1) Генеральные совокупности Х и Y распределены нормально, причем известны их дисперсии. Из этих генеральных совокупностей извлечены выборки объемов соответственно т и п, для которых найдены выборочные средние 
и 
. При заданном уровне значимости α проверяется нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий генеральных совокупностей:
Но: М (Х) = М (Y).
Статистическим критерием для проверки этой гипотезы является нормиро-ванная нормально распределенная случайная величина
Наблюдаемое значение критерия 
. Вид критической области зависит от типа конкурирующей гипотезы:
а) Н 1: М (Х) ≠ М (Y) – критическая область двусторонняя, zкр определяется как аргумент функции Лапласа, при котором 
и критическая область задается неравенством | Z | > zкр.
б) Н 1: М (Х) > М (Y) – критическая область правосторонняя, zкр определяется как аргумент функции Лапласа, при котором 
и критическая область определяется неравенством Z > zкр.
в) Н 1: М (Х) < М (Y) – критическая область левосторонняя, заданная неравен-ством Z < - zкр, где zкр вычисляется так же, как в предыдущем случае.
2) Имеются две независимые выборки большого объема, извлеченные из генеральных совокупностей, законы распределения и дисперсии которых неизвестны. При этом для объема выборки, не меньшего 30, можно считать, что выборочные средние распределены приближенно нормально, а выборочные дисперсии являются достаточно хорошими оценками генераль-ных дисперсий (следовательно, считаем известными приближенные значения генеральных дисперсий). Тогда задача сводится к предыдущей, и статистический критерий имеет вид:
Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле
При этом выбор вида критической области и определение критических точек проводятся так же, как в пункте 1.
3) Генеральные совокупности распределены нормально, причем их диспер-сии неизвестны, а объем выборок т и п мал (следовательно, нельзя получить хорошие оценки генеральных дисперсий). Если предположить, что генераль-ные дисперсии равны, то в качестве критерия для проверки нулевой гипоте-зы Но: М (Х) = М (Y) служит случайная величина
,
имеющая при справедливости нулевой гипотезы распределение Стьюдента с k = n + m – 2 степенями свободы. Наблюдаемое значение критерия вычисля-ется по формуле
.
Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.
а) Н 1: М (Х) ≠ М (Y) – критическая область двусторонняя, задаваемая неравенством | T | > tдвуст.кр., где tдвуст.кр. (α, k) находится из таблицы критичес-ких точек распределения Стьюдента.
б) Н 1: М (Х) > М (Y) – критическая область правосторонняя, определяемая условием T > tправ.кр.. Критическая точка вновь находится по таблице критических точек распределения Стьюдента.
в) Н 1: М (Х) < М (Y) – критическая область левосторонняя, T < – tправ.кр..
Пример. Имеются независимые выборки значений нормально распределен-ных случайных величин
Х: 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6 и Y: 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 8, 9.
Требуется проверить для уровня значимости α = 0,1 при условии равенства генеральных дисперсий нулевую гипотезу Но: М (Х) = М (Y) при конкурирую-щей гипотезе Н 1: М (Х) ≠ М (Y).
Решение.
Объемы выборок т = 10, п = 15. Вычислим выборочные средние и исправ-ленные выборочные дисперсии: 
Вычислим наблюдаемое значение критерия: 
Критическая область – двусто-ронняя, tдвуст.кр. (0,1; 23) = 1,71 (см. [2], приложение 6). Итак, | Tнабл | < tдвуст.кр., следовательно, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу – можно считать, что математические ожидания генеральных совокупностей равны.
