Пусть уравнение кривой второго порядка имеет вид

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кривые второго порядка

Индивидуальные задания

Пермь 2007
В данных методических указаниях содержится 30 вариантов, каждый из которых состоит из 5 заданий по теме «Кривые 2 порядка и их построение». Выполнение этих заданий поможет студентам научиться:

1) приводить уравнения линий второго порядка к простейшему (каноническому) виду путем преобразования систем координат;

2) строить данную линию по ее каноническому уравнению;

3) переводить уравнение линии, заданное в декартовых прямоугольных координатах, в полярные координаты;

4) строить эту линию по ее полярному уравнению.

После ознакомления с данным пособием можно приступить к выполнению расчетно-графической работы (вариант указывается преподавателем). Предварительно необходимо самостоятельно изучить указанные вопросы и ответить на контрольные теоретические вопросы, используя литературу:

Рекомендованная литература

1. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. – СПб; М.: Лань, 2004, гл.4,5,6.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2003, гл.5,6.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Дрофа, 2003.

Контрольные вопросы

1. Вывести уравнение окружности.

2. Вывести каноническое уравнение эллипса.

3. Исследовать форму эллипса по его уравнению. Эксцентриситет эллипса, эксцентриситет окружности.

4. Вывести каноническое уравнение гиперболы. Сопряженная гипербола.

5. Асимптоты гиперболы. Исследование формы гиперболы по ее уравнению.

6. Вывести каноническое уравнение параболы.

7. Исследование формы параболы по ее уравнению.

8. Преобразование координат на плоскости: параллельный перенос и поворот осей координат.

9. Две канонические формы равносторонней гиперболы. График дробно-линейной функции.

10. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы, оси симметрии которых параллельны осям координат.

11. Исследование общего уравнения второй степени

а) Преобразование общего уравнения линии второго порядка к новому началу координат.

б) Центральные кривые. Необходимое и достаточное условие расположения центра кривой в начале координат.

в) Упрощение уравнения кривой с помощью поворота осей координат.

г) Инвариант уравнения второго порядка. Признаки принадлежности кривых к эллиптическому, параболическому и гиперболическому типам.

д) План приведения к каноническому виду центральной кривой.

е) План приведения к каноническому виду нецентральной кривой.

Краткая теория, приведенная в задании, носит справочный характер и должна лишь помочь студенту в самостоятельной работе над литературой.

В общем случае кривую второго порядка определяет уравнение

.(1)

Коэффициенты при старших членах здесь одновременно не равны нулю. Так как уравнение отражает не только форму, но и положение линии на плоскости относительно системы координат, то в общем виде оно сложнее, чем известные нам канонические уравнения эллипса

гиперболы

или

и параболы

или .

Простота канонических уравнений объясняется тем, что при выводе их используется специально выбранная система координат, а именно: в случае эллипса и гиперболы начало координат выбирается в центре кривой, а координатные оси совпадают с осями симметрии; в случае параболы начало координат выбирается в вершине кривой, а одна из осей совпадает с осью симметрии.

Изменяя положение системы координат на плоскости, можно добиться такого упрощения уравнения (1), что оно станет каноническим. Т.о., наша задача состоит в том, чтобы найти новую систему координат, в которой уравнение (1) примет канонический вид.

При нахождении этой системы координат будем использовать два вида преобразований координат.

1. Параллельный перенос осей координат.

Даны две системы координат с разными началами и и одинаковыми направлениями осей (рис.1). Обозначим через и координаты произвольной точки соответственно в старой и новой системах координат. Если координаты нового начала в системе , то справедливы формулы преобразования параллельного переноса осей координат

, , или (2)

, .

Рис. 1 Рис. 2

2. Поворот осей координат.

Даны две системы координат с одинаковым началом и разными направлениями осей. Пусть (рис.2) – угол между и (угол поворота системы координат). Справедливы формулы преобразования поворота осей координат

(3)

где координаты произвольной точки в , координаты этой точки в новой системе координат .

