.(9)
Инвариантом 
уравнения (9) называют алгебраическое выражение 
, составленное из коэффициентов при старших членах уравнения (9) 
, которое не изменяется при любом преобразовании координат.
С помощью инварианта 
определяют принадлежность кривой к определенному типу: 1) если 
, то уравнение определяет кривую эллиптического типа; 2) если 
, то гиперболического типа; 3) если 
, то параболического типа.
Так как в уравнении (9) 
, то оси симметрии кривой не параллельны осям координат 
. Повернем оси координат так, чтобы они стали параллельны осям симметрии кривой, для этого воспользуемся формулами поворота осей координат (3): 
, 
. Подставим выражения для 
в уравнение (9), имеем
.
Раскроем скобки и приведем подобные члены, в новых координатах 
получаем уравнение
,(10)
где 
,
,
,
, 
.
Выберем угол 
так, чтобы в новой системе координат оси симметрии были параллельны осям координат 
, т.е. положим 
, или
.
Так как 
, поэтому 
. После поворота осей координат на этот угол в уравнении (10) исчезнет произведение переменных 
.
В задании 3 дано уравнение
.
Так как 
, 
, то уравнение определяет кривую гиперболического типа. Приведем его к каноническому виду. Для этого вначале выполним поворот системы координат 
на угол , для которого 
; по формулам тригонометрии
, 
, 
находим
, 
, 
и записываем по формулам поворота осей координат (3)
,
.
Подставим выражения 
и 
в данное уравнение, получим
.
Раскроем скобки, приведем подобные члены, получим
.
Выполнив параллельный перенос системы координат, приведем это уравнение к каноническому уравнению гиперболы. Для этого сгруппируем слагаемые с одноименными переменными
,
выделим полные квадраты относительно 
, 
, или
, или
.
Поместим начало новой системы координат 
в точку 
, воспользуемся формулами параллельного переноса (2)
, 
, или, учитывая координаты нового начала 
,
, 
, окончательно получим
.(11)
Построим все три системы координат 
, 
, , учитывая, что угол поворота системы
,
а точка в системе координат имеет координаты 
. В систему координат поместим кривую (гиперболу), определяемую уравнением (11).
Рис. 6
К заданию 4.
Как известно, пара чисел 
на плоскости определяет точку, а уравнение, связывающее и , – линию на плоскости. Помимо декартовых, на плоскости можно построить большое число других систем координат. Каждая из систем употребляется там, где это удобнее (и декартова – чаще всех бывает удобной), но при исследовании вращательных движений самой эффективной является полярная система координат.
Рис. 7
Полярная система координат определяется заданием некоторой точки 
(полюса), исходящего из этой точки луча (полярной оси) и указанием единицы масштаба. Рассмотрим произвольную точку плоскости 
; обозначим расстояние точки от полюса через 
, угол, на который нужно повернуть луч 
для совмещения его с 
, через φ. Угол φ будем понимать так, как это принято в тригонометрии (т.е. углы, получаемые при вращении полярной оси вокруг полюса против часовой стрелки, положительны; при вращении полярной оси по часовой стрелке – отрицательны). Числа (полярный радиус) и φ (полярный угол) называют полярными координатами точки и записывают 
. Для того чтобы соответствие между точками плоскости и парами чисел 
было взаимно однозначным, обычно считают, что 
и 
(или 
.
Запишем формулы, устанавливающие связь декартовых координат с полярными. Из 
получим
, (12)
а также 
.
Решение задания 4 а).
Построим линию, заданную уравнением
, где 
.
Для построения указанной линии составим таблицу значений 
и (придавая значения, равные 
, 
).
Ввиду четности 
значения для 
одинаковы.
На плоскости построим точки, соответствующие имеющимся в таблице парам чисел и , в выбранной нами полярной системе координат. Соединяя последовательно эти точки, получим линию, называемую кардиоидой (Рис.8).
Рис. 8
Решение задания 4 б).
Дано уравнение кривой
, .
Воспользуемся формулами (12) и запишем уравнение в полярных координатах
, или
,
,
окончательно имеем
. (13)
Составим таблицу соответствующих значений и
| j | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| r | 0,51 | 0,71а | 0,84а | 0,93а | 0,98а | 1а | 0,98а | 0,84а | 0,71а | 0,51а |
Нанесем на плоскость точки, соответствующие найденным парам чисел. Соединив последовательно точки, получим линию, определяемую уравнением (13).
Рис. 9
Решение к заданию 5.
Пусть 
текущая точка искомой линии. Запишем уравнение линии в векторной форме (см. рис. №№):
.
Перейдем к координатной форме:
,
.
Следовательно,
.
Избавимся от иррациональности, возведя обе части уравнения в квадрат,
, или
.
Преобразуем уравнение, как в задании 2 б),
, или
,
окончательно имеем
.
Полученное уравнение задает окружность с центром в точке 
радиуса 
.
