Затухания и приведенной длины физического маятника

Литература

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. ‑ М., 1989. С. 298 – 314.

2. Методические указания к выполнению лабораторных работ по физике. Раздел «Механика материальной точки». / МТИПП. ‑ М., 1990. С 18 – 31.

Введение

Всякое движение, в котором наблюдается повторяемость во времени значений физических величин, определяющих это движение, называется колебательным движением.

Гармоническим колебательным движением называется такое движение, при котором величина, характеризующая состояние системы, изменяется со временем по закону синуса или косинуса, т.е. уравнение гармонических колебаний имеет вид:

, (1)

где x – смещение от положения равновесия;

A – амплитуда колебаний – наибольшее смещение от положения равновесия;

– фаза колебаний;

j_о – начальная фаза колебаний;

w_о – собственная циклическая частота колебаний – это число колебаний за 2 p секунд.

Время одного полного колебания Т называется периодом колебаний. Количество колебаний в единицу времени называется частотой колебаний . Между периодом, частотой и циклической частотой существует связь:

(2)

Если выражение (1) продифференцировать по времени, то получим закон изменения скорости от времени

(3)

Продифференцировав (3) еще раз по времени, найдем закон зависимости ускорения от времени:

(4)

учитывая, что , получим

(5)

Последнее уравнение показывает, что при гармонических колебаниях ускорение пропорционально величине смещения и всегда направлено противоположно смещению.

Примерами систем, в которых могут возникать гармонические колебания, могут служить мятники: пружинный, математический и физический.

Рассмотрим пружинный маятник – грузик на идеально упругой пружине при отсутствии трения. На примере его движения получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Чтобы система (маятник) совершала гармонические колебания, необходимо воздействие на нее упругой или квазиупругой силы, изменяющейся при смещении системы от положения равновесия по закону:

(6)

Эта сила, пропорциональна смещению и всегда направлена к положению равновесия. Применим второй закон Ньютона к пружинному маятнику.

Рис. 1

Возвращающая сила , действуя на тело массой m, создает ускорение а. Согласно второму закону Ньютона

Колебания происходят вдоль оси х (рис.1), поэтому спроецируем векторное уравнение на ось ОХ:

Поделив все члены на m, перенеся их в одну часть равенства, обозначив , получим окончательный вид дифференциального уравнения гармонических колебаний пружинного маятника:

или , (7)

где – собственная частота колебаний пружинного маятника;

– период колебаний (8)

Решением уравнения (7) является уравнение (1).

Рассмотрим математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити длиною (рис. 2). На грузик m действуют сила тяжести и сила натяжения нити . Равнодействующая этих сил «похожа» на силу упругости тем, что она пропорциональна величине смещения и направлена к положению равновесия, но сила не имеет упругой природы. Силу называют квазиупругой силой. Колебательные движения математического маятника можно рассматривать как часть вращательного. Для его описания применим основной закон вращательного движения

, (9)

где M – момент возвращающей силы;

I – момент инерции материальной точки;

– угловое ускорение.

Рис. 2

При условии малых колебаний заменим ; , x – смещение точки от положения равновесия.

Подставим полученные выражения в формулу

Знак «–» имеет то же значение, что и в случае (6)

или

Поделив все члены на , перенеся их в одну сторону, обозначив , получим окончательный вид дифференциального уравнения гармонических колебаний математического маятника:

или , (10)

где – собственная частота колебаний;

– период колебаний. (11)

Из формулы (11) видно, что период колебаний математического маятника не зависит от его массы, а определяется лишь его длиной и ускорением свободного падения.

Решением уравнения (10) является уравнение (1).

Рассмотрим физический маятник – это абсолютно твердое тело, которое может свободно вращаться вокруг оси О, не проходящей через его центр масс (рис. 3).

Рис. 3

На физический маятник действует сила тяжести и сила реакции опоры . При отклонении физического маятника от положения равновесия на угол j, равнодействующая этих сил является квазиупругой возвращающей силой

Колебания физического маятника рассматриваем как часть вращательного движения вокруг оси О и для его описания применяем основное уравнение динамики вращательного движения

где М – момент возвращающей силы;

I – момент инерции твердого тела, относительно оси О;

e – угловое ускорение.

Знак «–» имеет тот же смысл, что и в случае (6)

В случае малых колебаний заменим , , х – смещение маятника от положения равновесия.

Сделав подстановку, получили

или

Поделив все члены равенства на , перенесем в одну сторону и обозначим , получим

или (12)

дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника.

– собственная частота колебаний

Период колебаний физического маятника выражается формулой

(13)

Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, у которого его период колебаний совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

(14)

Решением уравнения (12) является уравнение (1).

Итак, гармонические колебания, возникающие в идеальных колебательных системах, не зависимо от вида маятника, описываются одинаковыми уравнениями (7), (10), (12), которые имеют решение (1).

