Вычисление объема тела вращения

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a, x= b,
y = 0 и непрерывной кривой y = f (x), где для , вращается вокруг оси ОX. Объем полученного при этом тела вращения (рис. 4) вычисляется по формуле:

. (14)

Если плоская фигура ограничена линиями x = a, x= b, y ₁ = f ₁(x) и
y ₂ = f ₂(x), где для , то объем полученного при ее вращении вокруг ОX тела (рис. 5) можно вычислить по формуле:

. (15)

11. Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть плоская кривая АВ задана уравнением y = f (x), где . Если функция f′ (x) и ее производная f′ (x) непрерывны на промежутке [ a; b ], то длина кривой АВ вычисляется по формуле:

. (16)

Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы 5

Задача 1. Найти неопределенные интегралы:

, , в) , .

В примерах правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

Задача 2. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

а) , б) .

Задача 3. Вычислить с помощью определенного интеграла площадь плоской фигуры:

а) ограниченной в ДСК линиями l ₁: и l ₂: ;

б ) ограниченной в ПСК линией l: .

Сделать чертежи.

Задача 4. Вычислить с помощью определенного интеграла объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями

l ₁: y = 2 x ² и l ₂: y = 6 x. Сделать чертеж.

Задача 5. Вычислить с помощью определенного интеграла длину дуги кривой, заданной в ДСК уравнением , где .

Решение задачи 1

а) Так как , то используя формулу (3), получим:

Проверим результат дифференцированием:

следовательно, выполнено условие (1).

Ответ: = .

б) Интеграл относится к типу интегралов, берущихся по частям; это интеграл так называемого второго типа. Используя формулу (4), получим:

Проверим результат дифференцированием:

Ответ: = .

в) Подинтегральная функция является правильной рациональной дробью, поэтому ее можно представить в виде суммы простейших дробей:

, отсюда

или .

Неопределенные коэффициенты А, В, С найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества:

Коэффициенты А, В, С можно найти другим способом – подставляя
в тождество "удобные" значения х (метод частных значений):

Из первого уравнения получим: А = 11/12. Почленно вычитая два последних равенства, получим: , и из последнего уравнения

Таким образом,

Переходим к интегрированию:

Здесь использовано:

Проверим результат дифференцированием:

Ответ: = .

г) Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

Возвращаясь к переменной х, получаем:

Ответ: = .

Решение задачи 2

а) Данный интеграл является несобственным интегралом первого рода, поэтому

следовательно, интеграл сходится и равен .

Здесь использовано:

Ответ: интеграл сходится и равен .

б) Данный интеграл является несобственным интегралом второго рода, так как х = 13– точка бесконечного разрыва подинтегральной функции. Поэтому

следовательно, интеграл сходится и равен .

Ответ: интеграл сходится и равен .

Решение задачи 3

а) Найдем точки пересечения кривых, для чего составим и решим систему . Приравнивая правые части, получаем уравнение , решив которое, найдем абсциссы точек пересечения: x = – 1, x = 3.

Построим чертеж (рис. 6). На рисунке видно, что на промежутке [ – 1; 3].

Используя формулу (12), вычислим площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

Ответ: единиц площади.

б) Для построения кривой в ПСК составим таблицу значений функции на промежутке .

		π/4	2π/4	3π/4	π	5π/4	6π/4	7π/4	2π
		12,7		11,3		11,3		12,7

Построим чертеж в ПСК (рис. 7). Так как фигура ограничена кривой, заданной в полярной системе координат, то площадь фигуры, ограниченной заданной линией,вычислим по формуле (13):

Для получаем:

Ответ: единицы площади.

Решение задачи 4

Для построения фигуры Ф, ограниченной кривыми l ₁ и l ₂, нужно найти точки их пересечения, т. е. решить систему: . Приравнивая правые части равенств, получаем уравнение 2 x ² – 6 x = 0, решив которое, найдем абсциссы точек пересечения кривых: x = 0, x = 3.