Рис. 10
Варианты заданий
1. Путем параллельного переноса системы координат привести уравнение гиперболы к виду 
, указать асимптоты, построить системы координат и данную гиперболу по уравнению .
2. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду с помощью параллельного переноса системы координат. Построить соответствующие системы координат и кривые по их каноническим уравнениям.
3. Привести уравнение кривой второго порядка путем поворота и параллельного переноса системы координат к каноническому виду. Построить соответствующие системы координат и кривую по ее каноническому уравнению.
4. а) Построить линию по ее уравнению в полярных координатах. б) Дано уравнение кривой в декартовых координатах. Следует записать это уравнение в полярной системе координат, а затем построить данную линию по ее полярному уравнению.
5. Решить текстовую задачу.
Вариант № 1
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б) 
5. Составить уравнение линии, каждая точка которой одинаково удалена от начала координат и точки 
.
Вариант № 2
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б) 
5. Написать уравнение линии, по которой движется точка 
, оставаясь вдвое дальше от оси 
, чем от оси 
.
Вариант № 3
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б) 
5. Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки 
и от оси .
Вариант № 4
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б) 
5. Найти уравнение траектории точки 
, которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке 
, чем к оси абсцисс.
Вариант № 5
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) ; б)
5. Найти уравнение траектории точки , которая в каждый момент движения находится вдвое ближе к точке 
, чем к точке 
.
Вариант № 6
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б) 
5. Написать уравнение геометрического места точек, сумма расстояний каждой из которых от точки 
и точки 
равна 
.
Вариант № 7
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б) 
5. Написать уравнение линии, по которой движется точка , равноудаленная от точек 
и 
.
Вариант № 8
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) ; б) 
5. Найти уравнение траектории точки , которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке 
, чем к точке 
.
Вариант № 9
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б) 
5. Найти уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от начала координат и от прямой 
.
Вариант № 10
1.
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б) 
5. Написать уравнение траектории точки , которая при своем движении находится вдвое ближе к точке 
, чем к точке 
.
Вариант № 11
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б) 
5. Определить уравнение траектории точки , которая при своем движении остается вдвое ближе к точке , чем к точке 
.
Вариант № 12
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б) 
5. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от оси 
и от точки 
.
Вариант № 13
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) ; б)
5. Найти уравнение геометрического места точек, разность расстояний каждой из которых от точки 
и точки 
равна 
.
Вариант № 14
1.
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б) 
5. Определить уравнение траектории точки , которая движется так, что ее расстояние от точки остается вдвое меньше расстояния от точки 
.
Вариант № 15
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б) 
5. Определить уравнение траектории точки , которая движется так, что ее расстояние от точки 
остается вдвое меньше расстояния от прямой 
.
Вариант № 16
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б) 
5. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до точки 
к расстоянию до прямой 
равно 
.
Вариант № 17
1. 
2. а) 
, б)
3. 
4. а) 
; б) 
5. Определить уравнение траектории точки , которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке , чем к точке .
Вариант № 18
1. 
2. а) , б)
3. 
4. а) 
; б) 
5. Найти уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от начала координат и от прямой .
Вариант № 19
1. 
2. а) , б)
3. 
4. а) 
; б) 
5. Написать уравнение линии, по которой движется точка , оставаясь вдвое дальше от оси , чем от оси .
Вариант № 20
1.
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б)
5. Написать уравнение линии, по которой движется точка , равноудаленная от точек и .
Вариант № 21
1. 
2. а) 
, б)
3. 
4. а) 
; б) 
5. Найти уравнение траектории точки , которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке , чем к оси абсцисс.
Вариант № 22
1. 
2. а) , б)
3. 
4. а) 
; б) 
5. Найти уравнение траектории точки , которая в каждый момент движения находится вдвое ближе к точке , чем к точке .
Вариант № 23
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б) 
5. Найти уравнение траектории точки , которая в каждый момент движения находится вдвое ближе к точке , чем к точке .
Вариант № 24
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б)
5. Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки и от оси .
Вариант № 25
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б)
5. Написать уравнение геометрического места точек, сумма расстояний каждой из которых от точки и точки равна .
Вариант № 26
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б) 
5. Найти уравнение геометрического места точек, разность расстояний каждой из которых от точки и точки равна .
Вариант № 27
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) ; б)
5. Определить уравнение траектории точки , которая движется так, что ее расстояние от точки остается вдвое меньше расстояния от прямой 
.
Вариант № 28
1. 
2. а) , б) 
3. 
4. а) 
; б)
5. Определить уравнение траектории точки , которая движется так, что ее расстояние от точки остается вдвое меньше расстояния от точки .
Вариант № 29
1. 
2. а) , б)
3. 
4. а) ; б) 
5. Написать уравнение траектории точки , которая при своем движении находится вдвое ближе к точке , чем к точке .
Вариант № 30
1. 
2. а) 
, б) 
3. 
4. а) 
; б) 
5. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от оси и от точки 
.
