Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или о параметрах неизвестного распределения генеральной совокупности.
Не располагая сведениями обо всей генеральной совокупности, высказанную гипотезу сопоставляют по определенным правилам с выборочными данными и делают вывод о том, можно принять гипотезу или нет. Эта процедура сопоставления называется проверкой гипотезы.
Рассмотрим этапы проверки гипотезы и используемые при этом понятия.
1. Располагая выборочными данными и руководствуясь конкретными условиями рассматриваемой задачи, формулируют гипотезу 
, которую называют основной или нулевой, и гипотезу 
, конкурирующую с гипотезой . Гипотезу называют также альтернативной, она является логическим отрицанием гипотезы 
. Выбор тех или иных нулевых или альтернативных гипотез определяется решаемыми исследователем прикладными задачами.
2. Задается вероятность 
, которую называют уровнем значимости.
Уровень значимости определяет вероятность так называемой ошибки первого рода, которая совершается при отвержении гипотезы , т.е. принимается конкурирующая гипотеза , тогда как на самом деле гипотеза верна. Вероятность задается заранее малым числом: 0,1; 0,05, 0,001 и т.д.
3. Выбирается статистический критерий проверки гипотезы – 
. Статический критерий – это случайная величина, закон распределения которой при условии справедливости проверяемой гипотезы известен.
После выбора критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при котором нулевая гипотеза отвергается – критическая область 
, а другое содержит те значения критерия, при которых гипотеза принимается – область принятия гипотезы. Критическими точками 
называются точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.
Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области. Правосторонней (левосторонней)называют критическую область, определяемую неравенством 
(
). Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами 
.
4. По результатам эксперимента находят эмпирическое (наблюдаемое) значение статистического критерия . Если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают в пользу конкурирующей гипотезы; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то нулевую гипотезу принимают.
5. Результат проверки гипотезы формулируется следующим образом: гипотеза проверена по критерию на уровне значимости и принята (не противоречит имеющимся экспериментальным данным) или отвергнута.
Пример.
Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей с неизвестными, но равными дисперсиями по малым выборкам (
)
Пусть имеются две нормально распределенные генеральные совокупности 
и 
, характеризуемые генеральными средними 
и 
. Для проверки гипотезы из этих совокупностей берутся две независимые выборки объемов 
и 
, по которым находят выборочные средние 
, 
и исправленные выборочные дисперсии 
, 
.
1. Нулевая гипотеза 
: 
.
Альтернативная гипотеза 
: а) 
(
);
б) 
.
2. Уровень значимости .
3. Статистический критерий: 
(22)
Критерий 
имеет распределение Стьюдента с 
степенями свободы.
а) При альтернативной гипотезе () критическая область является односторонней и определяется неравенством 
. Критическая точка определяется по таблице значений 
распределения Стьюдента, где , 
.
б) При альтернативной гипотезе критическая область является двусторонней и определяется неравенством 
. Критическая точка определяется по таблице значений распределения Стьюдента, где , 
.
4. По формуле (22) определяем эмпирическое значение -критерия.
Гипотеза принимается, если: а) 
;
б) 
.
5. Делается вывод о результатах проверки гипотезы .
Основные понятия корреляционного и регрессионного анализов
При одновременном изучении нескольких признаков какого-либо объекта или учете нескольких показателей в эксперименте возникает вопрос о взаимосвязях между исследуемыми величинами. Наиболее разработанными в математической статистике методами анализа взаимосвязей являются корреляционный и регрессионный анализы.
При изучении взаимосвязи признаки делятся на два класса:
· признаки, обуславливающие изменения других признаков, называются факторными, или факторам;
· признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, называются результативными.
Связь называется статистической, если каждому значению факторного признака соответствует определенное (условное) распределение результативного признака. Корреляционной связью называется частный случай статистической связи, состоящий в том, что разным значениям факторного признака соответствуют различные средние значения результативного.
Корреляционная зависимость между признаками и может быть представлена в виде уравнения:
,
где 
– условное математическое ожидание признака при заданном 
. Это уравнение называется теоретическим уравнением регрессии (или функцией регрессии) на , а его график – теоретической линией регрессии.
Парная регрессия
В зависимости от вида функции 
различают линейную и нелинейную регрессию.
Для отыскания теоретического уравнения регрессии необходимо знать закон распределения двумерной случайной величины 
. Но на практике исследователь располагает выборкой пар значений 
ограниченного объема 
. В этом случае можно построить лишь наилучшую оценку для функции регрессии, которой является выборочное уравнение регрессии 
на (или просто уравнение регрессии), где 
– условная средняя признака при фиксированном значении признака , 
– параметры уравнения регрессии.
Так, например, оценкой линейного уравнения регрессии на является выборочное уравнение регрессии 
.
Параметры 
и 
выборочного уравнения регрессии находятся следующим образом:
; (23)
, (24)
где – выборочная средняя факторного признака , – выборочная средняя результативного признака , 
– средняя из произведений соответствующих значений факторного и результативного признаков, 
– выборочная дисперсия факторного признака .
Коэффициент в уравнении регрессии называется коэффициентом регрессии (выборочным). Он показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.
