Пределы и дифференцирование.

 

Перед выполнением контрольной работы рекомендуется изучить теорию, необходимую для выполнения работы, и ответить на вопросы для самопроверки.

 

I. Функция

1. Дайте определение функции. Что называют областью определения и множеством значений функции.

2. Каковы способы задания функции? Примеры.

3. Какая функция называется сложной?

4. Дайте определения основных элементарных функций.

5. Дайте определения четной и нечетной функции. Примеры.

6. Какая функция называется периодической?

 

II. Предел и непрерывность функции

1. Дайте определение предела последовательности.

2. Дайте определение предела функции при .

3. Сформулируйте определение бесконечно малой функции при . Каковы ее свойства?

4. Какая функция называется бесконечно большой и каковы ее основные свойства?

5. Как связано понятие предела функции в точке с понятиями ее пределов слева и справа в этой точке?

6. Докажите основные теоремы о пределах.

7. Докажите 1-ый замечательный предел .

8. Сформулируйте определение числа е.

9. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называют точками разрыва функции?

10. Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке, и дайте геометрическое истолкование этим свойствам.

11. Сформулируйте определение порядка одной бесконечно малой относительно другой бесконечно малой.

12. Докажите, что при бесконечно малые sinx, tgx, arcsinx, arctgx, e^x-1, ln(1+x) эквивалентны х.

 

III. Производная и дифференциал функции одной переменной

1. Дайте определение производной функции в точке. Каков ее геометрический и механический смысл?

2. Как связаны между собой понятия непрерывности в точке и дифференцируемости в точке? Приведите примеры.

3. Выведите формулы производной суммы, произведения, частного.

4. Теорема о дифференцируемости сложной функции.

5. Докажите формулы из таблицы производных.

6. Дифференцирование степенно-показательных функций. Сформулируйте правило логарифмического дифференцирования.

7. Докажите теорему о дифференцировании обратной функции.

8. Сформулируйте определение дифференциала функции. Каков его геометрический смысл?

9. В чем состоит свойство инвариантности дифференциала функции?

10. Напишите формулу приложения дифференциала к приближенным вычислениям.

11. Сформулируйте определение производной и дифференциала высших порядков.

12. Как находится первая и вторая производная от функций, заданных параметрически?