε₀- электрическая постоянная, равная 8,85ּ10^-12 Ф/м.

• Напряженность и потенциал электростатического поля

 

; или ,

где F - сила, действующая на положительный точечный заряд Q₀, помещенный в данную точку поля; П- потенциальная энергия заряда Q₀; А_∞- работа перемещения заряда Q₀ из данной точки поля за его пределы.

• Напряженность и потенциал электростатического поля точечного заряда Q на расстоянии r от заряда

 

; .

• Поток вектора напряженности через площадку dS

 

где dS=dS∙n- вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n

к площадке.

• Поток вектора напряженности через произвольную поверхность S

 

• Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей

 

;

где E_i φ_i- соответственно напряженность и потенциал поля, создаваемого зарядом Q_i.

• Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля

 

, или

где i, j, k- единичные векторы координатных осей.

 

• В случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией,

 

,

• Электрический момент диполя (дипольный момент)

 

,

где l- плечо диполя.

• Линейная, поверхностная и объемная плотности зарядов

 

; ; ,

т.е. соответственно заряд, приходящийся на единицу длины, поверхности и объема.

• Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

 

,

где ε₀- электрическая постоянная; - алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности S; n- число зарядов; ρ- объемная плотность зарядов.

• Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью,

.

• Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R с общим зарядом Q на расстоянии r от центра сферы,

 

при (внутри сферы);

при (вне сферы).

• Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечным цилиндром радиусом R на расстоянии r от оси цилиндра,

 

при (внутри цилиндра);

 

при (вне цилиндра).

• Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q₀ из точки 1 в точку 2,

, или ,

где E_l- проекция вектора Е на направление элементарного перемещения dl.

• Поляризованность

,

где V- объем диэлектрика; - дипольный момент i- й молекулы.

• Связь между поляризованностью диэлектрика и напряженностью электростатического поля

 

,

где æ- диэлектрическая восприимчивость вещества.

• Связь диэлектрической проницаемости ε с диэлектрической восприимчивостью æ

 

• Связь между напряженностью Е поля в диэлектрике и напряженностью внешнего поля

, или .

• Связь между векторами электрического смещения и напряженностью электростатического поля

 

.

• Связь между D, E и P

.

• Электроемкость уединенного проводника

 

,

где Q- заряд, сообщенный проводнику; φ- потенциал проводника.

• Емкость плоского конденсатора

 

,

где S- площадь каждой пластины конденсатора; d- расстояние между пластинами.

• Емкость цилиндрического конденсатора

 

,

где l- длина обкладок конденсатора; r₁ и r₂- радиусы полых коаксиальных цилиндров.

• Емкость сферического конденсатора

,

где r₁ и r₂- радиусы концентрических сфер.

• Емкость системы конденсаторов при последовательном и параллельном соединении

и ,

где C_i- емкость i- го конденсатора; n- число конденсаторов.

• Энергия уединенного заряженного проводника

 

.

• Энергия взаимодействия системы точечных зарядов

 

,

где φ_i- потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q_i, всеми зарядами, кроме i- го.

• Энергия заряженного конденсатора

 

,

где Q- заряд конденсатора; С- его емкость; Δφ- разность потенциалов между обкладками.

• Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора

 

.

• Энергия электростатического поля плоского конденсатора

 

,

где S- площадь одной пластины; U- разность потенциалов между пластинами; V=Sd- объем конденсатора.

• Объемная плотность энергии

 

,

 

где D- электрическое смещение.

 

Постоянный электрический ток

 

• Сила и плотность электрического тока

 

; ,

где S- площадь поперечного сечения проводника.

• Плотность тока в проводнике

,

где - скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике; n- концентрация зарядов.

• Электродвижущая сила, действующая в цепи,

 

, или ,

где Q₀- положительный заряд; А- работа сторонних сил; Е_ст- напряженность поля сторонних сил.

• Сопротивление R однородного линейного проводника, проводимость проводника G и удельная электрическая проводимость γ вещества проводника

 

; ; ,

где ρ- удельное электрическое сопротивление; S- площадь поперечного сечения проводника; l- его длина.

• Сопротивление проводников при последовательном и параллельном соединении

 

и ,

где R_i - сопротивление i- го проводника; n- число проводников.

• Зависимость удельного сопротивления ρ от температуры

 

,

где α- температурный коэффициент сопротивления.

• Закон Ома:

для однородного участка цепи

для неоднородного участка цепи

 

;

для замкнутой цепи

,

где U- напряжение на участке цепи; R- сопротивление цепи (участка цепи); (φ₁-φ₂)- разность потенциалов на концах участка цепи; Е₁₂- э.д.с. источников тока, входящих в участок; Е- э.д.с. всех источников тока цепи.

• Закон Ома в дифференциальной форме

,

где Е- напряженность электростатического поля.

• Работа тока за время t

.

• Мощность тока

.

• Закон Джоуля-Ленца

,

где Q- количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время t.

• Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

 

,

где w- удельная тепловая мощность тока.

• Правила Кирхгофа

;

 

 

Магнитное поле

 

· Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле,

,

где В- магнитная индукция; p_m- магнитный момент контура с током:

,

где S- площадь контура с током; n- единичный вектор нормали к поверхности контура.

• Связь магнитной индукции В и напряженности Н магнитного поля

,

где m₀- магнитная постоянная; m- магнитная проницаемость среды.

 

• Закон Био-Савара-Лапласа

,

где dB- магнитная индукция поля, создаваемая элементом длины dl проводника с током I; r- радиус-вектор, проведенный от dl к точке, в которой определяется магнитная индукция.

• Модуль вектора dB

.

где a- угол между векторами dl и r.

• Принцип суперпозиции (наложения) полей

,

где В- магнитная индукция результирующего поля; В_i- магнитные индукции складываемых полей.

• Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током,

,

где R- расстояние от оси проводника.

• Закон Ампера

,

где dF- сила, действующая на элемент длины dl проводника с током I, помещенный в магнитное поле с индукцией В.

• Модуль силы Ампера ,

где a- угол между векторами dl и В.

• Сила взаимодействия двух прямых прямолинейных бесконечных параллельных проводников с токами I₁ и I₂

.

где R- расстояние между проводниками; dl- отрезок проводника.

• Сила Лоренца

,

где F- сила, действующая на заряд Q, движущийся в магнитном поле со скоростью v.

• Магнитная индукция поля внутри соленоида (в вакууме), имеющего N витков,

,

где l- длина соленоида.

 

• Магнитная индукция поля внутри тороида (в вакууме)

 

• Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) через площадку dS

 

,

где - вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке; B_n- проекция вектора В на направление нормали к площадке.

• Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность S

 

.

• Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

 

,

где dФ- магнитный, пересеченный движущимся проводником.

• Закон Фарадея - Ленца

,

где E_i- э.д.с. индукции.

• Э.д.с. индукции, возникающая в рамке площадью S при вращении рамки с угловой скоростью ω в однородном магнитном поле с индукцией В,

 

,

где ωt- мгновенное значение угла между вектором В и вектором нормали n к плоскости рамки.

• Магнитный поток, создаваемый током I в контуре с индуктивностью L,

 

.

· Э.д.с. самоиндукции

,

где L- индуктивность контура.

· Индуктивность соленоида (тороида)

,

где N- число витков соленоида; l- его длина.

· Токи при размыкании и при замыкании цепи

; ,

где τ = L/R - время релаксации (L- индуктивность; R- сопротивление).

· Энергия магнитного поля, связанного с контуром индуктивностью L, по которому течет ток I,

.

· Объемная плотность энергии однородного магнитного поля длинного соленоида

 

.