Система проверки знаний в школе

В школе необходима комплексная проверка актуального знания. Это показывает качественные характеристики учебного процесса. Задание ребенка может сделать другой (взрослый или товарищ), он может подсмотреть ответ в конце учебника. Задания, которые даются детям, одинаковые, их проще списать, чем сделать. В школе будущего необходима обратная ситуация.

Какой смысл несут такие домашние задания? Они становятся источником мощного конфликта родителя и учителя. Они провоцируют на списывание и не предполагают ответственного отношения. У ученика формируется два типа навыка. Навык первый – на домашнюю работу, когда можно делать быстро, неаккуратно, списывать, подсматривать. Навык второй – на контрольную работу. Тут выполнение медленное, тщательное и предельно собранное, так как оценка за контрольную работу попадает в журнал, а за домашнюю – нет. Так что домашнее задание непрестижно, и его выполнение возможно только при двух условиях. Во-первых, помощь или принуждение родителя, т. е. учитель передает родителю непрестижную и неважную часть работы ученика. Во-вторых, изоляция учеников, без которой не может быть работы каждого дома.

Учитель превращает домашнее задание в способ воздействия на родителя, так как уровень выполнения домашнего задания ниже, чем контрольной, родитель видит именно это, т. е. то, что показывает учитель. Тут ученик перед своим родителем «опущен». Однако ученик все чаще стремится не выполнить домашнее задание, мотивируя это тем, что учитель не объяснил, т. е. использует домашнее задание в своих интересах. Родитель, сталкиваясь с неподчинением ребенка, должен «ощутить трудность труда учителя». На самом деле родитель, так как он все это проходил, считает учителя неспособным учить своего ребенка. На этом ребенок и играет – на конфликте учителя и родителя. Очевидно, что если бы домашняя работа была важна, то ребенок не мог бы так просто ею манипулировать и манкировать ее, а если бы домашняя работа была неповторима для каждого ученика, то ученики бы не стали списывать. Делать задание товарищу, другому товарищу, раз, второй, наконец, это надоедает.

Таким образом, школа экономит на творческом компоненте программы и учебника – на разработке разных и разнотипных заданий, но при этом попадает в кризис по поводу контроля, так как подобный тип заданий увеличивает его необходимость. Изменение организации школы меняет такое соотношение.

Сравним контроль в производстве. Тут каждый получает за то, что сам сделает. Нет системы, когда я делаю работу другого, отдаю другому, тот получает за нее деньги и отдает деньги мне. Такой парадокс («подснежники», «подставки») нужен, только чтобы снизить налог. Таким образом, если ученик будет за результат своего труда получать нечто ценное, то система контроля исчезнет, а школа превратится в лабораторию по производству пособий вариативного типа, показанного выше.

Аналогичны выводы относительно разделения формального и неформального коллектива. Это происходит вследствие разделения общения и обучения. Коллективы формальный и неформальный расходятся в той степени, в какой разведены обучение и общение.

Несовпадение схем контроля в обучении и производстве показывает, что школа препятствует адаптации ребенка к его будущей работе. Учитель себя организует так, что это оказывается несовместимым с производством в принципе.

О стиле мышления

Обучение стилям мышления возможно только после первых двух типов коррекции. Это связано с эффективностью обучения и самообучения по стилю мышления. Ученик, идущий по этому способу, достигает результата независимо от того, каково качество его стиля. Дело в том, что он в состоянии сам откорректировать свои действия. Но это не дает гарантии освоения полноценного стиля мышления.

Ученик до начала обучения по стилю мышления должен получить эталон стиля. В школе это называют опережающим обучением, например, в педагогическом опыте С. Н. Лысенковой. Но в опережающем обучении учитель имеет неверный взгляд на перспективу.

Во-первых, опережение может касаться будущего материала, тогда стиля быть не может. Во-вторых, опережение касается элементов и предметов, которые входят в стиль мышления, в этом случае стиль ребенку показан и переход в стиль возможен. Например, в географии один из ключевых предметов стиля мышления – карта. Учеба по карте, ориентация на местности и составление карты жилого района, рисование карты на кальке с атласа, игровые занятия, во время которых ученик постоянно ищет объекты на карте, – все это вводит работу с картой и «наталкивает» на стиль. Этот метод ограничен в основном предметными стилями мышления.

В-третьих, возможна помощь учителю в осмыслении собственного стиля мышления и освоение учеником не предметного, но личностного стиля мышления. Богатство таких стилей освоения информации гораздо выгоднее: оно существенно дополняет вторую линию преподавания стиля мышления. Таким способом ученик выходит за рамки предметных стилей мышления. Он особенно актуален потому, что в рамках школьной программы понимание стиля сводится именно к предметным стилям мышления. Тут же мы получаем возможность, не меняя программу, расширить интеллектуальные возможности ребенка.

Ученик, освоивший некорректную структуру стиля мышления, впадает в периодические кризисы, создает специальные, дополнительные для своего стиля инструменты мышления. Инструментами чаще всего он стремится сделать других учеников, учителя. Такие конструкции не осознаются самим учеником. Они проистекают из ситуаций семьи и школы. В принципе можно охарактеризовать причину появления таких феноменов, как «медвежья услуга», когда ученику помогают там, где он должен сделать сам. Привыкнув, ученик постоянно стремится поставить в привычную позицию помощи что-то или кого-то. В этом акценте третий вариант внедрения стиля особенно актуален.

Достаточно легко такие «инструменты» фиксируются в коллективе, в методике обучения командами, которая необходима на уровне коррекции стиля мышления. Однако фиксация целесообразна, если есть методика исправления «медвежьих услуг». Коллективная тактика коррекции стиля мышления – одна из исходных. Коррекция основана на использовании совместной работы и создании вокруг дела команды заинтересованных учеников.

Первоначально коллектив «рассасывает» имеющийся стиль мышления по разным членам коллектива. Рассасывание состоит в том, что структурные искажения стиля личности, которая входит в коллектив, переносятся на структуру ниш в коллективе. Происходит экстериоризация личностной структуры. Коллектив воссоздает новую структуру личностных и деятельностных отношений. Новая структура дает шанс коррекции стиля мышления. Однако необходимо понимать, что коррекции подвергаются скорее навыки и стиль учителя, так как организация совместной деятельности коллектива осуществляется учителем. Вновь мы сталкивается с тем, что первоначально работа со стилем должна быть проведена у учителя.

Начальная методика в коррекции стиля разработана в форме теории четырех стадий развития коллектива. Коллектив дает механизмы, а коррекция стиля мышления должна исходить от самого ученика, точнее мыслителя. Стиль мышления может анализироваться как предметный и как психологический фактор индивидуализации мышления. Как предметный стиль связан с характерными для различных наук подходами к предмету, а также в выборе самих предметов для исследования. Так, для географии характерно использование карты, для истории – хронологии, для биологии в рамках школьной программы – систематика является ключевым стилем, у химии – особый предмет обобщения знаний – таблица Д. И. Менделеева. Для коррекции личностных компонентов стиля важно использовать схему диалога.

Таким образом, коррекция и обучение стилю мышления – самая сложная и трудоемкая стадия, требующая от учителя огромного опыта и мастерства. Она резко повышает эффективность обучения стилю мышления при условии, что на части развивающих уроков идет демонстрация полноценного стиля мышления. Демонстрация этих стилей по математике, литературе и естествознанию будет дальше. Пока отметим, что различение подготовки человека настоящего и человека будущего происходит по соотношению преподавания стиля мышления. Для человека будущего необходимо максимальное увеличение удельного веса интересового обучения и обучения стилю мышления. Для выявления кардинального отличия двух этих систем следует рассмотреть противопоставление в процессе познания двух процессов: обучения и понимания.

Обучение – процесс прямолинейный, строится по логике от простого к сложному и направлен на неизвестное ученику. Ученик может двигаться в пространстве обучения самостоятельно, потому что приращение знаний таково, что он может о нем догадаться сам, используя уже имеющиеся навыки. Новизна и проверка определяют, что основными интересами ученика в процессе обучения являются интересы к новому и старому. То есть обучение о целом располагается в плоскости обучения.

Понимание – процесс спиральный, направленный внутрь уже известного. Он идет от набора фактов в ситуации неопределенности к прояснению. Препятствием для очередного понимания является неполнота представлений. Понимание использует в первой стадии коллекционный интерес по собиранию фактов по точке будущего прорыва, затем игровой интерес в поиске неопределенного и в принципе непредсказуемого прорыва. То есть понимание расположено в плоскости мотивации.

Дальнейшие представления о стиле мышления будут направлены на формирование представления о понимании в школе будущего. Здесь же рассмотрим познание в контексте формирования типов конспекта как информационных машин, которые исходно закладываются в ученика. Уже объяснение учителя в процессе обучения есть сжатие информации. Ответ ученика еще более сжатая информация. Конспект занятия – предельно сжатая для методики школы система. Обучение типам конспектирования – предпосылка обучения и пониманию, и стилю мышления. Если условно принять сжатие информации в конспекте за 10, то в схеме информация сжимается в 100 раз. Отсюда перспективность обучения схемотехническому языку. Однако проблема обучения состоит не столько в обучении качественному сжатию информации, сколько в навыке качественного разжатия ее. Если сжатию в школе учат, хотя и спонтанно, в ответах, в подсказках, в объяснениях, то разжатию учат спорадически.

Процесс понимания более характерен для философского осмысления материала. Процедуры понимания в современной культуре превалируют над процедурами типа обучения (рефлексия, деконструкция и прочие). По сути, философия – это сжатие и разжатие информации с параллельным ее переосмыслением. Переосмысленное сжатие меняет структуру и порядок материала, что должно существенно повысить коэффициент сжатия, если говорить об обучении, и научить пользоваться сжатой информацией, т. е. языком более высокого уровня. На дальнейших примерах приближения в литературном анализе и языках разного уровня абстрактности в математике эффективность конспективных процедур будет продемонстрирована.

Информация вначале сжимается в учебном стиле, а потом уже в интересовом. То есть если исходно ученик способен сжимать информацию как знания в процессе обучения, то конспект имеет хронологический, в смысле событийности урока, характер. То есть конспект сохраняет порядок стиля учительского объяснения. Это сжатие с точки зрения внешнего наблюдателя, внешнего по отношению к знанию. Такое сжатие в целом субъективно и неперспективно с позиции машинизации и стилизации информации. Философия сжимает информацию по-другому. Новый алгоритм-принцип сжатия информации формируется из самого знания, что предполагает понимание. Все науки переосмысливают знание по-своему и сжимают его сообразно парадигме понимания.

Процесс понимания формально близок к кругу сжатия – разжатия. При этом от сжатия хронологического происходит переход к сжатию функциональному, структурному и, наконец, содержательно-парадигмальному. При оснащении этого процесса схемотехническим языком мы можем получить прекрасное методическое средство обучения по сценариям стиля мышления.

Итак, язык преобразования конспекта – необходимый методический компонент перехода от процедур обучения к процедурам понимания.

Охарактеризуем также методику рефлективного тестирования. Тесты могут быть составлены таким образом, что ученик в состоянии сам себя проверить. Понятно, что такая самопроверка может выродиться в отписку. Ученик заполняет тест по учебнику и сам себя убеждает, что запомнил. Такая опасность в рефлективном тестировании распространена. Чтобы ее избежать, надо учитывать, что тестирование проводится как проверка, а не как способ запоминания. Отсюда следует необходимость новой стадии – запоминания информации. Тренинг памяти – особенный навык, который не мобилизуется рассматриваемыми средствами или мобилизуется недостаточно. Полная система должна конструироваться исходя из того, каков учитель, и того, какие схемы обучения должны выступать как прототипы стиля мышления. Так что обучение по стилю специфическая и уникальная ситуация, и должна простраиваться каждый раз индивидуально.

Итак, ниже мы связываем стиль мышления с содержательными компонентами предметного обучения, что вытекает из доминирования в обычной программе предметных стилей мышления. Затем идет конспективный и тестирующий фрагменты системы, которые помогают в организации вертушек освоения.

«Принцип вертушки»

Речь идет о способе вывода детей в лаборатории. Напомним, что получив 12 детей в классе, учитель спонтанно находит эффект улучшения обучения при выводе некоторых учеников в лаборатории (ксероксов, конспекта, проверки и игрового тренинга – четыре лаборатории, в целом соответствующие четырем типам интереса). Учитель попадает в искушение перевести всех учеников в лаборатории, и тогда фронтальный урок разрушается и оказывается, что названные интересы являются несамостоятельными и паразитическими, новое – это знать раньше и больше других, а других нет. Конспектирование – это подсказать и объяснить другому, а другого нет. Проверка – это поставить оценку и проверить работу кого-то, а кого-то нет. Игровое состязание – это способ показать свои способности в состязании перед кем-то, а «кем-то» нет. Таким образом, учитель разрушает фронтальный урок, но не получает альтернативы, и интерес учеников вырождается. Следует кризис, который обычно преодолевается переходом на очень затратную психически схему репетиторства всего класса.

Существенным моментом, замедляющим этот распад, является вертушка. То есть учитель должен взять в лаборатории меньшинство класса, причем лучше не лидеров, чтобы лаборатория не стала слишком популярна, и прокрутить выбранных в лаборатории учеников по всем лабораториям. Тогда на этих учениках учитель имеет возможность создать альтернативную фронтальному схему обучения. Но и после этого не рекомендуется разрушать фронтальный урок. К сожалению, принцип вертушки в самом запуске требует от учителя больших затрат, так как необходимо тратить много сил на отдельных учеников. Если учитель ориентируется при этом на структуру вертушки не соответствующую его личностному стилю мышления, то вертушка также малоэффективна. Хотя сам учитель чаще всего берет схему из себя, только если поддаться на его просьбы показать, как надо делать вертушку, повышаешь опасность дать ему не его схему.

Вместе с тем существуют схемы вертушки, которые построены предельно экономно для учителя и могут еще больше времени дать на обдумывание собственной траектории движения. Именно как альтернативную фронтальному уроку схему мыслительного движения вертушку и надо рассматривать.

Рассмотрим схему коллективно-временной вертушки, эффективной с точки зрения непровокативности навязываемого.

Делается коллективная, т. е. ориентированная на детей, вертушка. Программа на четверть разбивается на достаточно автономные часть. Допустим 12 частей и 12 учеников (дальше видно, что количество детей непринципиально).

В таблице Н – интерес к новому, К – Коллекционный интерес, С – интерес к старому, И – игровой интерес. То есть первый ученик готовится к теме 1 в лаборатории новичков, к теме 4 в лаборатории игроков, к теме 7 как старичок, к теме 10 как коллекционер и т. д. Следует в расписание сразу добавить нулевую тему, когда учитель ведет фронтальный урок, а ученики готовятся, ибо начинаем с первого урока, а лаборатории еще не готовы.

Ученики

Тема 1

Ученики по желанию учителя могут объединяться в лабораториях, но корректнее заниматься с ними раздельно. Кроме того, подготовка может не соответствовать хронологии, т. е. первый ученик может посещать сразу три-четыре лаборатории. Наконец, следует учитывать, что для разных учеников разные типы интереса требуют разных затрат. В этом плане учитель может иметь в виду, что каждый тип интереса перед запуском на урок требует определенной паузы, например, коллекционный желателен в таком режиме. Ученик осваивает материал, потом, усвоив, занимается усложненной программой по той же теме, а на урок он может прийти, как бы «оторвавшись от своей коллекции», но ни в коем случае не презентуя коллекцию. Интерес к новому имеет дистанцию не временную, а качественную, т. е. ученик знает больше и хочет быстрее это доказать, его временная остановка провоцирует рассказывать еще до урока. Старичок должен быть уверен в себе, он ведь должен проверить без ошибок. Игрок имеет в качестве дистанции стремление сыграть с другими в игру, которую сам придумал, но игру делать долго, она должна быть зрелой.

Напомним в общих чертах, что новичок в лаборатории стремится узнать самое яркое и ключевое, что поможет ему продемонстрировать собственное участие и выделить свое авторство (тут напрашивается изготовление пособий, даже если они разовые и на один – несколько уроков). Коллекционер ориентируется на логику, готовится быть дублером учителя. Здесь целесообразны графемы и конспекты в схемном варианте. Старичок узнает материал с точки зрения ожидаемых ошибок, т. е. это склад ошибок. Игрок вырабатывает игровой вариант контроля. Он может, если затрудняется соревноваться со сверстниками, подготовить правила и средства игры и быть судьей и корректором понимания правил остальными.

Не вдаваясь в детали организации лабораторий, добавим, что вертушка зачастую требует перекомпоновки программы, она открывает возможность разновозрастного обучения. В итоге разные дети работают параллельно во всех лабораториях

В итоге вертушка организована так, что ребенок переживает своеобразные «бенефисы» разного типа. Он главный в каком-то плане на каком-то периоде обучения. Переход в иную лабораторию снимает шок от оттока интереса к нему как временному лидеру. Так что динамика лабораторий для конкретного ученика должна учитывать гармонику бенефиций и разочарований.

Вертушка, анализируемая со стороны, покажет, какого типа лаборатории не удаются и в чем нужна помощь учителю. В вертушке возникает интересный феномен разделения телесности учителя между учениками. Телесности не конкретного человека, а общепринятой логики обучения.

Мы не рекомендуем кидаться в вертушки полностью. Главная задача вертушки – выработка учителем и учениками адекватных форм занятия. Затем этот материал, безусловно фиксируемый, должен быть проанализирован, тогда может быть эффективная перестройка методики. Иначе вертушка может заменить фронтальный урок, а она в принципе не для этого приспособлена, и в итоге слиться с ним, превратившись в форму обязательного дополнительного занятия с отстающими.

Особенно эффективен для ребенка принцип вертушки, когда после урока и лаборатории ученик идет помогать или проводить урок в другую учебную группу и класс.

В этом плане рассмотрим эксперимент «раздвоения класса».

Раздвоение класса

Эксперимент возник из ситуации пожелания родителей уменьшить наполняемость класса. Предположим, что школа из четырех классов в параллели набирает один класс такой, чтобы родитель платил за малокомплектность. Тогда 25 чел. должны платить сумму, равную зарплате учителя. По 100 руб. = 2500. Класс делится на две группы. Учителя в обоих работают на половину бюджетной ставки, а вторую половину получают из фонда родителей.

Можно организовать уроки так, чтобы классы не занимали дополнительного помещения. Для этого класс делится на две группы.

На первому уроке присутствует первая группа, потом четыре занятия общие. Сюда входят физкультура, труд, пение, контрольные, диктанты, сочинения, т. е. те уроки, которые не требуют индивидуальной работы. На шестом уроке присутствует только вторая группа. После адаптации к такому расписанию оно модифицируется:

Модель 1. Начальное расписание (Р – работа группы)

Группа Первая Вторая

Урок

1 Р

2 Общее занятие

3 Общее занятие

4 Общее занятие

5 Общее занятие

6 Р

Модель 2. Вторичное расписание

Группа Первая Вторая

Урок

1 Р

2 Р

3 Общее занятие

4 Общее занятие

5 Общее занятие

6 Р

7 Р

Первый урок может начинаться ранее первого урока школы, последний урок тоже рекомендуется проводить короче. Вообще такая система требует меньшего времени для обучения, так как опросы проходят быстрее, объем объяснений снижается. Общие же типы работы должны быть вынесены в общую часть. Тогда возникает следующая схема

Модель 3. Вторичное расписание

Группа Первая Вторая

Урок

1 Р

2 Р

3 Общее занятие

4 Общее занятие

5 Р

6 Р

Модели расписания можно чередовать.

Разведение учеников по группам может быть обосновано на разных основаниях:

1. в первую группу попадают жаворонки, во вторую – совы;

2. в первую группу попадают девочки, во вторую – мальчики;

3. в первую группу попадают отстающие, во вторую – сильные ученики. Тогда отстающие могут в качестве дополнительного занятия оставаться на вторую группу.

Такое расписание способствует внедрению вертушки лабораторий без особых затрат учителя. Кроме того, оно помогает еще и внедрению коллективной работы в лабораториях и состязанию двух групп. В последнем случае группы должны быть выравнены по способностям и уровню знаний. Есть уроки совместные, они используются для конференций и уроков, где одна группа ведет урок для другой, а отдельные уроки используются как лаборатории для подготовки коллективного урока.

Запись уроков

Еще один эксперимент касается записи уроков.

Предположим, что мы ставим задачу воплотить рефлексивную модель обучения. Одним из ключевых ее компонентов должно быть записывание уроков.

Первоначально предполагалось записывать уроки на видеокамеру. Однако цифровая обработка и использование видеоматериала трудоемко, гораздо проще вести запись аудиомагнитофоном, но дополнительно фиксировать зрительные примеры и схемы, а также регулярно вести видеодневник школы.

Модель эксперимента следующая. Рассматриваем случай финансирования родителями. Учитель за запись его уроков получает надбавку 2000 руб. Есть дублер, который получает 2000 руб. в месяц. В его задачу входит, во-первых, приходить на урок и включать магнитофон, в начале записи он говорит в микрофон, какой урок, какой класс, дата, учитель, тема, после урока он это дублирует, чтобы урок, как запись, был самодостаточен. Во-вторых, дублер делает примерный хронометраж урока, схему для ориентации в материале. В-третьих, дублер фиксирует зрительную информацию, которую использует учитель. Это делается либо с помощью цифрового или обычного фотоаппарата, либо вручную. Учитель может использовать общедоступные плакаты, а может использовать схемы на доске, которые быстро стираются. Затем дублер отдает кассету технику.

Отметим, что дублером может быть второй учитель в системе раздвоения класса, т. е. два учителя на классе могут быть неравносильны – один опытнее, другой мобильнее. Для дублера посещение уроков приобретает новый смысл. В этом случае лаборатория как бы распространяется и на учителей.

Есть техник, который обеспечивает оцифровку аудиоматериала и видеоинформации. Он также систематизирует материалы в оболочку и сводит их в итоговую форму в виде общего хронометража как гипертекста, предположительно 2 СD по классу с аудио- и фотоинформацией и до 10 СD с видеоинформацией.

Есть машинистка, которая помогает вводить расписание, дополнительные данные в компьютер.

Есть завуч, который согласует, какой урок записывается аудио, какой видео для дневника класса.

Кроме того, надо учесть затраты на кассеты, на которые записывается урок (на класс около пяти кассет, хотя может быть иная организация – когда кассеты распределяются по учителям), на аудиомагнитофон (хотя опыт показывает, что за него должен быть один ответственный, а когда есть магнитофон в классе, то его быстро ломают). СD болванки для записи результатов, а также компьютер для обработки материалов. Если в эксперименте участвует 11 классов школы, то родители классов платят не более 100 руб. в месяц.

Возникает вопрос, кому это надо? Во-первых, родители сразу получат возможность ознакомиться с работой учителя, что снимает массу проблем и повысит рейтинг учителя, так как сейчас образ учителя у родителя формируется ребенком. Во-вторых, учитель, которого записывают, будет проводить урок гораздо качественнее, проводить этот урок проще, так как дети знают, что урок записывается и будет показан родителям, следовательно, повысится качество урока. Наконец, ученик может в случае пропуска или недоработки посмотреть урок заново и повторить самостоятельно.

Главная возможность, которая открывается перед школой благодаря записи, – это рефлексивная схема обучения. При таком подходе возникнет парадокс: с одной стороны, антирефлексивные компоненты поведения детей резко сократятся, что улучшит работоспособность детей и климат в классе. С другой стороны, чем эффективнее будет использоваться запись, тем меньше ею будут пользоваться.

Например, разрешение конфликта требует обращения к записи. Сейчас разночтения часто выступают как провокации конфликта, а взгляд большинства на ситуацию создается лидером, который «переписывает» историю. У опытного человека и без записи достаточно средств, чтобы восстановить истину, но это невозможно, когда переписывание включено в систему школы. После просмотра записи разночтения исчезают. Но важнее, что исчезает апеллирование такого типа, которое есть основание переписываемой истории. Так что к записанному будут обращаться все реже, но и апеллирования не будет. Запись потенциально становится противоядием против обмана и манипулирования ситуацией в корыстных интересах.

Такое положение – основание для действительной рефлексии, которая ориентирована не на выдумывание прошлого, а на его восстановление. Этим закладывается фундамент уважения другого, иного мнения, иного себя, вообще краеугольные камни рефлексии. Запись также мощный стимул для коллективных форм обучения. Она требует постоянного тренинга фиксации и рефлексии от учителя.

