Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕроизводна€ сложной функции

Ќ»∆Ќ≈ јћ— »… ‘»Ћ»јЋ

Ёкономический факультет

 

 афедра Ђ¬ысшей математики и информационных технологийї

ћј“≈ћј“» ј

 ќЌ“–ќЋ№Ќџ≈ –јЅќ“џ

(I семестр)

ƒл€ направлени€ обучени€

Ђћенеджментї

 

Ќижнекамск - 2013


ќглавление

јннотаци€. 5

”казани€ по выполнению контрольной работы.. 5

 онтрольные задани€. 6

–ешение типовых примеров. 10

 

јннотаци€

¬ данной работе рассматриваютс€ основные способы и методы решени€ задач, необходимые дл€ выполнени€ контрольного задани€, приводитс€ перечень теоретических вопросов.

”казани€ по выполнению контрольной работы

1. Ќомер варианта контрольной работы соответствует последней цифре номера зачетной книжки или студенческого билета.

2. ¬ заголовке контрольной работы написать фамилию, им€, отчество, курс, группу, номер студенческого билета, вариант контрольной работы и дату сдачи ее в институт.

3. –ешение задач располагать в пор€дке номеров, указанных в задани€х, сохран€€ их номер. ѕеред решением каждой задачи выписать полностью условие. –ешение каждой задачи сопровождать объ€снени€ми и заканчивать ответом.

4. ќформление решений производить аккуратно, с минимальным количеством исправлений. ќставить пол€ дл€ замечаний провер€ющего.

 онтрольные задани€

1. ƒаны матрицы ј, ¬, —. ¬ычислить матрицу D=AB+C

¬ариант ј ¬
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

¬ычислить определитель третьего пор€дка

1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. .    

 

–ешить систему линейных уравнений

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

 

—оставить уравнение пр€мой линии на плоскости, проход€щей через заданные точки

1. (Ц1, 2) и (0, 10); 2. (Ц2, Ц1) и (3, 9); 3. (Ц3, 1) и (4, 8); 4. (Ц4, 3) и (Ц2, 7).

5. (Ц5, 2) и (0, 6); 6. (Ц6, Ц1) и (3, 5); 7. (Ц7, 1) и (4, 4); 8. (Ц8, 3) и (Ц2, 3).

9. (Ц9, 2) и (0, 2); 10. (Ц10, Ц1) и (3, 1).

 

5. ѕостроить график функции (с помощью преобразовани€ графиков основных элементарных функций) или в пакете MS Excel

1. 2. 3. , 4.

5. 6. , 7. 8. ,

9. 10.

 

«начение функции f(x) известно в точках а и b. — помощью линейной интерпол€ции найти значение функции в точке с

¬ариант а f(a) b f(b) c
  -1   2,5    
          1,5
    6,5   7,5 2,5
  2,5   4,5 1,75  
  Ц2 Ц12,5   Ц1 Ц1
          0,5
  1,5   3,5    
  0,5   1,5 0,75  
  1,5       2,5
  0,5       1,4

 

Ќайти предел функции

1. 2. 3.

4. 5. 6. ,

7. 8. 9. ,

10. .

 

8. ¬ычислить производную функции

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

 

Ќайти наибольшее и наименьшее значени€ функции на отрезке [Ц2, 2].

1. f(x) = x3 Ц x2 Ц x + 1,

2. f(x) = x3 + 12x2 + 21x +10,

3. f(x) = x3 + 4x2 Ц 7,

4. f(x) = x3 Ц 6x +7,

5. f(x) = 4x3 Ц 8x2 Ц 3 x +10,

6. f(x) = x3 + 3x2 Ц 4,

7. f(x) = x3 Ц x2,

8. f(x) = x3 Ц 2x2 + x - 2,

9. f(x) = x3 Ц 2x2Ц x+2,

10. f(x) = x4 Ц 1.

 

10. »сследовать функцию и построить ее график. ѕроверить график в пакете MS Excel

1. 2. 3. ,

4. 5. 6. ,

7. 8. 9. ,

10. .