В реальных колебательных системах всегда присутствуют силы трения, на преодоление которых будет тратиться собственная энергия системы. Если энергия не будет восполняться за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать, т.е. амплитуда их будет уменьшаться с течением времени.

При малых смещениях от положения равновесия на систему будут действовать:

1) квазиупругая возвращающая сила ;

2) сила сопротивления, пропорциональная скорости и направленная противоположно ее направлению ,

где r – коэффициент сопротивления.

Применим второй закон Ньютона к описанию движения колеблющейся системы

В проекции на ось ОХ, это уравнение будет выглядеть как , если подставить и , получим

Поделив все члены равенства на m, перенеся их в одну сторону, обозначив , , получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

или (15)

Решением уравнения (15) будет периодическая функция с убывающей амплитудой

, (16)

где A_o – наибольшее отклонение системы от положения равновесия;

– коэффициент затухания;

– закон убывания амплитуды;

– частота затухающих колебаний.

Рис. 4

Уменьшение амплитуды колебаний за один период характеризует декремент затухания

В качестве меры затухания берут величину натурального логарифма декремента затухания

(17)

d называют логарифмическим декрементом затухания.

Для получения незатухающих колебаний необходимо воздействовать на систему дополнительной переменной внешней силой, работа которой непрерывно восполняла бы убыль энергии из-за наличия сил трения. Эта переменная сила называется вынуждающей, а колебания – вынужденными.

Пусть вынуждающая сила меняется по гармоническому закону

При этом условии уравнение второго закона Ньютона в случае вынужденных колебаний будет иметь вид

Поделим все члены равенства на m, обозначим ; , , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

или (18)

Решением этого уравнения является уравнение вида:

, (19)

где амплитуда установившихся колебаний имеет вид

а начальная фаза может быть определена из условия

Амплитуда колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. Если затухание существует , то амплитуда колебаний достигнет наибольшего значения при частоте вынуждающей силы, совпадающей с частотой незатухающих колебаний w_о:

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к значению называется резонансом. Соответственно величина называется резонансной циклической частотой, а кривые зависимости – резонансными кривыми (рис. 5).

Форма резонансных кривых зависит от величины коэффициента затухания a. С увеличением a резонансные кривые становятся более пологими, уменьшается значение максимума амплитуды

Рис. 5

Описание установки и метода измерений

Прибор для изучения законов колебательного движения представляет собой комбинацию двух связанных маятников: физического 1 и математического 2 (рис.6). Связь маятников осуществляется при помощи вилки 3, жестко связанной с физическим маятником, в ушко которого продернута нить математического маятника. Длина математического маятника может быть измерена на требуемую величину путем перемещения нити с помощью фиксируемого ползунка 4, закрепленного на линейке 5. Положение ползунка на

этой линейке позволяет задать необходимую длину математического маятника. Амплитуда колебаний обоих маятников определяется по шкале 6.

Для увеличения затухания на физическом маятнике может быть закреплена тормозящая пластина 7.

Рис. 6

Порядок выполнения и обработка результатов измерений

1. Определение логарифмического декремента затухания

1. Убирают математический маятник (для этого можно поднять шарик или отвести его в сторону).

2. На физическом маятнике закрепляют тормозящую пластину 7.

3. Отклоняют физический маятник до заданной начальной амплитуды A_o, отпускают его и одновременно включают секундомер. Фиксируют число полных колебаний n и промежуток времени t, по прошествии которого амплитуда принимает значение A_n.

4. Полученные результаты заносят в табл. 1.

5. Определяют период T физического маятника по формуле ,

где t – время, n – число полных колебаний.

6. Вычисляют логарифмический декремент затухания по формуле:

и коэффициент затухания по формуле:

7. Вычисляются относительные и абсолютные погрешности при определении d и a. Все результаты заносятся в табл. 1.

Таблица 1

№ п/п

A_o, дел

A_n, дел

t, с

T, с

T_ср, с

D T, с

d_ср

D d

a, с^-1

a_ср, с^-1

D a, с^-1

A_o – начальная амплитуда; A_n – конечная амплитуда;

n – число колебаний; t – время колебаний;

Т – период колебаний; a – коэффициент затухания;

d – логарифмический декремент затухания.

2. Снятие резонансной кривой

1. Выводят из зацепления математический маятник.

2. Устанавливают начальную длину математического маятника (максимальную или минимальную).

3. Отводят физический маятник на 5 – 6 делений от положения равновесия и дают ему свободно качаться.

Наблюдая возникновение колебаний математического маятника, фиксируют по шкале 6 максимальное значение угла отклонения при заданной длине маятника и заносят в табл. 2 результаты.

4. Изменяя длину маятника последовательно на 10 см, повторяют опыт, проходя весь интервал возможных длин. На участке, где начинает обнаруживаться явление резонанса, изменение длины уменьшают до 5 см. Заносят показания в табл. 2.

5. Строят график зависимости угла отклонения математического маятника от его длины . По графику определяют резонансное значение и сравнивают его величину с – приведенной длиной физического маятника, определяемой по формуле: