Наименьшим значение функции y= f(x) на множестве Х⊂D(f), называется некоторое число m, такое, что:
a) Существует некоторое х0, что f(x0)=m.
б) Для любого хϵХ, выполняется f(x)≥f(x0).
Наибольшим значение функции y=f(x) на множестве Х⊂D(f), называется некоторое число m, такое что:
a) Существует некоторое х0, что f(x0)=m.
б) Для любого хϵХ, выполняется f(x)≤f(x0).
Наибольшее и наименьшее значение принято обозначать yнаиб. и yнаим..
Понятия ограниченности и наибольшего с наименьшим значением функции тесно связаны.
Выполняются следующие утверждения:
а) Если существует наименьшее значение у функции, то она ограничена снизу.
б) Если существует наибольшее значение у функции, то она ограничена сверху.
в) Если функция не ограничена сверху, то наибольшего значения не существует.
г) Если функция не ограничена снизу, то наименьшего значения не существует.
Пример
Точки экстремума (локального максимума и минимума).
Точку 
называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство 
. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают 
.
Точку называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство 
. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают 
.
Под окрестностью точки понимают интервал 
, где 
- достаточно малое положительное число.
Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.
Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.
На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.
Выпуклость функции.
Функция выпукла вниз, если любые две точки графика исходной функции соединить, и график функции окажется ниже линии соединения точек.
Функция выпукла вверх, если любые две точки графика исходной функции соединить, и график функции окажется выше линии соединения точек.
Функция непрерывна, если график нашей функции не имеет разрывов, например, как график функции выше.
Пример:
Найти свойства функции y=−2x+5.
Решение.
а) Область определения D(y)=(-∞;+∞).
б) Монотонность. Проверим для любых значений х1 и х2 и пусть х1 < x2.
f(x1)=−2x1+2.
f(x2)=−2x2+2.
Поскольку х1 < x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
в) Ограниченность. Очевидно, что функция не ограничена.
г) Наибольшее и наименьшее значение. Поскольку функция не ограничена, то наибольшего и наименьшего значений не существует.
д) Непрерывность. График нашей функции не имеет разрывов, тогда функция непрерывна.
е) Область значений. Е(у)=(-∞;+∞).
Если требуются найти свойства функции, то последовательность поиска свойств такова:
а) Область определения.
б) Монотонность.
в) Ограниченность.
г) Наибольшее и наименьшее значение.
д) Непрерывность.
е) Область значений.