 

11. ¬ычислить приближенно, использу€ дифференциал функции

1. ; 2. ; 3. , 4.

5. ; 6. ; 7. ; 8.

9. ; 10. .

 

 

–ешение типовых примеров

1.1. —ложить две матрицы и

–ешение. —кладывать (вычитать) можно только матрицы одинакового размера, а т.к. размеры матрицы ј Ц (3´2) и ¬ Ц (3´2) (где 3 Ц число строк, 2 Ц число столбцов) совпадают, то дл€ того, чтобы сложить две матрицы, надо к каждому элементу первой матрицы прибавить соответствующие элементы второй матрицы:

+ = = .

ќтвет: .

 

1.2. ”множить матрицу на число 3.

–ешение. ƒл€ того, чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

ќтвет: .

 

1.3. ”множить матрицу на матрицу .

–ешение. ”множение матриц ј и ¬ определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

m´n = A m ´ kB k ´ n

—овпадают

 

–азмерность результирующей матрицы

 

¬ нашем случае размер ј Ц (2´3), а размер ¬ Ц (3´3), поэтому умножение производить можно; размерность результирующей матрицы Ц (2´3). ƒл€ того чтобы получить элемент, сто€щий на пересечении i Цй строки и j Цго столбца новой матрицы, нужно элементы i Цй строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j Цго столбца второй матрицы и результат сложить, т.е. элементы матрицы вычисл€ютс€ по формуле:

.

C= =

= .

ќтвет: C= .

 

2. ¬ычислить определитель 3-го пор€дка: .

–ешение. 1) ћетод разложени€ по элементам строки или столбца.

— помощью метода разложени€ по элементам строки (столбца) можно вычислить определители любого пор€дка. —троку (столбец), по элементам которого производитс€ разложение, следует выбирать так, чтобы в ней содержалось наибольшее количество нулей.

–азложим определитель по элементам какой-либо строки или столбца. Ќапример, выберем дл€ разложени€ третий столбец:

= 3∙ ј13 + 0∙ ј23 + 3∙ ј33 = 3∙ ј13 + 3∙ ј33. (1)

«десь ј13, ј23, ј33 Ц алгебраические дополнени€ элементов матрицы а13, а23, а33 соответственно, которые в общем случае дл€ элемента аij наход€тс€ по формуле

јij = (Ц1) i+j∙Mij. (2)

ћинор ћij Ц определитель, получаемый из исходного вычеркиванием i ‑й строки и j ‑го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Ќапример, дл€ нахождени€ ћ13 вычеркиваетс€ 1-€ строка и 3-йстолбец:

.

јналогично определ€ем ћ23, вычеркива€ 2-ю строку и 3-й столбец.

ћ33 получаетс€ вычеркиванием 3-й строки и 3-го столбца:

.

“огда алгебраические дополнени€ (по формуле (2)) будут равны:

ј13 = (Ц1)1+3 ∙M 13= (Ц1)4∙6 = 6,

ј33 = (Ц1)3+3 ∙M 33=(Ц1)6∙3 = 3.

ѕодставл€€ найденные значени€ в (1), найдем определитель

= 3∙6 + 3∙3 = 27.

ќтвет: 27.

 

2) ћетод —аррюса.

— помощью метода —аррюса можно вычисл€ть только определители третьего пор€дка.

—начала к исходному определителю справа приписываем первый и второй столбцы:

“огда определитель равен сумме произведений элементов, сто€щих на главной диагонали и диагонал€х, параллельных ей, вз€тых со своими знаками, и произведению элементов побочной диагонали и параллельных ей диагонал€х, вз€тых с противоположными знаками.

= 2∙4∙3 + 1∙0∙1 + 3∙5∙2 Ц 3∙4∙1 Ц 2∙0∙2 Ц 1∙5∙3 = 27.

 

ќтвет: 27.

 

3. –ешить систему линейных уравнений:

1) ћетод  рамера.

¬ыпишем определитель матрицы системы ј:

Δ = = 4.

(“ак как определитель не равен 0, то метод  рамера использовать можно, и система имеет единственное решение.)

ќпределитель Δ1 получаем из определител€ Δ заменой первого столбца на столбец свободных членов ¬, а остальные столбцы остаютс€ прежними:

Δ1 = = 4.

јналогично, замен€€ в исходном определителе второй, а затем третий столбцы на столбец свободных членов, получим соответственно Δ2 и Δ3.

Δ2 = = 8, Δ3 = =12.

“еперь воспользуемс€ формулой  рамера и найдем все переменные:

, , .

2) ћетод √аусса.

ћетод √аусса Ц это универсальный метод решени€ систем линейных уравнений. ќн заключаетс€ в последовательном исключении переменных.

—оставим расширенную матрицу системы, котора€ включает в себ€ матрицу системы и столбец свободных членов.

.

ѕроизведем элементарные преобразовани€ со строками матрицы, привед€ ее к треугольному виду, т.е. к матрице, в которой все элементы, ниже главной диагонали равны нулю (при этом диагональные элементы не равны нулю).

Ўаг 1. ≈сли в матрице элемент а 11 = 0, то перестановкой строк нужно добитьс€ того, чтобы элемент а 11≠ 0. ¬ нашем примере а 11≠ 0.

—начала обнулим элементы первого столбца ниже главной диагонали. ƒл€ этого поочередно умножим элементы первой строки на числа и , и прибавим соответственно к элементам второй и третьей строк:

2∙ -3

+ + →

Ўаг 2. ≈сли в полученной матрице а 22 ≠ 0, то обнулим элемент второго столбца ниже главной диагонали. ƒл€ этого умножим вторую строку на число и прибавим к третьей строке:

.

ѕолученна€ матрица имеет треугольный вид.

“.о. получили систему уравнений:

ќткуда найдем из последнего уравнени€ х 3 = 3; из второго х 2 = =2; из первого х 1 = 8 Ц 2 х 2 Ц х 3 = 1.

ќтвет: х 1 = 1, х 2 = 2, х 3 = 3.

 

 

4. —оставить уравнение пр€мой, проход€щей через точки:

ј (5; 4) и ¬ (2; Ц3).

–ешение. ”равнение пр€мой, проход€щей через две точки ћ11;y1) и ћ22;y2) имеет вид: .

”равнение пр€мой, проход€щей через заданные точки:

.

ќтвет: уравнение пр€мой

 

5. ѕостроить график функции у = Ц4∙sin2 x + 1 (с помощью преобразовани€ графиков основных элементарных функций).

–ешение.

1) —начала построим график функции у = sin x.

у

 

1

ќ х

-π - -1 π

 

 

2) —жатием графика в 2 раза вдоль оси ќх получаем график функции у =sin2 x.

у

1

ќ х

-π - π

 

3) –аст€нем график у = sin2 x вдоль оси ќу в 4 раза и получим график функции у = 4sin2 x.

у

4

 
 

 


 

1

ќ х

-π - π

 
 

 


-4

 

4) «еркально отобразив график относительно оси ќх, получим у = Ц4sin2 x.

у

4

 
 

 


 

1

ќ х

-π - π

 
 

 


 

-4

 

5) —двинем полученный график на 1 единицу вверх параллельно оси ќу. “аким образом, график функции у = Ц 4∙sin2 x + 1 имеет вид:

у

5

 
 

 


 

1

π ќ π х

 
 

 


 

-3

 

 

6. «начение функции известно в точках a и b. — помощью линейной интерпол€ции найти значение функции в точке с.

а f(a) b f(b) c
  2,42 2,04 2,88 2,008

–ешение. ‘ормула линейного интерполировани€:

f(c)ї f(a) + , где h = b Ц a, Df = f(b) Ц f(a).

ѕодставл€€ в формулу известные значени€ из таблицы, получим:

f(2,008)ї 2,42 + = 2,512.

ќтвет. f(2,008)ї 2,512.

 

7.1. Ќайти .