Картотека знаний

Кратко опишем сценарий коллекционного стиля мышления. Его универсальными средствами являются карточки. Картотека широко используется как коллекция чистого знания. В приложении 4 описывается использование карточек для географии, на них рисуется флаг, контур страны, название столицы и самой страны. Аналогично используются карточки на уроках химии для собирания сведений об элементах, на истории есть карточки событий, которые состоят из системы пяти типов карточек: персонажи, даты, силы, место, действия. Аналогично готовится картотека героев литературных произведений, физических законов, астрономических знаний, картотека представляет собой модель зоопарка и виртуального гербария.

Карточки могут переводиться в электронную форму и выступать как основные единицы коллекции в компьютере. Таким образом, система картотек является параллельным всему учебному процессу информационным полем коллекционного типа. Запуск карточных коллекций надо осуществлять, готовя картотеки предварительного уровня, поощряя такой тип сбора информации. Картотеки близки по своему типу к конспектам и схемам.

Вместе с тем отметим, что система картотек не выделена нами как отдельная схема учебного процесса, хотя она таковой является.

Конкретные методики

Математика

Современная программа по математике сосредоточена, во-первых, на вычислениях, а не на рассуждениях, и как следствие, во-вторых, примеры составляются так, что решение прячется. Сложность решения задачи для ученика состоит в путанице, в ремесленных способах вычисления, а не в непонимании математики. Поиск решения похож на разгадывание ребусов и шарад по непонятным правилам, а математика – сугубо точная наука. Так возникает задача противопоставить вычислительный и математический стиль мышления. В вычислительном стиле методика преподавания математики совершенствует подсказки и решения-разгадки вместо того, чтобы породить самоорганизующуюся систему обучения, которая необходима для школы будущего. Причем самоорганизация нужна как в интересе ребенка, который способен в рамках этой программы сам обучаться, так и в самоорганизации материала, когда господствует принцип, решая, точнее находя следующее, повторяешь и используешь предыдущее. Условно разобьем эти две проблемы: во-первых, математика вместо вычислителя, во-вторых, самоорганизация учебной деятельности.

Приведем примеры решений второй проблемы.

Часто навык ребенка страдает при переходе к следующей системе навыков, предыдущий навык существует, но не «сворачивается». Такая ситуация возникает при переходе к записи сразу нескольких действий при вычислении уравнения с сокращениями коэффициентов в алгебре. Ребенок сокращает многократно и, в конечном счете, путается. В такой ситуации ученик демонстрирует знание каждого отдельного действия и путаницу в итоговом. Он стремится сократить запись. Коррекция этого навыка достаточно проста: надо «развернуть» навык. Пусть ученик сокращает по одному действию, а потом повторить «сворачивание» записи. То есть разворачивание и сворачивание навыка – эффективный прием коррекции и необходимый момент выявления проблемной точки или лакуны в знаниях.

Далее покажем различие методик внутри стиля вычисления (в противопоставлении вычисления и математики) на примерах.

Поразрядное умножение

Ребенок в 5-м классе не знает таблицу умножения, а его надо учить перемножению столбиком. Как быть? Ответ дает поразрядное умножение. Проанализируем его механизм. Дан пример. Умножить 7583 на 69. Вначале перемножаем 503 на 9, во второй строке – 7080 на 9, в третьей 505 на 60, наконец, в четвертой – 7080 на 60. Это выглядит так:

7 5 8 3

^× 6 9

4 5.2 7

6 3.7 2

3 0.1 8

4 2.4 8

5 2 3 2 2 7

Сложение четырех вместо двух строк сложнее, но ошибок меньше из-за того, что нет переносов при записи результатов промежуточного умножения. Больше сложностей со сдвигом по разрядам, однако после понимания сдвига ошибок от умножения на числа типа 101, 1001 становится меньше.

Главное преимущество этого способа в том, что произведения, записанные между линиями, это всегда пары чисел, которые представляют собой воспроизведение таблицы умножения. Таким образом, каждое умножение становится повторением таблицы умножения. Ребенок получает четкую ориентацию в переносе разрядов и вникает в математическую по своему характеру игру с произведениями, в противовес следует больше внимания уделить различию простых и производных чисел. То есть навык должен быть подкреплен знакомством с числовым рядом и законом простых чисел.

Этот пример дает разворачивание навыка с выигрышем времени. Встает вопрос о возможности объяснения умножения столбиком параллельно с разбором таблицы умножения и ее изучением. Здесь навык повторяется в силу самого содержания действия.

Табличное деление

Другой пример – деление столбиком. Обычно в школе это действие сводится к многократному умножению. Если делится многозначное число на двузначное, то деление превращается в многократное перемножение двузначного числа на однозначные, чего нет в таблице умножения. Для «оптимизации» этой ситуации вводится (в отдельных вариантах программы для начальной школы) «примерное деление», которое позволяет сузить набор чисел, на которые умножается двузначное. На самом деле математика уже решила эту проблему и совершенно иначе. Вспомним таблицы Брадиса. Ее использование порождает процедуру табличного деления. Но в этом случае возникает возможность создания креативной ситуации для ученика, когда он в состоянии открыть закономерности и метод самостоятельно.

