Часто для выражения величины сравниваемых явлений используют диаграммы, представленные в виде правильных геометрических фигур (квадратов или кругов), площадь которых пропорциональна величинам показателей. [kgl]
[gl]Тема 5. Средние величины и показатели вариации[:]
Цель занятия: Научиться принципам построения средних величин. Узнать их значение, виды, формы, способы расчета и применение в социально-экономических исследованиях.
Структура лекции: Виды, формы, способы вычисления и использование для характеристики статистических совокупностей. Значение и определение средних величин.
Значение средней величины в статистике. Средняя величина является самым распространенным обобщающим показателем в статистике. Это связано с тем, что с ее помощью можно охарактеризовать совокупность по количественно варьирующему признаку. Например, для сравнения заработной платы рабочих двух предприятий не может быть взята заработная плата двух конкретных рабочих, поскольку она выступает варьирующим показателем. Также не может быть взята общая сумма заработной платы, выплаченной на предприятиях, так как она зависит от количества работающих. Если же мы разделим общую сумму заработной платы каждого предприятия на численность работающих, то сможем их сравнить и определить, на каком предприятии средняя заработная плата выше.
Иными словами заработная плата изучаемой совокупности рабочих получает обобщенную характеристику в средней величине. В ней выражается то общее и типичное, что характерно для совокупности рабочих в отношении изучаемого признака. Она в одной величине показывает общую меру этого признака, имеющего различное значение у единиц совокупности.
Определение средней величины. Средней величиной в статистике называется обобщенная характеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо количественно варьирующему признаку. Средняя величина показывает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.
С помощью средней величины можно сравнивать между собой различные совокупности по варьирующим признакам (доходы на душу населения, урожайность сельскохозяйственных культур, себестоимость производства продукции на различных предприятиях).
Виды средних величин. Средние величины, применяемые в статистике, относятся к классу степенных средних, общая формула которых имеет следующий вид:
,
где степенная средняя;
x – меняющиеся величины признака (варианты);
n – число вариант;
m – показатель степени средней;
S – знак суммирования.
В статистике правильную характеристику совокупности в каждом отдельном случае дает только вполне определенный вид средних величин. Для определения этого вида средней величины используется критерий, определяющий свойства средней: средняя величина только тогда будет верной обобщающей характеристикой совокупности по варьирующему признаку, когда при замене всех вариант средней величиной общий объем варьирующего признака остается неизменным.То есть правильный вид средней определяется тем, как образуется общий объем варьирующего признака.
Так, средняя арифметическая применяется тогда, когда объем варьирующего признака образуется как суммаотдельных вариант, средняя квадратическая – когда объем варьирующего признака образуется как сумма квадратов, средняя гармоническая – как сумма обратных значений отдельных вариант, средняя геометрическая – как произведениеотдельных вариант.
средняя арифметическая, 
;
средняя гармоническая, 
;
средняя геометрическая, 
;
где П – знак произведения.
средняя квадратическая и др. (кубическая), 
.
Все они являются частными случаями общего вида средних (степенных):
, где 
- средняя;
х - меняющиеся значения признака (варианты);
п - число вариант (наблюдений);
m – показатель степени средней.
Если варианты встречаются часто, то эти средние могут быть исчислены с учетом частоты встречающихся вариант и называются средними взвешенными, если нет, то средними простыми.
Из этих видов средних степенных в статистике наиболее часто применяются средние арифметические, реже – средние гармонические (в силу наличия соответствующих исходных данных), при расчете средних темпов роста (динамики) используется средняя геометрическая, а средняя квадратическая – при расчете показателей вариации.
Средняя арифметическая.
Определение средней арифметической. Средняя арифметическая есть частное от деления суммы вариант на их число. Она применяется в случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака у отдельных ее единиц (например, общий фонд заработной платы – как сумма выплаченных заработных плат, общий сбор урожая – как сумма сборов с каждого гектара площади).
Чтобы исчислить среднюю арифметическую, нужно сложить все отдельные варианты и сумму разделить на их число:
`x = (Sx) / n.
Средняя простая и взвешенная. Приведенная выше формула есть формула средней арифметической простой (невзвешенной).
Если некоторые варианты имеют одинаковые значения, то среднюю арифметическую можно исчислить путем перемножения различных значений вариант на их частоту (вес), а затем сумму произведений вариант разделить на сумму частот (весов):
`x = (Sxf) /Sf.
Примером использования средней взвешенной величины служит расчет среднего балла по группе, полученного за сданный экзамен. К примеру, в группе 25 студентов, из них 5 человек получили «отлично», 10 – «хорошо», 8 – «удовлетворительно», 2 – «неудовлетворительно». Средний балл по группе можно вычислить и по формуле средней арифметической простой, однако здесь лучше применить среднюю арифметическую сложную: x = (5×5 + 10×4 + 8×3 + 2×2) / 25 = (25 + 40 + 24 + 4) / 25 = 93 / 25 = 3,72.
Вычисление средней арифметической на основе вариационного ряда. Если ряд дискретен, то расчет средней арифметической производится по формуле средней арифметической взвешенной, т.е. варианты умножаются на частоты, а затем сумма произведений делится на сумму частот. Например, в одном из сел Южно-Казахстанской области имеется 200 семей со следующим их распределением по числу детей:
