Тождества и законы алгебры логики

Основные тождества:

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- .

К основным законам алгебры логики, действующим при сложении и умножении переменных относятся:

- переместительный закон - или ;

- сочетательный закон - или ;

- распределительный закон или ;

- закон поглощения - или ;

- закон склеивания - или ;

- закон отрицания (закон инверсии, теорема Моргана) - или .

Теорему Моргана для сложных логических выражений можно сформулировать следующим образом:

- инверсия любого сложного выражения, в котором аргументы (либо их инверсии) связаны операциями дизъюнкция и конъюнкция может быть представлена тем же выражением с изменением всех знаков конъюнкции на знаки дизъюнкции, знаков дизъюнкции на знаки конъюнкции и инверсией всех аргументов.

Элементарные логические функции характеризуются дополнительно пятью свойствами.

1. Свойство сохранения нуля. Функция обладает этим свойством, если на нулевом наборе аргументов значение функции равно нулю.

.

Свойством сохранения нуля обладают функции: f₀ , f₁ , f₂ , f₃ , f₄ , f₅ , f₆ , f₇ .

2. Свойство сохранения единицы. Функция обладает этим свойством, если на единичном наборе аргументов значение функции равно единице.

.

Свойством сохранения единицы обладают функции: f₁ , f₃ , f₅ , f₇ , f₉ , f₁₁ , f₁₃ , f₁₅.

3. Свойство самодвойственности. Функция обладает этим свойством, если на инверсных наборах аргументов значения функции инверсно.

.

Инверсные наборы аргументов: X₁ =0, X₂ =0 и X₁ =1, X₂ =1 или X₁ =0, X₂ =1 и X₁ =1, X₂ =0.

Свойством самодвойственности обладают функции: f₃ , f₅ , f₁₀ , f_12.

4. Свойство монотонности. Функция обладает этим свойством, если на неубывающих наборах аргументов, значения функции не убывают.

Необходимо, чтобы при переходе к любому следующему набору, значения функции не убывали.

Свойством монотонности обладают функции: f₀ , f₁ , f₃ , f₅ , f₇ , f₁₅ .

5. Свойство линейности. Функция обладает этим свойством, если ее можно представить в виде:

Чтобы проверить свойство линейности логической функции, необходимо, используя выражение на наборе аргументов X₁ =0, X₂ =0 определить а₀ , на наборе аргументов X₁ =0, X₂ =1 определить а₂ , на наборе аргументов X₁ =1, X₂ =0 определить а₁ , а затем полученные значения а₀ , а₁ , а₂ подставить в выражение на наборе аргументов X₁ =1, X₂ =1, если в результате получается верное равенство, то функция линейная. Проверим свойство линейности функции f(x₁ ,x₂ )= Х₁ Х₂.

Результаты вычислений представлены в таблице 2.1.4

Таблица 2.1.4. Проверка свойства линейности.

Х1	Х2	Х1 Х2
		0 =		а0 =0
		1 =		а2 =1
		1 =		а1 =1
		0 =
		0 =

Функция линейная.

Свойством линейности обладают функции: f₀ , f₃ , f₅ , f₆ , f₉ , f₁₀ , f₁₂ , f₁₅.