Возрастающая функция Убывающая функция

А) аналитический (формула),

Б) графический (график),

в) табличный х

у

3. Свойства функции:

· D(y) -область определения функции – это множество значений Х, где функция определена и выражена действительным числом.

· E(y) -область значений функции.

 

2. Периодичность, четность функции. Принести примеры.

а) Функция называется четной, если для любого Х из области

определения выполнено равенство: .

у

Пример: .

Проверим справедливость формулы:

х

График четной функции с имметричен относительно оси ОУ.

 

 

б) Функция называется нечетной, если для любого Х из области

определения выполнено равенство: .

 

Пример: . у

Проверим справедливость формулы:

х

График нечетной функции

симметричен относительно начала координат.

в) Функция может быть ни четной ни нечетной.

 

3. Промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы функций.

а) Функция называется возрастающей, если большему

значению Х соответствует большее значение функции:

 

б) Функция называется убывающей, если большему

значению Х соответствует меньшее значение функции:

 

 

 

 

· Точки экстремума (точки максимума и минимума).

 

 

4. Преобразование графиков функций. Параллельный перенос.

Для построения графика функции y=f(x)+b надо график функции y=f(x) перенести на b единиц вверх вдоль оси ОУ.

Для построения графика функции y=f(x)-b надо график функции y=f(x) перенести на b единиц вниз вдоль оси ОУ.

Для построения графика функции y=f(x+а) надо график функции y=f(x) перенести на а единиц влево вдоль оси ОХ.

Для построения графика функции y=f(x-а) надо график функции y=f(x) перенести на а единиц вправо вдоль оси ОХ.

5. Преобразование графиков функций. Деформация (растяжение и сжатие).

Для построения графика функции y=к·f(x) надо график функции y=f(x) растянуть в к раз вдоль оси ОУ.

Для построения графика функции y=1/к·f(x) надо график функции y=f(x) сжать в к раз вдоль оси ОУ.

Для построения графика функции y=f(k·x) надо график функции y=f(x) сжать в к раз вдоль оси OX.

Для построения графика функции y= f(1/к·x) надо график функции y=f(x) растянуть в к раз вдоль оси ОX.

 

6. Преобразование графиков функций. Отображение.

Для построения графика функции y= -f(x) надо график функции y=f(x) симметрично отобразить относительно оси OX.

Для построения графика функции y=f(-x) надо график функции y=f(x) симметрично отобразить относительно оси OУ.

7. Преобразование графиков функций: у = | f (х)| и у= f | (х)

| Построить график функции y=f(x), затем часть графика, расположенную над осью ОХ, оставить без изменения, а часть графика расположенную ниже оси ОХ симметрично отобразить вверх

Построить график функции y=f(x), затем часть графика, расположенную в области x<0, стереть и заменить симметричным отображением части графика из области x≥0 относительно оси OУ

8. Степень с произвольным действительным показателем и ее свойства.

Пусть дано положительное число и произвольное действительное число . Число называется степенью, число — основанием степени, число — показателем степени.

По определению полагают:

• .
• .
• , .

Если и — положительные числа, и — любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

• .
• .
• .
• .
• .
• .

9. Показательная функция, ее свойства и график для а >1

Функция вида называется показательной.

1.Область определения:D(у)= R,

2.Область значения: E(у)=(0;+ ),

3.При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой,

у

 

1

 

Х

 

 

Возрастающая функция

а>1

10. Показательная функция, ее свойства и график для 0 < а<1.

Функция вида называется показательной.

1.Область определения:D(у)= R,

2.Область значения: E(у)=(0;+ ),

3. при 0<a<1 функция убывает на всей числовой прямой

у

 

Х

 

 

Убывающая функция

0<a<1

 

11. Степенная функция у=х^а, её свойства и график для а >1

а- четное, ее свойства и график.

Функ­ция у = хⁿ, где n — натуральное число, называется степен­ной функцией с натуральным показателем.

При n=2 получаем функцию y = х², ее свойства:

Перечислим свойства функции у = х².

1) Область определения функции — вся числовая прямая.

