Греческий алфавит
альфа alpha
бета beta
гамма gamma
дельта delta
эпсилон epsilon
дзета zeta
эта eta
(или 
) тета theta
йота iota
каппа kappa
ламбда lambda
мю mu
ню nu
кси xi
омикрон omicron
пи pi
ро rho
сигма sigma
тау tau
ипсилон upsilon
(или 
) фи phi
хи chi
пси psi
омега omega
Эквивалентные функции
при 
1..
2..
3..
4..
5..
6. 
, 
7. 
, 
8..
9..
Где.
11. 
где 
12..
Сравнение функций. O(f) и o(f).
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
12..
13..
14..
15..
16. 
Таблица производных
1. 
, 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
где 
14. 
где
15. 
16. 
Производные высших порядков
1) 
, 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
, 
.
Если функции 
и 
имеют производные порядка 
, то функции 
( 
-постоянные) и 
также имеют производные порядка , причем
6) 
;
7) 
- формула Лейбница.
Формулы Маклорена для основных элементарных функций
1. 
2. 
3. 
4. 
где 
5. 
где 
6. 
6.1. 
7. 
7.1. 
8. 
9. 
10. 
Если 
- четная функция, то: 
если - нечетная функция, то: 
Исследование функций и построение графиков
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать, не является ли функция четной или нечетной.
3. Исследовать, не является ли функция периодической.
4. Исследовать поведение функции в окрестности точек разрыва. Выписать вертикальные асимптоты.
5. Найти точки пересечения с осями координат и промежутки постоянства знака.
6. Найти горизонтальные и наклонные асимптоты.
7. Определить промежутки убывания и возрастания функции, а также точки экстремума.
8. Найти точки перегиба и установить промежутки выпуклости вверх и вниз графика функции.
9. Построить график функции.
Исследование функций и построение графиков
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать, не является ли функция четной или нечетной.
3. Исследовать, не является ли функция периодической.
4. Исследовать поведение функции в окрестности точек разрыва. Выписать вертикальные асимптоты.
5. Найти точки пересечения с осями координат и промежутки постоянства знака.
6. Найти горизонтальные и наклонные асимптоты.
7. Определить промежутки убывания и возрастания функции, а также точки экстремума.
8. Найти точки перегиба и установить промежутки выпуклости вверх и вниз графика функции.
9. Построить график функции.
Таблица неопределенных интегралов
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
где
13. 
где
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций
Всюду в указанных формулах через обозначается некоторая рациональная функция от переменных и,т.е., где - многочлены степеней и соответственно от переменных и.
- Интегралы вида
, 
. (1)
Положим 
. Тогда 
.
В силу формулы замены переменных в неопределённом интеграле
= 
.
Т.о. вычисление интеграла вида (1) сводится к вычислению интеграла от рациональной функции переменной 
.
- Интегралы вида
, 
. (2)
Выражение, стоящее под знаком интеграла, называется биномиальным дифференциалом.
П.Л. Чебышев доказал, что интегралы этого вида выражаются через элементарные функции лишь в трёх случаях:
1) 
.
Пусть 
где 
.
Положим 
где 
- наименьшее общее кратное чисел 
и 
. Данная замена переменной сводит вычисление интеграла (2) к вычислению интеграла от рациональной функции переменной .
2) 
.
Пусть 
где 
.
Положим 
. Данная замена переменной приводит к вычислению интеграла от рациональной функции переменной .
3) 
.
Пусть где . Положим 
. Данная замена переменной приводит к вычислению интеграла от рациональной функции переменной .
- Интегралы вида
, 
. (3)
Для рационализации интегралов этого вида применяются подстановки Эйлера трех типов.
1) Если 
, то полагаем
или 
.
2) Если 
, то полагаем
или 
.
3) Если квадратный трехчлен 
имеет различные вещественные корни 
и 
, то полагаем
или 
.
Подстановки Эйлера универсальны (т.е. применимы к любому интегралу указанного вида). Однако во многих случаях они приводят к неоправданно сложным рациональным функциям. Поэтому часто используют другие методы, основанные на элементарных преобразованиях.
Еще одна полезная формула, применимая к интегралам вида
, где 
полином 
-й степени, 
:
.
В этой формуле 
многочлен 
- й степени с неизвестными коэффициентами, 
- неизвестный множитель. Для отыскания этих неизвестных величин указанное равенство дифференцируют, а результат после умножения на 
и приравнивания коэффициентов при соответствующих степенях 
дает систему уравнений для отыскания коэффициентов многочлена 
и множителя .
- Интегралы вида
(4)
всегда рационализируются универсальной подстановкой
. Тогда 
, 
, 
.
Специальные случаи:
1) Если 
, то полагаем 
.
2) Если 
, то полагаем 
.
3) Если 
, то полагаем 
или 
.
Иногда удобно преобразовывать подинтегральную функцию, имеющую вид произведения синусов и косинусов (или их степеней), в сумму, пользуясь формулами понижения степени или другими тригонометрическими формулами.
- Интегралы вида
, 
(5)
рационализируются при помощи подстановки 
, где - наименьшее общее кратное знаменателей чисел 
.
