Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов применяется для нахождения частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами в тех случаях, когда функция f (x), стоящая в правой части этого уравнения, имеет один из двух "специальных" видов:

, (42)

где P_n (x) – многочлен степени n: P_n (x) = a ₀ xⁿ + a ₁ x^{n– 1} +….+ a_{n– 1} x+ a_n,

или

, (43)

где M и N – числа.

1) Если , то частное решение можно искать в виде:

(44)

где k ₁, k ₂ – корни характеристического уравнения, Q_n (x) – многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами, подлежащими определению, например,

, и т. д.

2) Если , то частное решение можноискать в виде:

(45)

где k ₁, k ₂ – корни характеристического уравнения, А и В – неизвестные постоянные, подлежащие определению.

Пример 6. Найти общее решение уравнения .

Решение.

1 этап. Построим общее решение y ₀ соответствующего однородного уравнения . Составим для него характеристическое уравнение и найдем корни: – корни вещественныеи различные. По табл. 4 определим вид линейно независимых частных решений однородного уравнения: , и запишем его общее решение:

.

2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравнения .В заданном уравнении – правая часть 1-го специального вида: Здесь , P_n (x) = 12 x, т. е. многочлен в правой части – 1-й степени (n = 1). Число совпадает с одним корнем характеристического уравнения . Следовательно, согласно (44) частное решение будем искать в виде:

,

где А, B – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Найдем производные и подставим в данное неоднородное уравнение , при этом для простоты используем следующую форму записи:

.

Здесь слева от черты записаны коэффициенты, с которыми входят в уравнение, а под чертой приравниваются (тождественно) левая
и правая части уравнения после подстановки в него с группировкой подобных членов.

После сокращения обеих частей тождества на , получаем: , откуда, приравнивая коэффициенты при х ¹ и при х ⁰в обеих частях тождества, получаем:

Решая систему, находим . Подставляя найденные значения в , получим: .

Объединяя результаты 2-х этапов, получаем общее решение
уравнения:

.

Ответ: .

Пример использования метода неопределенных коэффициентов для случая, когда функция, стоящая в правой части уравнения, имеет 2-й специальный вид, приведен в образце выполнения контрольной работы.

6. Системы двух линейных дифференциальных уравнений
и их решение порядка методом повышения порядка

Нормальная система двух линейных дифференциальных уравнений
1-го порядка имеет вид:

(46)

где х – независимая переменная, y (x) и z (x) – неизвестные функции, f ₁(x)
и f ₂(x) – известные функции a ₁, a ₂, b ₁, b ₂ – коэффициенты. Общее решение системы (46) имеет вид:

,

где С ₁ и С ₂ – произвольные постоянные.

Для решения системы (46) методом повышения порядка необходимо исключить одну из неизвестных функций. Для этого можно выразить одну из функций, например, z (x), из одного уравнения системы:

, (47)

продифференцировать ее и подставить z и во второе уравнение системы. После упрощения получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка вида . После получения его решения , следует, используя (47), найти вторую неизвестную функцию: и записать ответ.

Если в системе (46) коэффициенты a ₁, a ₂, b ₁, b ₂ – постоянные, то в результате применения метода повышения порядка получается линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами:

,

решение которого рассмотрено в п. 5.

Пример использования метода повышения порядка для решения системы двух линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка приведен в образце выполнения контрольной работы.

Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы 6

Задача 1. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка: и точка . Определить тип дифференциальногоуравнения. Найти общее решение дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых (любых). Построить все эти кривые в системе координат.

Задача 2. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка: Определить тип дифференциального уравнения и найти егообщее решение.

Задача 3. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: и начальные условия: Определитьтип дифференциального уравнения и найти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Задача 4. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: . Определить тип дифференциального уравнения
и найти его общее решение, используя метод вариации произвольных постоянных.

Задача 5. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: . Определить тип дифференциальногоуравнения и найти его общее решение, используя метод неопределенных коэффициентов.

Задача 6. Дана система линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка: . Найти общее решение системы методом повышения порядка.

Решение задачи 1

Данное дифференциальное уравнение – уравнение
с разделяющимися переменными. Заменим на и разделим переменные, умножая обе части уравнения на

.

Интегрируя полученное равенство, получим:

откуда . Заменяя , запишем общее решение данного уравнения: .

Найдем уравнение интегральной кривой, проходящей через точку , т. е. частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию: Для этого подставим в общее решение вместо x, y числа соответственно: . Подставляя найденное значение С в общее решение, получим искомое частное решение (уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М): .