–ешение. “ак как под знаком предела стоит непрерывна€ в точке х =1 функци€, то, использу€ определение непрерывной функции, имеем:

.

ќтвет. .

7.2. Ќайти .

–ешение. ‘ункци€ при х =1 не определена (Ђнеопределенность типа ї), и, следовательно, не €вл€етс€ непрерывной в этой точке. Ќо при всех других значени€х х

.

ѕолученна€ функци€ определена и непрерывна в точке х =1, поэтому

= = .

ќтвет: .

7.3. Ќайти

–ешение. «десь требуетс€ найти предел отношени€ двух бесконечно больших величин. ќ таком пределе заранее ничего определенного сказать нельз€ (Ђнеопределенность типа ї). ѕреобразуем функцию под знаком предела, вынос€ за скобки х в старшей степени, и используем свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин. “огда имеем:

= = = = 0.

ќтвет: 0.

 

8. Ќайти производную функции:

а) у = х + 2 б) y = (2 x Ц 3)(3 x + 2) в) у =

г) у = д) у = (x 3 Ц 2 x 2 + 5)6 е)

ж) з) y = tg(3 x 2 Ц 1) и) .

—правочный материал

ѕравила дифференцировани€:

1) сТ = 0;

2) xТ = 1;

3) (u + v)Т = uТ + vТ;

4) (cu)Т = c∙uТ;

5) (u∙v)Т = uТv + u;

6) (u∙v∙w)Т = uТ∙v∙w + u∙vТ∙w + u∙v∙wТ;

7) .

ѕроизводна€ сложной функции

≈сли у есть функци€ от и: у = f(u), где и в свою очередь есть функци€ от аргумента х: u = φ(x), т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент и, то у называетс€ сложной функцией от х (функцией от функции): y = f(φ(x)).

ѕроизводна€ сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:

x = yТux

“аблица производных:

є ‘ункци€ у ѕроизводна€ уТ
   
  x  
  un n∙un-1
 
 
  eu eu∙uТ
  au au ∙ln a
  ln u
  loga u
  sin u cos u∙uТ
  cos u Ц sin u∙uТ
  tg u
  ctg u
  arcsin u
  arcos u Ц
  arctg u
  arcctg u Ц

–ешение. а) у = х + 2

»спользу€ правило дифференцировани€ (3) и формулы (1), (2), имеем:

у' = (x + 2) Т = (x) Т + (2) Т = 1 + 0 = 1.

б). y = (2 x Ц 3)(3 x + 2)

= ((2 x Ц 3)(3 x + 2)) Т = (2 x Ц 3) Т ∙(3 x + 2) + (2 x Ц 3)∙(3 x + 2) Т = 2∙(3 x + 2) + (2 x Ц 3)∙3 = 12 x Ц 5. «десь мы использовали правило дифференцировани€ (5).

в) у =

»спользу€ правило дифференцировани€ (7), имеем

г) у =

Ќайдем производную, использу€ правило дифференцировани€ (4) и формулу (3).

у' = .

д) у = (x 3 Ц 2 x 2 + 5)6

ѕусть x 3 Ц 2 x 2 + 5 = и, тогда у = и 6. ѕо формуле (3), получим уТ = (и 6) Т = 6 u 5 = 6(x 3 Ц 2 x 2 + 5)5∙(x 3 Ц 2 x 2 + 5) Т = 6(x 3 Ц 2 x 2 + 5)5∙(3 x 2 Ц 4 x).

е)

ѕо правилу дифференцировани€ (7) и формуле (10) получим:

= .

ж)

»спользу€ формулы (4) и (10), имеем:

.

з) y = tg(3 x 2 Ц 1).

ѕо формуле (12) имеем:

y' = (tg(3 x 2 Ц 1)) Т = .

и) .

ѕо формуле (8), а также (3), (4), (5) имеем:

=

= .

 

9. Ќайти наибольшее и наименьшее значени€ функции у = х 3 Ц 12 х на отрезке [0, 5].

–ешение. —начала найдем производную функции: уТ = 3 х 2 Ц 12.