Итак, следует дать пример как можно более сложный, например:

1 234 567 898 123 456 789 123 456 789: 17 =

Отметим, что чем длиннее делимое, тем больше вероятность открытия табличного деления. Можно давать ребенку несколько примеров, и чтобы все делились на 17. В конце концов ученик открывает, что эти примеры проще решать, сделав таблицу умножения на 17:

17×1 = 17, 17×2 = 34, 17×3 = 51, 17×4 = 68,

17×5 = 85, 17×6 = 102, 17×7 = 119, 17×8 = 136,

17×9 = 153

Деление после этого перестает быть многократным умножением, становится легким и понятным, и проблем в дальнейшем с ним не возникает, зато открывается система стимуляции для ученика. Ученики могут в качестве домашнего задания делать примеры для всего класса для определенного набора двузначных чисел. Есть требования по подбору чисел (например, принцип минимального повторения цифр в примере). Так, ученик получает задание сделать по 20 примеров десятизначных чисел, делящихся на два двухзначных, пусть 11 и 17. Составление примера осуществляется по такому алгоритму: нужно подобрать 10 цифр и делить их на 11 и 17, после чего отнять от исходного примера остаток от деления или прибавить недостающее. Таким образом, ученик готовит примеры для других. А работа остальных по решению данных примеров может интерпретироваться как проверка этих примеров всем классом.

Для оптимизации навыка табличного деления ученик после открытия способа составления таблиц для одного, двух двузначных чисел, получает сокращенную таблицу для деления на двузначные числа. Затем распечатывается аналогичная таблица для дву- и трехзначных. Они отличаются от таблиц Брадиса тем, что сокращены объяснения. Тут умножение на 1 одновременно название строки, и таблицы помещаются на один печатный лист (10-го кегля). По крайней мере, на один с двух оборотов (14-го кегля), в этом случае лучше делить таблицу пополам. До 50 с одной стороны, с 51 до 99 с другой. Усложнение отсылает ученика к таблице Брадиса. Но достаточно иметь таблицу трехзначных чисел. Некоторые ученики могут получить задание сконструировать такую таблицу. Они могут пользоваться наработками других по выпавших тем числам.

Пример табличного деления имеет двойной смысл: с одной стороны, он показывает, что ребенок получает возможность самостоятельно конструировать свое обучение, с другой – происходит демонстрация разделения навыка, когда оказывается, что само по себе деление, «очищенное» от многократного умножения, – просто. Наступает понимание у ученика, после которого возможен и возврат в обычную методику.

Важный вывод из демонстрации поразрядного умножения и табличного деления состоит в том, что разделение и соединение навыков возможно, во-первых, самостоятельно, во-вторых, иначе, более оптимально как по отношению к организации материала, так и по отношению к организации действий ученика. Еще один вывод состоит в том, что математика – это нечто парадоксальное. Так, чем сложнее пример, тем интереснее он и проще решается, тем больше творчества требует. Освоение материала по вычислению проще для ребенка в том случае, если материал скомбинирован в сложнейшие, но однородные задания. Если примеры будут такими: четырехзначные числа делятся на двухзначные, и всегда разные, то ребенок не будет искать алгоритма табличного деления. Но после табличного деления он начинает искать как математик, и это следует поощрять.

Таблица квадратов

Демонстрацией сравнения стиля вычисления и математики является тест на заполнение таблицы квадратов.

Таблица № 1.

В таблице по вертикали единицы, по горизонтали десятки. На пересечении нужно поставить квадрат получаемого числа.

Задание – заполнить таблицу квадратов до 100.

Суть теста. У человека с высшим техническим образованием на заполнение такой таблицы без применения калькулятора уходит около 40 мин. Это если квадраты получаются перемножением. Однако в таблице так много закономерностей, что математический ум найдет способ заполнить таблицу без перемножения гораздо быстрее. Для примера: заполнение такой таблицы во второй раз, т. е. со знанием закономерностей, требует у ученика 3-го класса 5 мин.

Следовательно, для человека, заполняющего таблицу путем вычисления или перемножением уходит больше времени, чем у человека, походящего к решению со стороны поиска закономерностей или с математическим стилем мышления.

Закономерность достаточна простая, более того, таких закономерностей не менее десятка, и все они ускоряют заполнение, но покажем самые эффективные шаги, с помощью которых таблица заполняется максимум за 2 мин. Во-первых, в столбиках единицы у квадратов сохраняются, так что их можно переносить вниз (2 × 2 = 4, 12 × 12 = 144, 22 × 22 = **4, 32 × 32 = **4 и т. д.), и остается подсчитывать только десятки. Более того, в столбике с единицами 5 сохраняется две цифры. Все квадраты оканчиваются на 25, а 0 дает 00. Эти столбики можно использовать для проверки. Отметим, что в первоначальной таблице показаны две строки квадратов, которых уже достаточно, чтобы закономерность выявить и проверить.

Первым шагом закономерности является переделанная формула квадрата суммы: (A+1)² = А² + (А) + (А+1), т. е. квадрат следующего числа, после известного, будет равен квадрату предыдущего, плюс сумма самих чисел, предыдущего и последующего. Так, чтобы получить квадрат 31, зная квадрат 30, надо к квадрату 30 (900), прибавить 30 и 31, и получится 961.