Образец задания

1. Дано уравнение гиперболы в виде . Путем параллельного переноса системы координат привести ее уравнение к виду , указать асимптоты гиперболы, построить соответствующие системы координат и данную гиперболу по уравнению .

2. Даны уравнения кривых второго порядка:

а) ,

б) .

Требуется по данному уравнению определить, какого типа кривую (эллиптического, гиперболического, параболического) оно представляет, затем следует привести это уравнение к каноническому виду с помощью параллельного переноса системы координат, построить соответствующие системы координат и кривую по ее каноническому уравнению.

3. Дано уравнение кривой второго порядка

Требуется привести данное уравнение путем поворота и параллельного переноса системы координат к каноническому виду. Построить соответствующие системы координат и данную кривую по ее каноническому уравнению.

4. а) Дано уравнение кривой в полярных координатах

Требуется построить эту кривую по ее полярному уравнению.

б) Дано уравнение кривой в прямоугольных декартовых координатах

Записать это уравнение в полярных координатах, а затем построить данную линию по ее полярному уравнению.

5. Составить уравнение линии, каждая точка которой в два раза ближе к точке , чем к началу координат.

Решение задания 1.

Из школьного курса алгебры известно, что график функции есть гипербола, асимптоты которой параллельны и (см. Привалов, гл.5, §5, п.2). С другой стороны, график функции гипербола, асимптоты которой есть и . Таким образом, взяв за координатные оси асимптоты функции , мы приведем эту функцию к более простому виду (при этом пользуемся формулами преобразования параллельного переноса (2)). Итак, в системе задана линия уравнением

.(4)

Выполним параллельный перенос системы по формулам (2)

, ,(2)

где координаты нового начала в системе ; координаты произвольной точки в системе ; координаты той же точки в системе .

Воспользовавшись формулами (2), запишем уравнение (4) в виде

Умножим обе части этого уравнения на выражение и раскроем скобки, получим

Сгруппируем члены, содержащие ,

.(5)

Выберем точку так, чтобы члены, содержащие , обратились в нуль, т.е. положим , откуда координаты нового начала. Подставим эти значения в уравнение (5), имеем , или

. (6)

Уравнение (6) – уравнение равнобочной гиперболы, асимптотами которой являются новые оси координат.

Изобразим обе системы координат и построим данную линию по ее уравнению (6) в системе координат (рис.3)

Рис. 3

Решение задания 2 (см. Привалов, гл.5, §6, п.3)

Пусть уравнение кривой второго порядка имеет вид

.(7)

Такой вид уравнения определяет кривую, оси симметрии которой параллельны осям координат (или, в случае нецентральной кривой, ось симметрии параллельна одной из осей). Выбрав в качестве новых осей координат оси симметрии, или осуществив параллельный перенос системы координат, уравнение (7) может быть приведено к каноническому виду.

Известно также, что 1) если , то уравнение (7) определяет кривую эллиптического типа; 2) если , то гиперболического; 3) если параболического.

Первый способ решения задания 2 а).

Линия второго порядка задана уравнением

В этом уравнении . Так как , то данная линия – параболического типа. Путем параллельного переноса системы координат приведем уравнение к виду . Подставим вместо их выражения через по формулам (2): , , получим

, или

.(8)

Подберем так, чтобы слагаемое с и свободный член обратились в нуль, т.е. полагая , , найдем , координаты нового начала . Найденные значения подставим в уравнение (8), получим .

Построим системы координат (данную) и . Уравнение в системе координат определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии (рис.4).

Рис. 4

Второй способ решения задания 2 а).

Возьмем то же уравнение

и разрешим его относительно : .

Выделим полный квадрат относительно

, или .

Таким образом, имеем уравнение параболы с вершиной в точке, координаты которой . Поместим начало новой системы координат в вершину параболы, в точку , и выполним параллельный перенос осей координат, используя формулы