Вероятностный характер радиоактивного распада

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ОШИБОК,

ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ

АКТИВНОСТИ РАДИОНУКЛИДА

Методические указания

Пермь 2007

Составители: доц. И.В.Изместьев, ассист. Г.П.Спелков

УДК 539.15

Статистические закономерности радиоактивного распада:

Изучение статистических ошибок, возникающих при измерении активности радионуклида: Метод. указ. / Перм.ун-т; Сост. И.В.Изместьев, Г.П.Спелков. – Пермь, 2001.-

с.

Ил.1. Библиогр. 5 назв.

Даны методические указания по лабораторной работе общего физического практикума (раздел ядерная физика). Содержится описание лабораторной работы, позволяющей провести анализ статистических ошибок, которые возникают при изучении активности радионуклида. Поскольку радиоактивный распад – явление принципиально статистическое, то регистрируемое с помощью счётчиков число импульсов за определённый интервал времени также является случайным и подчиняется закону распределения Пуассона. Основное внимание уделено нахождению абсолютных и относительных ошибок определения скорости счёта импульсов регистрирующих излучения счётчиков в присутствии естественного фона. Изучаются вопросы оптимального планирования эксперимента при исследовании радиоактивных препаратов.

Предназначены для студентов физических, геологических и других факультетов университетов, где читается курс ядерной физики.

Печатается по постановлению методической комиссии физического факультета Пермского университета.

Редактор Г.А.Гусман

Технический редактор Н.В.Петрова

Корректор К.Н.Бобкова

Подписано в печать 01.01.01. Формат 60х84 1/16. Бум.тип.№3. Печать офсетная. Усл.печ.л. Уч.-изд.л. Тираж 200 экз. Заказ

Редакционно-издательский отдел Пермского университета

614600. Пермь, ул.Букирева, 15

Типография Пермского университета

614600. Пермь, ул.Букирева, 15.

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

Активность препарата

Радиоактивный распад—явление принципиально статистическое. Нельзя предсказать, когда именно распадется данное нестабильное ядро. Для описания статистических закономерностей используются вероятности тех или иных событий. Естественной статистической величиной, описывающей радиоактивный распад, является вероятность λ распада ядра за единицу времени. Смысл величины λ, называемой также постоянной распада, состоит в том, что если взять большое число N одинаковых нестабильных ядер, то за единицу времени в среднем будет распадаться λ Ν ядер. Величина λ N называется активностью. Активность характеризует интенсивность излучения препарата в целом, а не отдельного ядра. В отношении единиц активности сейчас имеется некоторый разнобой. Старейшей и до сих пор наиболее употребительной является внесистемная единица кюри:

1 Ки = 3,7·10¹⁰ распад/с

и ее доли милликюри (1 мКи = 10^-3 Ки) и микрокюри (1 мкКи=10^-6 Ки). В международной системе СИ единицей активности предлагается считать 1 распад в секунду. Эта единица называется беккерель (Бк). Наконец, существует еще одна внесистемная единица — резерфорд:

1 Рд = 10⁶ Бк.

Существенным свойством явления радиоактивности является независимость постоянной распада λ от времени. Независимость величины λ от времени выражается в том, что различные моменты времени ничем не выделены друг перед другом с точки зрения вероятности предстоящего распада ядра. Атомные ядра ни в каком смысле не «стареют» в процессе своего существования. Для них существует понятие среднего времени жизни, но не существует понятия возраста. В качестве аналогии укажем, что сходная ситуация имела бы место для среднего времени жизни человека, если бы люди не старели, а гибли только от несчастных случаев.

Сформулируем теперь основной закон радиоактивного распада [1]. Если в момент t имеется большое число N радиоактивных ядер и если за промежуток dt распадается в среднем dN ядер, то в соответствии с определением величины λ

dN=-λΝdt. (1.1)

Знак минус означает, что общее число радиоактивных ядер уменьшается в процессе распада. Вследствие того, что постоянная распада λ не зависит от времени (т. е. от «возраста» ядра), соотношение (1.1) легко интегрируется. Результатом интегрирования и является основной закон радиоактивного распада, имеющий вид

N=N ₀ e^-^l^t,(1.2)

где N ₀ — число радиоактивных ядер в произвольно выбранный начальный момент t =0. Подчеркнем, что закон (1.2) относится к статистическим средним и справедлив лишь при достаточно большом числе частиц. Согласно (1.1), активность A является производной от N по времени, взятой с обратным знаком:

(1.3)

Через постоянную распада λ выражаются две другие величины, характеризующие интенсивность процесса радиоактивности — период полураспада T_½ и среднее время жизни ядра τ. Установим связь T_½ и τ с λ Периодом полураспада называется время, за которое число радиоактивных ядер (взятых, конечно, в очень большом количестве) уменьшается вдвое. Согласно (1.2)

откуда

T_½= ln2 /λ. (1.4)

Вероятностный характер радиоактивного распада

Для того чтобы определить среднее время жизни, введем сначала вероятность w (t) того, что частица, достоверно существовавшая в момент t =0, еще существует в момент t. Тогда величина -dw будет вероятностью распада за период между t и t+dt. Очевидно, что

dw=-λwdt, (1.5)

поскольку вероятность распада за промежуток dt равна произведению вероятности λdt распада частицы, достоверно существующей в момент t, на вероятность w того, что частица в момент t существует. Интегрируя (1.5) с учетом того, что w= 1 при t= 0, получим

w (t) =e^-^λt. (1.6)

Соотношение (1.6) содержит полное описание статистических свойств процесса радиоактивности. Из него вытекают все выводы этого параграфа. В частности, основной закон радиоактивности (1.2) получается умножением обеих частей (1.6) на N ₀.