На основе этой формулы можно выявить, как нарастают десятки. В самом деле, число прибавляемых десятков зависит от двух параметров. Во-первых, от строки, 2 + 2 = 4, а 3 + 3 = 6, и это легко, во-вторых от суммы единиц: если складываются числа 1 и 2, 2 и 3, то прибавляется удвоенное число знаменателя строки, или величины десятка: если складываются 3 и 4, 4 и 5, 5 и 6, 6 и 7, то к удвоенному десятку надо прибавить еще один десяток, для остальных случаев прибавляется к удвоенному десятку два десятка.

Эта закономерность в двух заполненных строках уже имеется. При переходе от 0 к 1 прибавляется 0 десятков, от 1 к 2 – 0, и т. д., получается:

Таким образом, в рамках одной строки, т. е. десятка, прибавляется три варианта: 0 до 3-й единицы, 1 от 4-й до 7-й единицы и далее 2. Во второй строке соответственно 2, 3, 4. Эту закономерность можно продолжить, каждый раз нужно прибавлять на два десятка по вертикали и сохранять последовательность по горизонтали: на один десяток больше прежней суммы, при переходе от 3 к 4 и от 7 к 8. Между 3‑4 и 7‑8 переходами прибавляется нечетное число десятков, т. е. четыре раза, а в остальных случаях – прибавляется четное число десятков – остальные шесть столбцов.

Таблица № 2

Ед дес	От 0 к 1	От 1 к 2	От 2 к 3	От 3 к 4	От 4 к 5	От 5 к 6	От 6 к 7	От 7 к 8	От 8 к 9	От 9 к 10

Это можно проверить:

10 + 11 = 21, 11 + 12 = 23, 12 + 13 = 25, затем 13 + 14 = 27, 14 + 15 = 29, но так как прибавление идет к числу с единицами 9, 6, то прибавляется еще один десяток.

Далее: 15 + 16 = 31, 16 + 17 = 33, а затем в случае 17 + 18 = 35, 18 + 19 = 37 и 19 + 20 имеем 39, но так как прибавление идет к числу с единицами 9, а потом 4 и потом 1, то остается прибавлять на десяток больше, за счет этого прибавление четных десятков чаще, чем нечетных.

Итак, полученная закономерность реализуется так. 21 в квадрате получаем так: к 40 десяткам прибавляем 4 и в разряд единиц переносим 1, получаем 441, для 22 аналогично, к 44 прибавляем 4 и переносим в единицы 4 = 484, для 23 к 48 прибавляем 4 десятка и переносим 9 = 529, для 24 – к 52 прибавляем уже 5 десятков и переносим в единицы 6 = 576, для 25 к 57 прибавляем 5 и переносим 5 = 625 и т. д.

Складывая десятки и дописывая единицы, мы получаем максимально эффективный алгоритм заполнения таблицы квадратов. Подобного типа закономерность будет искать математик, и первоначально он отстанет от вычислителя, но потом заполнение будет ускоряться, а у вычислителя перемножение останется единственным алгоритмом, и числа становятся больше, поэтому будет происходить замедление вычисления.

Бином сложения

Тест аналогичного типа предусматривается для малышей, которые освоили сложение. Он построен по принципу биномиального разложения. Принцип таков – три числа, которые стоят выше искомого числа, в сумме его дают. Исходный слой коэффициентов дан как единица и бесконечное число нулей в обе стороны:

Таблица № 3

В таблице приведен решенный тест. Для третьего класса нормально заполнение 9‑10 строк за 25‑35 мин. Для старших классов больше, но ненамного, так как числа возрастают очень стремительно.

Тест отличается суперответственностью, так как единственная ошибка даст неправильные результаты в дальнейших вычислениях. Кроме того, тут вычислительный навык иной – складывать приходится не два, а три числа, в уме это сложнее, однако это принципиальное положение, так как вычислительный навык должен развиваться в сторону большего числа слагаемых, а не большего их размера. Отметим, что тут сложные для ученика начальной школы закономерности. Для диагоналей единиц и следующей закономерности видны, видна также симметрия, позволяющая решать только половину коэффициентов, но далее закономерности сложнее, чем вычисление самого числа.

Итак, примеры показывают возможность альтернативы курса математики как отображения стиля математики в программе путем конструирования саморазвития ученика учителем, а затем самим учеником.

Рассмотренные примеры перестройки программы являются стилевыми особенностями математического взгляда, и они могут быть иными даже в рамках математического стиля мышления. Мы же ставим задачу показать вектор изменения программы и методики для адаптации последних под стиль математический, а не вычислительный. Формирование стиля мышления математика более целесообразная задача, чем тренировка в качестве обучения математики вычислительным навыкам. Таким образом, программа и методика попали в современной школе в тупик вычислительных навыков.

Существенным элементом стиля мышления является сопоставление языка и результата размышления. В этом отношении очевидна несовместимость вычислительного и математического стилей.