2) у = х² — четная функция (f(— х) = (— x)² = x² = f (х)).

3) На промежутке [0; + οο) функция возрастает.

В самом деле, если , то , а это и означает возрастание функции.

4) На промежутке (—оо; 0] функция убывает.

В самом доле, если ,то — х₁ > — х₂ > 0, а потому

(—х₁)²> (— х₂)², т. е. , а это и означает убывание функции.

Графиком функции y=х² является парабола. Этот график изображен на рисунке.

 

Пусть n — произвольное четное натуральное число, большее двух:

n = 4, 6, 8,.... В этом случае функция у = хⁿ обладает теми же свойствами, что и функция у = х². График такой функ­ции напоминает параболу у = х², только ветви графика при |n| >1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.

12. Степенная функция у=х^а (0< а<1), ее свойства и график.

Функ­ция у = хⁿ, где n — натуральное число, называется степен­ной функцией с натуральным показателем.

Рассмотрим функцию у = х^r, где r — положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этой функции.

1) Область определения — луч [0; + оо).

2) Функция ни четная, ни нечетная.

3) Функция у = х^r возрастает на [0; +оо).

 

На рисунке II.5. изображен график функции Он заключен между графиками функций у = х² и у = х³, заданных на промежутке [0; + оо).

Подобный вид имеет график любой функции вида у = х^r, где .

На том же рисунке изображен график функции . Подоб­ный вид имеет график любой степенной функции у = х^r, где .

13. Степенная функция у=х^а (а >1, а - нечетное), ее свойства и график).

Функ­ция у = хⁿ, где n — натуральное число, называется степен­ной функцией с натуральным показателем.

При n = 3 полу­чаем функцию у = х³, ее свойства:

1) Область определения функции — вся числовая прямая.

2) y = х³ — нечетная функция (f (— х) = { — x)² = — х³ = — f (x)).

3) Функция y = x³ возрастает на всей числовой прямой. График функции y = x³ изображен на рисунке. Он на­зывается кубической параболой.

График (кубическая парабола) изображен на рисунке

 

Пусть n — произвольное нечетное число, большее трех: n = = 5, 7, 9,.... В этом случае функция у = хⁿ обладает теми же свойствами, что и функция у = х³. График такой функции на­поминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n. Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хⁿ тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.

14. Степенная функция, ее свойства и график для а<0.

Рассмотрим функцию у = х^-n, где n — натуральное чис­ло. При n = 1 получаем у = х^-n или у = Свойства этой функции:

График (гипербола) изоб­ражен на рисунке II.4.

Пусть n — нечетное число, большее единицы,

n = 3, 5, 7,.... В этом случае функция у = х^-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция у = График функции у = х^-n (n = 3, 5, 7,...) напоминает график функции у = . Пусть n — четное число, например п = 2. Перечислим не­которые свойства функции у = х^-2, т. е. функции y = .

1) Функция определена при всех х 0.

2) y = четная функция.

3) y = убывает на (0; +оо) и возрастает на (—оо;0).

Теми же свойствами обладают любые функции вида y = х^-n при четном n, большем двух.

Рассмотрим функцию у = х^-r, где r — положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции.

1) Область определения — промежуток (0; + оо).

2) Функция ни четная, ни нечетная.

3) Функция у = х^-r убывает на (0; +оо).

15. Логарифмы, их свойства, основное логарифмическое тождество, формула перехода логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием.

Логарифмом положительного числа Х по основанию а называется показатель степени b, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число Х.

6. ; 7. ; 8. - основное логарифмическое тождество.

Свойства логарифма:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5.

 

 

16. Логарифмическая функция, у=1оq_ах, ее свойства и график для а > 1.

17. Логарифмическая функция, у=lод_ах, ее свойства и график для 0<а< 1.

Функция называется логарифмической.

1.Область определения: D(у)=(0;+ ),

2.Область значения: E(у)=R,

3.При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой,

при 0<a<1 функция убывает на всей числовой прямой.

