Раздел XII. Статистическое моделирование и прогнозирование социально-экономических процессов

 

В условиях перехода страны к рыночной экономике возрастает интерес и потребность в статистических методах анализа и прогнозирования, в количественных оценках социально-экономических явлений, получаемых с использованием многомерных статистических методов на ПЭВМ.

В данном разделе излагаются основные теоретические положения таких многомерных статистических методов, как корреляционный, регрессионный, компонентный и кластерный анализ, ряд задач эконометрики.

Значительное внимание уделяется логическому анализу исходной информации и экономической интерпретации получаемых результатов, а также рассмотрению подробно разработанных типовых примеров, взятых из экономической практики и решенных с использованием ЭВМ.

Примеры иллюстрируют необходимость комплексного применения многомерных статистических методов. При этом корреляционный анализ используется, с одной стороны, на этапе предварительного анализа для выявления мультиколлинеарности, а с другой — при оценке адекватности регрессионной модели; компонентный анализ используется в задачах снижения размерности, а также при построении уравнения регрессии на главных компонентах и в задачах классификации. При окончательном выборе модели рекомендуется использовать как экономические, так и статистические критерии. Наряду с точечными оценками рассматриваются методы построения интервальных оценок коэффициентов и уравнения регрессии.

В 53.5 «Основы эконометрики» рассматриваются производственные функции и системы одновременных эконометрических уравнений, двухшаговый метод наименьших квадратов.

Настоящий раздел предназначен для студентов, изучающих многомерные статистические методы, и специалистов, желающих повысить свою квалификацию в области применения современных эконометрических методов для анализа и прогнозирования социально-экономических явлений.

Глава 53. Методы многомерного статистического анализа и моделирования социально-экономических явлений

Корреляционный анализ

 

Корреляционный анализ является одним из методов статистического анализа взаимозависимости нескольких признаков.

Основная задача корреляционного анализа состоит в оценке корреляционной матрицы генеральной совокупности по выборке и определении на основе этой матрицы частных и множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

Парный и частный коэффициенты корреляции характеризуют тесноту линейной зависимости между двумя переменными соответственно на фоне действия и при исключении влияния всех остальных показателей, входящих в модель. Они изменяются в пределах от -1 до +1, причем чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем сильнее зависимость между переменными. Если коэффициент корреляции больше нуля, то связь положительная, а если меньше нуля — отрицательная.

Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту, линейной связи между одной переменной (результативной) и остальными, входящими в модель; он изменяется в пределах от 0 до 1.

Квадрат множественного коэффициента корреляции называется множественным коэффициентом детерминации. Он характеризует долю дисперсии одной переменной (результативной), обусловленной влиянием всех остальных переменных (аргументов), входящих в модель.

Исходной для анализа является матрица

 

 

размерности п х k, i-я строка которой характеризует i -е наблюдение (объект) по всем k показателям (j = 1, 2,..., k).

В корреляционном анализе матрицу Х рассматривают как выборку объема п из k -мерной генеральной совокупности, подчиняющейся k- мерному нормальному закону распределения.

По выборке определяют оценки параметров генеральной совокупности, а именно: вектор средних , вектор средних квадратических отклонений s и корреляционную матрицу R порядка k:

 

где

(53.1)

(53.2)

x_ij — значение i -го наблюдения j -го фактора,

r_il — выборочный парный коэффициент корреляции, характеризующий тесноту линейной связи между показателями x_j и x_l. При этом r_jl является оценкой генерального парного коэффициента корреляции.

Матрица R является симметричной (r_jl = r_lj) и положительно определенной.

Кроме того, находятся точечные оценки частных и множественных коэффициентов корреляции любого порядка. Например, частный коэффициент корреляции (k - 2)-го порядка между переменными х₁ и х₂ равен

 

(53.3)

 

где R_jl — алгебраическое дополнение элемента r_jl корреляционной матрицы R. При этом R_jl = (-l) ^j+l M_jl, где M_jl — минор, т.е. определитель матрицы, получаемой из матрицы R путем вычерчивания j- й строки и l -го столбца.

