Распределение по скоростям

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА–БОЛЬЦМАНА

 

Получим распределение частиц идеального газа при температуре T во внешнем поле по координатам, скоростям, импульсам и энергии.

Распределение по скоростям без внешнего поля получил Дж. Уотерстон в 1843 г. и Джеймс Максвелл в 1859 г.

Распределение по импульсам и координатам во внешнем поле установил Людвиг Больцман в 1866 г.

Распределение по скоростям, импульсам и энергии без внешнего поля называется распределением Максвелла.

Распределение по координатам во внешнем поле – распределением Больцмана.

 

Распределение по координатам и импульсам

 

N тождественных частиц идеального газа во внешнем поле при фиксированных температуре и объеме описываются каноническим распределением

,

где

(2.17)

 

– каноническое распределение частицы ;

 

.

 

Для трехмерного газа с поступательным движением во внешнем поле с потенциальной энергией используем

 

,

, .

 

Кинетическая энергия, зависящая от импульса, и потенциальная энергия, зависящая от координат, являются слагаемыми гамильтониана. В каноническом распределении гамильтониан находится в показателе экспоненты. Поэтому распределения по координатам и импульсам являются сомножителями в результирующем распределении

 

,

 

,

где

– распределение Максвелла, т. е. вероятность обнаружения импульса частицы в единичном интервале около значения p;

- распределение Больцмана, т. е. вероятность обнаружения координаты частицы в единичном интервале около значения r.

Распределение Максвелла

Частицы в газе при температуре T имеют различные скорости, вызванные тепловым движением – от очень малых до сколь угодно больших. Для трехмерного идеального газа атомов без внешнего поля учитываем лишь поступательное движение. Получим распределения по импульсам, скоростям, энергиям в декартовых и сферических координатах.

 

Распределение по импульсам

 

В декартовых координатах

 

,

 

,

 

.

 

Каноническое распределение для частицы

 

получает вид

.

 

Интегрируем по координатам, учитываем , тогда

 

 

(2.41а)

 

– вероятность обнаружения частицы с импульсом в интервале , где .

 

Распределение по скоростям

 

В (2.41а) заменяем

, ,

 

находим распределение по трем проекциям скорости

 

(2.41)

 

– вероятность обнаружения частицы со скоростями в интервале .

Интегрируем (2.41) по и в пределах (–¥, ¥), используем интеграл Пуассона

, ,

 

получаем вероятность обнаружения частицы с проекцией скорости в интервале

 

, (2.42)

 

где функция распределения по проекции скорости

 

(2.42а)

 

– относительное число частиц с проекцией скорости в единичном интервале около ;

 

n – концентрация частиц – число частиц в единице объема со всеми скоростями;

 

– концентрация частиц со скоростями в интервале около ;

 

– концентрация частиц со скоростями в единичном интервале около ;

.

 

 

Выполняется нормировка

,

,

.

Следовательно:

· площадь под кривой – единица;

· с ростом Т максимум понижается, график расширяется, увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей скоростью;

· при все частицы останавливаются

 

.