у у

 

 

 

 

Х 0 1 х

 

 

Возрастающая функция Убывающая функция

а>1 0<a<1

 

18. Радианная и градусная мера угла, формула перехода от радианной меры к градусной и наоборот. Расположение углов по четвертям.

Определения.

Градусная мера угла – это величина угла в градусах.

Пример: прямой угол равен 90º.

Радианная мера угла – это величина угла в радианах.

Пример: прямой угол равен π/2 радиан.

Углом в 1 радиан называют центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности (см.рисунок).

В тригонометрии обычно пользуются радианной мерой, так как она удобнее.

Соотношение градуса и радиана:

π

1º = —— рад

где π ≈ 3,14

 

180º

1 рад = ——

π

где π ≈ 3,14

Величина 1 радиана в градусах:

Угол в 1 радиан равен ≈ 57,3º:

 

180º 180º

1 рад = —— = —— ≈ 57,3º

π 3,14

 

Формулы для определения градусов и радиан:

π

xº = x · ——

где π ≈ 3,14

180º

x рад = x · ——

π

где π ≈ 3,14

Пример 1 (как выразить градусы в радианах):

π 30 π π

30º = 30 · —— = ———— = — рад.

180 180 6

π 2 π 2 · 3,14

72º = 72 · —— = —— = ———— ≈ 1,3 рад.

180 5 5

Пример 2 (как выразить радианы в градусах):

 

2π 2π 180º 2 · 180

—— рад = —— · ——— = ——— = 120º

3 3 π 3

 

180º 630º

4,5 рад = 3,5 · —— = ——— ≈ 200,5º

π 3,14

 

19. Определение тригонометрических функций.

Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

К тригонометрическим функциям относятся следующие 4 функций: синус, косинус, тангенс, котангенс. Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r = 1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.

Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:

sin α = y/r.

Поскольку r = 1, то синус равен ординате точки M(x,y).

Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:

cos α = x/r = x

Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:

tan α = y/x, x ≠ 0

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:

cot α = x/y, y ≠ 0

В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x, y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:

Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.

20. Знаки тригонометрических функций.

21. Периодичность тригонометрических функций

Функцию у=f(x) называют периодической,если существует такое отличное от нуля число Т,что выполняется двойное равенство

 

f (x - T) = f(x) = f(x + T)

Т - период функции у=f(x)

sin (x - T) =sin x =sin (x + T). Аналогично для у=cos x

Функции у=sin x, у=cos x являются периодическими.Любое число вида 2k,где k =1,2,3,...,является периодом у=sin x, у=cos x.

Наименьший период функций у= tg x, y= ctg x является Любое число вида k,где k =1,2,3,....

 

22. Честность тригонометрических функций.

Функция y = f(x) называется четной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство

f(-x) = f(x).

четные функции: y = /x/, y = x2, y = cos x

График четной функции симметричен относительно оси OY.

 

Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство

f(-x) = - f(x).

нечетные функции: y = 1/x, y = x3, y = sin x, y = tg x, y = ctg x, y = arcsin x, y = arctg x

23. Соотношение между тригонометрическими функциями одного аргумента (с выводом).

24. Формула приведения (с примерами).

Это соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов и др., выражаются через значения .

Правила преобразования:
1) Если аргумент содержит , где n - нечетное натуральное число , то функция меняется на "конфункцию", т.е. синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот. Если n - четное натуральное число , то название функции не изменяется.
2) Определяем знак ("+" или "- ") значения п ервоначальной функции. Преобразованное выражение сохраняет знак своего родителя

.

 

25. Функция у= SinХ, ее свойства и график.

y = sin x, область определения: x ∈ ℜ, область значений: −1 ≤ sin x ≤ 1

26. Функция у= СоsХ, ее свойства и график.

y = cos x, область определения: x ∈ ℜ, область значений: −1 ≤ cos x ≤ 1

27. Функция у= tqХ, ее свойства и график

область определения: x ∈ ℜ, x ≠ (2k + 1)π/2 область значений: −∞ < tan x < ∞

28. Функция у= сtqX, ее свойства и график

y = cot x, область определения: x ∈ ℜ, x ≠ kπ, область значений: −∞ < cot x < ∞