Множественный коэффициент корреляции (k - 1)-го порядка результативного признака x₁ определяется по формуле

 

(53.4)

 

где | R | — определитель матрицы R.

Значимость частных и парных коэффициентов корреляции, т.е. гипотеза H₀: ρ = 0, проверяется по t -критерию Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

 

(53.5)

 

где r — соответственно оценка частного или парного коэффициента корреляции ρ; l — порядок частного коэффициента корреляции, т.е. число фиксируемых факторов (для парного коэффициента корреляции l=0).

Напомним, что проверяемый коэффициент корреляции считается значимым, т.е. гипотеза H₀: ρ = 0 отвергается с вероятностью ошибки α, если t _набл по модулю будет больше, чем значение t _кр, определяемое по таблицам t -распределения для заданного α и υ = n – l - 2.

Значимость коэффициентов корреляции можно также проверить с помощью таблиц Фишера — Иейтса.

При определении с надежностью у доверительного интервала для значимого парного или частного коэффициента корреляции р используют Z -преобразование Фишера и предварительно устанавливают интервальную оценку для Z:

 

(53.6)

 

где t_γ вычисляют по таблице значений интегральной функции Лапласа из условия

 

 

значение Z' определяют по таблице Z -преобразования по найденному значению r. Функция Z' — нечетная, т.е.

 

 

Обратный переход от Z к ρ осуществляют также по таблице Z -преобразования, после использования которой получают интервальную оценку для ρ с надежностью γ:

 

 

Таким образом, с вероятностью γ гарантируется, что генеральный коэффициент корреляции ρ будет находиться в интервале (r _min, r _max).

Значимость множественного коэффициента корреляции (или его квадрата — коэффициента детерминации) проверяется по F -критерию. Например, для множественного коэффициента корреляции проверка значимости сводится к проверке гипотезы, что генеральный множественный коэффициент корреляции равен нулю, т.е. H₀: ρ_1/2,…,k = 0, а наблюдаемое значение статистики находится по формуле

 

(53.7)

 

Множественный коэффициент корреляции считается значимым, т.е. имеет место линейная статистическая зависимость между х₁ и остальными факторами х₂,..., х_k, если F _набл > F _кр, где F _кр определяется по таблице F -распределения для заданных α, υ₁ = k - 1, υ₂ = n - k.

Регрессионный анализ

 

Регрессионный анализ — это статистический метод исследования зависимости случайной величины у от переменных (аргументов) х_j (j = 1, 2,..., k), рассматриваемых в регрессионном анализе как неслучайные величины независимо от истинного закона распределения x_j.

Обычно предполагается, что случайная величина у имеет нормальный закон распределения с условным математическим ожиданием = φ(x₁,..., х_k), являющимся функцией от аргументов х_j и с постоянной, не зависящей от аргументов дисперсией σ².

Для проведения регрессионного анализа из (k + 1)-мерной генеральной совокупности (у, x₁, х₂,..., х_j,..., х_k) берется выборка объемом n, и каждое i -е наблюдение (объект) характеризуется значениями переменных (у_i, x_i1, х_i2,..., х_ij,..., x_ik), где х_ij — значение j -й переменной для i -го наблюдения (i = 1, 2,..., n), у_i — значение результативного признака для i -го наблюдения.

Наиболее часто используемая множественная линейная модель регрессионного анализа имеет вид

 

(53.8)

 

где β _j — параметры регрессионной модели;

ε _j — случайные ошибки наблюдения, не зависимые друг от друга, имеют нулевую среднюю и дисперсию σ².

Отметим, что модель (53.8) справедлива для всех i = 1,2,..., n, линейна относительно неизвестных параметров β₀, β₁,…, β_j, …, β_k и аргументов.