Найдем уравнения еще нескольких интегральных кривых.

Построим все эти кривые
в системе координат (рис. 9).

Ответы: ;

Интегральные кривые изображены на рис. 9.

Решение задачи 2

Данное дифференциальное уравнение – это уравнение Бернулли (см. (27)), в котором . Применим подстановку , тогда Подставив значения y и в уравнение, получим , или

(****)

Найдем функцию v (x), решая уравнение

.

Проинтегрируем левую и правую части этого уравнения:

при соответствующем подборе получаем – частное решение уравнения .

Подставляя найденную функцию в (****), получим дифференциальное уравнение для функции u: , или .

Найдем функцию – общее решение этого уравнения:

Общим решением исходного уравнения является функция

.

Ответ: .

Решение задачи 3

Данное дифференциальное уравнение – это дифференциальные уравнения 2-го порядка,не содержащие независимой переменной x (см. (34)). Полагаем = p (y), тогда и уравнениепримет вид:

Решая первое уравнение, получим: – первое семейство решений. Оно не удовлетворяет начальному условию

Второе уравнение есть уравнение с разделяющимисяпеременными. Разделим переменные, заменяя на и проинтегрируем:

где . Производя обратную замену p= , получим дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно неизвестной функции y:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Прежде чем его интегрировать, целесообразно определить значение постоянной С ₁, используя начальные условия (y = 3, = 2 при х = 1):

Подставив значение в дифференциальное уравнение, получим:

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

Здесь использовано: .

Определим значение постоянной С ₂, соответствующее начальному условию y (1) = 3:

Отсюда получим частный интеграл, удовлетворяющий заданным начальным условиям (решение задачи Коши): .

Получим частное решение уравнения, выразив y (x):

Ответ:

Решение задачи 4

Данное дифференциальное уравнение – это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (см. (38)). Его общее решение имеет вид Найдем его в 2 этапа (см. п. 5.3.).

1 этап. Построим общее решение y ₀ соответствующего однородного уравнения . Составим для него характеристическое уравнение и найдем его корни: По табл. 4 определим вид его общего решения

2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравнения при помощи метода вариации произвольных постоянных. Здесь , т. е. , тогда частное решение будем искать в виде .

Составим условиям вариации согласно (40):

Поделив оба уравнения почленно на , получим систему с неизвестными и :

Для решения этой системы можно использовать метод исключения. Выразим из первого уравнения и подставим во второе:

затем найдем

Переходим к интегрированию:

(константы интегрирования считаем равными нулю).

Тогда , и общее решение

.

Ответ: .

Решение задачи 5

Данное дифференциальное уравнение –это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка
с постоянными коэффициентами (см. (38)). Его общее решение имеет вид Найдем его в 2 этапа.

1 этап. Построим общее решение y ₀ соответствующего однородного уравнения Составим для него характеристическое уравнение и найдем его корни: По табл. 4 определим вид его общего решения

2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравнения при помощи метода неопределенных коэффициентов. В заданном уравнении – правая часть 2-го специального вида: , где . Числа , тогда, согласно (45), частное решение будем искать в виде:

где А и В – неизвестные постоянные. Подставим в данное неоднородное уравнение:

Сократим обе части тождества на и приравняем коэффициенты при cos3 x и при sin3 x в левой и правой частях тождества.

Решая полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными, находим Подставив найденные значения А и В в выражение , получим частное решение неоднородного уравнения:

Объединяя результаты 2-х этапов, запишем ответ – общее решение данного уравнения.

Ответ:

Решение задачи 6

Для решения системы методом повышения порядка исключим из нее одну из функций – z (x).

Выразим z (x) из первого уравнения системы: , продифференцируем ее: и подставим z и во второе уравнение системы:

.

После упрощения получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно функции у (х):

.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (см. (38)). Его общее решение имеет вид . Найдем его в 2 этапа.

1 этап. Построим общее решение y ₀ соответствующего одно-
родного уравнения . Составим для него характе-
ристическое уравнение и найдем корни: – корни комплексные сопряженные: . Здесь , тогда по таблице 4 определимвид общего решения однородного уравнения:

.

2 этап. Построим частное решение неоднородного уравнения. Здесь – правая часть 1-го специального вида: , где , n = 1. Число не совпадает с корнями характеристического уравнения , тогда, согласно (44), частное решение будем искать в виде:

,

где А, B – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Найдем производные и подставим в неоднородное уравнение , при этом для простоты используем следующую форму записи:

(здесь слева от черты записаны коэффициенты, с которыми входят в уравнение). Приравниваем левую и правую части уравнения после подстановки в него :

.