Среднее время жизни τ, согласно определению математического среднего, дается формулой

(1.7)

поскольку -dw является вероятностью того, что время жизни частицы лежит между t и t+dt.

Сравнивая (1.4) с (1.7), получаем, что величины Т_½, и τ различаются численным множителем ln 2=0,69:

T_½=τ ln 2 = 0,69 τ. (1.8)

В литературе обычно используется период полураспада T_½. Для измерения периода полураспада с заданной точностью важно знать, как велики статистические отклонения от закона (1.2) радиоактивного распада. В этом пункте мы получим количественные значения этих отклонений, исходя из соотношения (1.6). Согласно (1.6) для одной частицы вероятность не распасться за время t равна

w₀ (t) = e ^-^λt,

а вероятность подвергнуться распаду равна

w₁ (t) =1- e ^-^λt.

Для двух частиц, воспользовавшись независимостью их распадов, найдем, что вероятности наблюдать за время t ноль, один и два распада равны соответственно

w₀= e ^-^λt· e ^-^λt= e ^-2^λt,

w₁= 2e ^-^λt (1 - e ^-^λt),

w₂= (1 - e ^-^λt) ².

Для пояснения укажем, что, например, для получения вероятности w ₁ надо сначала умножить вероятность e ^-^λt того, что первая частица не распалась, на вероятность (1 - e ^-λt) того, что вторая частица при этом распадается, а затем полученный результат удвоить, так как возможна ситуация, в которой частицы могут поменяться ролями.

Аналогично для N частиц получим

w₀= e ^-^Nλt,

w₁=N e^-( ^N-1 ⁾ ^λt (1 - e ^-^λt),

……………………

w_n= e ^-(N-n)λt (1 - e ^-λt) ⁿ.

При практических измерениях, как правило, с высокой точностью справедливы приближения п<<N (число регистрируемых частиц несравненно меньше полного числа радиоактивных ядер) и λt<< 1 (время измерения мало по сравнению с периодом полураспада). Первое из этих неравенств позволяет в выражении для w_n заменить N! на Nⁿ (N-п)!, после чего с помощью второго неравенства получим

w_n₌ e^- ^Nλt (e ^λt- 1) ≈ e ^-^Nλt. (1.9)

В теории вероятностей соотношение (1.9) называется распределением Пуассона с математическим ожиданием N λ t [1,2]. Проследим, как будет зависеть w _n от п при обычно соблюдаемом в реальных экспериментах условии Nλt> >1. При малых п величина w_n очень мала из-за большого отрицательного показателя в экспоненте. С ростом п начнется увеличение w_n за счет множителя (Nλt) ⁿ. При п= Nλt это увеличение прекратится и сменится падением, так как знаменатель п! будет расти быстрее числителя. Таким образом, w_n представляет собой функцию с максимумом при п= Nλt, монотонно спадающую по обе стороны от максимума. На практике число п обычно велико. В этом случае можно считать переменную п непрерывной и заменить факториал в знаменателе (1.9) на его асимптотическое выражение по формуле Стирлинга

n!≈ e ^-ⁿnⁿ^+1/2.

В результате распределение (1.9) приобретает вид

w (n) = e ^-ⁿ ^{^ln ^n- ^{1 -}^{ln (} ^Nλt ^{)} -} ^Nλt. (1.10)

Легко убедиться, что в приближении n >>1 это распределение имеет максимум при п= Nλt и быстро спадает по обе стороны максимума. Поэтому мы можем под знаком корня заменить п на Nλt, а показатель экспоненты разложить с точностью до второго порядка в ряд Тейлора по величине п-Nλt. После этого распределение (1.10) примет гауссову форму

w (n) = e . (1.11)

Нетрудно убедиться, что в выражениях (1.9), (1.11) для w (n), несмотря на сделанные при их выводе приближения, сумма всех вероятностей w_n остается равной единице:

= e ^-^Nλt= 1,

= 1.

Дальнейшие выкладки мы будем проводить с пуассоновским распределением (1.9). Для упражнения читатель может повторить их с гауссовским распределением и убедиться, что конечные результаты получаются те же. Зная выражение для вероятности w_n (t) того, что за время t распадется п частиц, мы можем вычислять средние (t) от любых зависящих от числа частиц величин по обычной формуле для среднего:

(t) = . (1.12)

Так, для среднего числа ядер, распавшихся за время t, получим

(t)= = e ^-Nλt=Nλt e ^-Nλt=Nλt. (1.13)

Таким образом, среднее число частиц совпадает с максимумом пуассоновского распределения.

Из (1.13) видно, что средняя активность A определяется формулой

A= /t=Nλ. (1.14)

Независимость активности от времени (напомним, что здесь N — начальное число распадающихся ядер) связана с принятым выше приближением λt<< 1.

Для получения статистических отклонений от средних значений вычислим дисперсию D, определяемую формулой [1, 2, 3]

D = = - = - . (1.15)

Величина получается из (1.13):

=(Nλt)², (1.16)

а вычисляется по аналогии с (1.13):

= e ^-^Nλt= e ^Nλt = .

Отсюда для дисперсии получается простое выражение

D= , (1.17)

т.е. дисперсия равна среднему числу ядер, распавшихся за время t. Квадратный корень из дисперсии δ называется стандартной (среднеквадратичной) ошибкой [2]:

δ = = . (1.18)

Стандартная ошибка, деленная на среднее число распадов, определяяет относительную ошибку

Δ= = = . (1.19)

Как видно относительная ошибка довольно медленно уменьшается с увеличением времени наблюдения радиоактивно распада. Так, для увеличения точности в 100 раз время измерения приходится увеличивать в 10 000 раз.