«атем найдем критические точки, т.е. точки, в которых уТ = 0 или не существует: 3 х 2 Ц 12 = 0, откуда критические точки х 1 = Ц2, х 2 = 2. “очка х 1 = Ц2 не принадлежит отрезку [0, 5], поэтому мы исключаем ее из рассмотрени€.

¬ычислим значени€ функции в критической точке х 2 = 2 и на концах интервала и выберем из них наибольшее и наименьшее: у (2) = Ц 16, у (0) = 0, у (5) = 65.

ќтвет: Ќаибольшее значение функции на отрезке [0, 5] равно 65, наименьшее значение равно Ц16.

10. »сследовать функцию у = и построить ее график.

–ешение. а) Ќайдем область определени€ функции.

ќбластью определени€ этой функции €вл€етс€ вс€ действительна€ ось, за исключением двух точек х 1 = Ц2 и х 2 = 2, в которых имеет место разрыв (знаменатель х 2 Ц 4 = 0). “.о. область определени€: (-∞; -2)U(-2; 2)U(2; +∞)

б) »сследуем функцию на четность-нечетность.

‘ункци€ четна€, т.к. у(-х) = = у(х). „етность функции определ€ет симметрию ее графика относительно оси ќу.

в) Ќайдем вертикальные асимптоты графика функции.

¬ертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на границе ее области определени€. “очками разрыва €вл€ютс€ х 1 = Ц2 и х 2 = 2.

¬ычислим пределы функции в окрестност€х этих точек.

ѕредел слева , предел справа .

јналогично , .

—ледовательно, пр€мые х = Ц2 и х = 2 €вл€ютс€ вертикальными асимптотами функции.

г) Ќайдем горизонтальные или наклонные асимптоты графика функции.

ƒл€ этого вычислим пределы: и . ќткуда (по формуле y = kx +b) заключаем, что уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид: y = 0 x + 1, т.е. у = 1.

д) Ќайдем экстремумы и интервалы монотонности.

ѕроизводна€ заданной функции уТ = равна нулю (уТ = 0) при х= 0 и не существует при х = ±2. Ќо критической €вл€етс€ только точка х= 0 (т.к. значени€ х = ±2 не вход€т в область определени€ функции). ѕоскольку при x < 0 fТ(x) > 0, а при x > 0 fТ(x) < 0, то х= 0 Ц точка максимума функции и f mах (x) = = Ц 1.

Ќа интервалах (Ц∞; Ц2) и (Ц2; 0) y' + Ц

функци€ возрастает , на интервалах -2 0 2 x

(0; 2) и (2; +∞) Ц. убывает y

е) Ќайдем интервалы выпуклости и точки перегиба.

ƒл€ этого надо найти вторую производную функции . ¬идно, что уравнение не имеет действительных корней, и это исключает существование у графика точек перегиба. ¬месте с тем по корн€м знаменател€ (Ц2 и 2) можно установить, что при переходе через эти значени€ х знаки мен€ютс€.

Ќа интервалах (Ц∞; Ц2) и (2; +∞) функци€ выпукла вниз, на интервале (Ц2; 2) Ц выпукла вверх.

ж) Ќайдем точки пересечени€ с ос€ми координат.

f(0) = = Ц 1, т.е. точка пересечени€ с осью ординат (0; -1). ”равнение f(х) = 0, (т.е. = 0), решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.

Ќа основании полученных данных построим график заданной функции.

у

 

 

 

-2 2 х

-1

 


11. ¬ычислить приближенно, использу€ дифференциал функции .

–ешение. ƒл€ приближенных вычислений воспользуемс€ формулой:

.

ѕоложим . Ќайдем производную . “огда . ”читыва€, что , возьмем и .

“огда:

ќтвет:



<== предыдуща€ лекци€ | следующа€ лекци€ ==>
“еори€ массового обслуживани€ | ќсновные пон€ти€ и определени€
ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-12-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1363 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћаской почти всегда добьешьс€ больше, чем грубой силой. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

694 - | 635 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.305 с.