Приравнивая коэффициенты при х ¹ и при х ⁰ в обеих частях тождества, получаем:

откуда находим: A = –1, B = 4. Подставляя найденные значения в , получим: .

Объединяя результаты 2-х этапов, получаем общее решение уравнения :

.

Найдем вторую неизвестную функцию:

Ответ:

Варианты контрольнЫХ работ

Каждый вариант контрольной работы 5 для студентов-заочников
1 курса всех специальностей содержит 5 задач, охватывающих материал
по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной". Каждый вариант контрольной работы 6 содержит 6 задач по теме "Дифференциальные уравнения".

Перед выполнением каждой контрольной работы студенту необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии с методическими указаниями, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы.

Задания для всех вариантов общие; студенту следует выбрать из условия каждой задачи данные, необходимые для ее решения, в соответствии со своим вариантом. Оформление контрольных работ должно соответствовать установленным правилам и требованиям. Необходимые чертежи должны выполняться четко, с соответствующими подписями и комментариями (см. образец выполнения примерного варианта работы).

Интегрирование в контрольной работе 5 должно сопровождаться необходимыми ссылками на таблицы интегралов, их свойства, а также указанием метода интегрирования. При использовании замены переменной следует привести формулы замены всех элементов подинтегрального выражения через новую переменную.

Решение всех дифференциальных уравнений в контрольной работе 6 следует приводить подробно, указывая тип уравнения, способ получения решения и используемые методы интегрирования.

Варианты контрольной работы 5

Задача 1. Найти неопределенные интегралы:

№ варианта	Интегралы
n	; ; ;

В примерах правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

Задача 2. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

№ варианта	Интегралы
n	а) ; б)

Задача 3. Вычислить с помощью определенного интеграла площадь плоской фигуры:

а) ограниченной в ДСК линиями l ₁ и l ₂;

б) ограниченной в ПСК линией l.

Сделать чертежи.

№ варианта	Уравнения линий
а)	б)
n

Задача 4. Вычислить с помощью определенного интеграла объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями l ₁и l ₂. Сделать чертеж.

№ варианта	Уравнения линий
n

Задача 5. Вычислить с помощью определенного интеграла длину дуги кривой, заданной в ДСК уравнением y = f (x), где .

№ варианта	Уравнение кривой	Промежуток
n

Варианты контрольной работы 6

Задача 1. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка и точка М. Определить тип дифференциального уравнения. Найти общее решение дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых (любых). Построить все эти кривые в системе координат.

№ варианта	Дифференциальное уравнение	Точка
		M (–2; 4)
		M (0; 3)
		M
		M (0; 1)
		M (1; 2)
		M
		M (0; –1)
		M (0; 1)
		M (2; 1)
		M (–1; 2)

Задача 2. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение.

№ варианта	Дифференциальное уравнение	№ варианта	Дифференциальное уравнение

Задача 3. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка и начальные условия. Определить тип дифференциального уравнения и найти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

№ варианта	Дифференциальное уравнение	Начальные условия

Задача 4. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод вариации произвольных постоянных.

№ варианта	Дифференциальное уравнение	№ варианта	Дифференциальное уравнение

Задача 5. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод неопределенных коэффициентов.

№ варианта	Дифференциальное уравнение	№ варианта	Дифференциальное уравнение

Задача 6. Дана система линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Найти общее решение системы методом повышения порядка.

№ варианта	Система дифференциальных уравнений	№ варианта	Система дифференциальных уравнений

Рекомендуемая литература

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 / Д.Т. Письменный. – М.: Рольф, 2002. – 256 с.

3. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Щипачев. – М.: Высш. шк., 1998. – 479 с.

4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1
/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высш. шк., 1999. – 304 с.

5. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2
/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высш. шк., 1999. – 416 с.

6. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев. – М.: Высш. шк., 2001. – 304 с.

 

Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции

ОК 005-93, т. 2; 95 3004 – воспитательная, образовательная и педагогическая литература

 

Издательство МГТУ. 183010 Мурманск, Спортивная, 13.

Сдано в набор 06.04.2007. Подписано в печать 10.04.2007. Формат 60´84¹/₁₆
Бум. типографская. Усл. печ. л. 3,02. Уч.-изд. л. 2,36. Заказ 194. Тираж 100 экз.