Методы оптимизации функции 1-ой переменной

Цель работы

Ознакомление с методами одномерной оптимизации (поиска максимума и минимума).

Оптимизация функций одной переменной

Постановка задачи

На практике часто возникает задача нахождения экстремума некоторой целевой функции F(x). Такая функция одного параметра x описывает некоторую кривую на плоскости.

На определённом интервале функция может иметь одно (рис. 1а) или несколько экстремальных значений (рис. 1б).

Функция, изображённая на рис. 1а называется унимодальной.

Рис. 1. Функции одного параметра x описывающие некоторую кривую на плоскости.

Функция на рис. 1б имеет несколько экстремумов (максимумов или минимумов). Из них главный (оптимальное решение для рассматриваемого интервала) называется глобальным.

Унимодальная функция не обязательно должна быть гладкой (рис. 2 а), она может быть ломаной (рис. 2б), разрывной (рис. 2в).

 

Рис. 2. Унимодальные функции

Рассматриваемые методы справедливы для функций на рисунке 2а, а для функций на рисунках 2б, 2в могут использоваться на отдельных интервалах.

Если целевая функция унимодальная, то можно сузить интервал исследования функции на оптимум путём определения значений целевой функции в двух точках интервала задания функций F(x₁) и F(x₂) и последующего поинтервального сравнения. При этом возможны три случая (рис. 3):

1) если F(x₁) > F(x₂),то x_опт < x₂, т.е. оптимум не может находиться правее, интервал [x₂ , x] из дальнейшего рассмотрения исключается

2) если F(x₁) < F(x₂), то х_опт > x₁

3) если F(x₁) = F(x₂), то x₁ < х_опт < x₂

Рис. 3. Определение значений целевой функции в двух точках интервала задания функций

Последовательно сужая интервал исследования, в котором находится оптимальное значение функции, можно с достаточной степенью точности найти оптимальное значение переменной.

Задача поиска экстремумов сводится к их локализации и уточнению значений x и F(x) в точке экстремума. В дальнейшем для функций одной переменной под экстремумом будем подразумевать максимум F(x).

Поскольку максимуму функции F(x) соответствует минимум функции - F(x), то, сменив знак у F(x), программами поиска максимума можно пользоваться и для поиска минимума функций. Будем также полагать, что на изменения x (если это особо не оговорено) накладываются ограничения в виде неравенств a < x < b, где a и b – границы интервала поиска. В пределах отрезка [a, b] функцию считаем унимодальной, т.е. содержащей один максимум.

С помощью численных методов мы непосредственно находим максимум (минимум) функции F(x) в некотором интервале, в котором, как предполагается, лежит максимум (минимум). Иногда это единственно возможная стратегия поиска.

На пример, стоимость проведения химического процесса может зависеть от температуры процесса. Инженер знает, что стоимость является функцией от T, хотя может и не знать явного вида функции. Однако он может поставить эксперимент и провести эксперимент при различных температурах и, следовательно, найти стоимость для этих температур и определить минимальную стоимость и температуру проведения процесса, при которой она достигается.