Как следует из (53.8), коэффициент регрессии B_j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак у, если переменную х_j увеличить на единицу измерения, т.е. является нормативным коэффициентом.

В матричной форме регрессионная модель имеет вид

 

(53.9)

 

где Y — случайный вектор-столбец размерности п х 1 наблюдаемых значений результативного признака (у₁, у₂,.... у_n); Х— матрица размерности п х (k + 1) наблюдаемых значений аргументов, элемент матрицы х,, рассматривается как неслучайная величина (i = 1, 2,..., n; j= 0,1 ,...,k; x_0i, = 1); β — вектор-столбец размерности (k + 1) х 1 неизвестных, подлежащих оценке параметров модели (коэффициентов регрессии); ε — случайный вектор-столбец размерности п х 1 ошибок наблюдений (остатков). Компоненты вектора ε _i не зависимы друг от друга, имеют нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием (M ε _i = 0) и неизвестной постоянной σ² (D ε _i = σ²).

На практике рекомендуется, чтобы значение п превышало k неменее чем в три раза.

В модели (53.9)

 

 

В первом столбце матрицы Х указываются единицы при наличии свободного члена в модели (53.8). Здесь предполагается, что существует переменная x₀, которая во всех наблюдениях принимает значения, равные единице.

Основная задача регрессионного анализа заключается в нахождении по выборке объемом п оценки неизвестных коэффициентов регрессии β₀, β₁, …, β_k модели (53.8) или вектора β в (53.9).

Так как в регрессионном анализе х_j рассматриваются как неслучайные величины, a M ε _i = 0, то согласно (53.8) уравнение регрессии имеет вид

 

(53.10)

 

длявсех i = 1, 2,..., п, или в матричной форме:

 

(53.11)

 

где — вектор-столбец с элементами ₁ ..., _i,..., _n.

Для оценки вектора-столбца β наиболее часто используют метод наименьших квадратов, согласно которому в качестве оценки принимают вектор-столбец b, который минимизирует сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений у_i от модельных значений _i, т.е. квадратичную форму:

 

 

где символом «Т» обозначена транспонированная матрица.

Наблюдаемые и модельные значения результативного признака у показаны на рис. 53.1.

 

Рис. 53.1. Наблюдаемые и модельные значения результативного признака у

 

Дифференцируя, с учетом (53.11) и (53.10), квадратичную форму Q по β₀, β₁, …, β_k и приравнивая частные производные к нулю, получим систему нормальных уравнений

 

 

решая которую получим вектор-столбец оценок b, где b = (b₀, b₁,..., b_k) ^T. Согласно методу наименьших квадратов, вектор-столбец оценок коэффициентов регрессии получается по формуле

 

(53.12)

 

 

Х ^T — транспонированная матрица X;

(Х ^T Х)^-1 — матрица, обратная матрице Х ^T Х.

Зная вектор-столбец b оценок коэффициентов регрессии, найдем оценку уравнения регрессии

 

(53.13)

 

или в матричном виде:

 

 

Оценка ковариационной матрицы вектора коэффициентов регрессии b определяется выражением

(53.14)

 

где

(53.15)

 

Учитывая, что на главной диагонали ковариационной матрицы находятся дисперсии коэффициентов регрессии, имеем

 

(53.16)

 

Значимость уравнения регрессии, т.е. гипотеза Н₀: β = 0 (β₀,= β₁ = β_k = 0), проверяется по F -критерию, наблюдаемое значение которого определяется по формуле

 

(53.17)

 

По таблице F -распределения для заданных α, v ₁ = k + l,v₂ = n – k - l находят F _кр.

Гипотеза H₀ отклоняется с вероятностьюα, если F _набл > F _кр. Из этого следует, что уравнение является значимым, т.е. хотя бы один из коэффициентов регрессии отличен от нуля.

Для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии, т.е. гипотезы Н₀: β _j = 0, где j = 1, 2, ..., k, используют t -критерий и вычисляют t _набл(b_j) = b_j / _bj. По таблице t -распределения для заданного α и v = п - k - 1 находят t _кр.

Гипотеза H₀ отвергается с вероятностью α, если t _набл > t _кр. Из этого следует, что соответствующий коэффициент регрессии β _j значим, т.е. β _j ≠ 0. В противном случае коэффициент регрессии незначим и соответствующая переменная в модель не включается. Тогда реализуется алгоритм пошагового регрессионного анализа, состоящий в том, что исключается одна из незначительных переменных, которой соответствует минимальное по абсолютной величине значение t _набл. После этого вновь проводят регрессионный анализ с числом факторов, уменьшенным на единицу. Алгоритм заканчивается получением уравнения регрессии со значимыми коэффициентами.

Существуют и другие алгоритмы пошагового регрессионного анализа, например с последовательным включением факторов.

Наряду с точечными оценками b_j генеральных коэффициентов регрессии β _j регрессионный анализ позволяет получать и интервальные оценки последних с доверительной вероятностью γ.

Интервальная оценка с доверительной вероятностью γ для параметра β _j имеет вид

 

(53.19)

 

где t_α находят по таблице t -распределения при вероятности α = 1 - γ и числе степеней свободы v = п - k - 1.

Интервальная оценка для уравнения регрессии в точке, определяемой вектором-столбцом начальных условий X⁰ = (1, x , x , ,..., x )^T записывается в виде

 

(53.20)

 

Интервал предсказания _n+1 с доверительной вероятностью у определяется как

 

(53.21)

 

где t_α определяется по таблице t -распределения при α = 1 - γ и числе степеней свободы v = п - k - 1.

По мере удаления вектора начальных условий х ⁰ от вектора средних ширина доверительного интервала при заданном значении γ будет увеличиваться (рис. 53.2), где = (1, ).

 

Рис. 53.2. Точечная и интервальная оценки уравнения регрессии .

Мультиколлинеарность

 

Одним из основных препятствий эффективного применения множественного регрессионного анализа является мультиколлинеарность. Она связана с линейной зависимостью между аргументами х₁, х₂,..., х_k. В результате мультиколлинеарности матрица парных коэффициентов корреляции и матрица (X ^T X) становятся слабообусловленными, т.е.ихопределители близки к нулю.

Это приводит к неустойчивости оценок коэффициентов регрессии (53.12), завышению дисперсии s , оценок этих коэффициентов (53.14), так как в их выражения входит обратная матрица (X ^T X)^-1, получение которой связано с делением на определитель матрицы (Х ^T Х). Отсюда следуют заниженные значения t (b_j). Кроме того, мультиколлинеарность приводит к завышению значения множественного коэффициента корреляции.

На практике о наличии мультиколлинеарности обычно судят по матрице парных коэффициентов корреляции. Если один из элементов матрицы R больше 0,8, т.е. | r_jl | > 0,8, то считают, что имеет место мультиколлинеарность, и в уравнение регрессии следует включать один из показателей — х_j или x_l.

Чтобы избавиться от этого негативного явления, обычно используют алгоритм пошагового регрессионного анализа или строят уравнение регрессии на главных компонентах.

 

Пример. Построение регрессионного уравнения

 

Согласно данным двадцати (п = 20) сельскохозяйственных районов, требуется построить регрессионную модель урожайности на основе следующих показателей:

у — урожайность зерновых культур (ц/га);

x₁ — число колесных тракторов (приведенной мощности) на 100 га;

х₂ — число зерноуборочных комбайнов на 100 га;

х₃ — число орудий поверхностной обработки почвы на 100га;

x₄ — количество удобрений, расходуемых на гектар;

х₅ — количество химических средств оздоровления растений, расходуемых на гектар.

Исходные данные для анализа приведены в табл. 53.1.

 

Таблица 53.1