Для вычисления на компьютере сумм бесконечного ряда часто используют рекуррентные формулы, с помощью которых друг за другом вычисляют значения членов бесконечной последовательности. Рекуррентные формулы существенно сокращают время работы программы, упрощают процесс написания программы и ее отладки. Как правило, рекуррентные формулы программист должен составить сам. В этом и состоит искусство программирования вычислительных процессов. Рекуррентная формула может и отсутствовать. В этом случае каждый член ряда придется рассчитывать “в лоб” по полной формуле.
Есть определенные признаки, которые помогают выявить наличие рекуррентных формул. К таким признакам относятся выражения 
и подобные этим выражения, присутствующие в формуле общего члена бесконечного ряда. Часто рекуррентная формула для бесконечного ряда находится путем деления соседних членов ряда друг на друга.
Задача 8. Вычислить 
. Вычисление ряда окончить при выполнении условия 
.
Для решения этой задачи необходимо использовать рекуррентную формулу. А найти ее можно следующим способом. Сделаем преобразование исходного ряда в следующий вид: 
. Тогда условие окончания вычислений будет выглядеть так 
. Это условие либо выполнится для некоторого i = n, и вычислительный процесс будет завершен, или не выполнится. Во втором случае используют термин “зависание программы”. Оператор ЭВМ искусственно останавливает программу и выясняет причину зависания: неправильные исходные данные, например, комбинация X и ε, или допущена ошибка в тексте программы, а может быть, получена неправильная рекуррентная формула, или другая причина имеет место.
Нас в этом примере интересует нормальный режим работы программы, а это означает, что существует такое n, для которого справедливы следующие формулы:
(5)
Эти формулы и будут исходными для нашей задачи. На этом первый этап подготовки бесконечного ряда к нахождению его суммы Y с погрешностью ε на компьютере завершается. Если рекуррентную формулу найти невозможно или нет в этом необходимости, то можно ограничится только приведенными выше преобразованиями.
Но в нашем случае нужен второй этап преобразования, а именно, нахождение рекуррентной формулы. Для этого поделим два соседних члена 
.
(6)
Из (6) и находится рекуррентная формула:
(7)
Таблица имён
| Математ. величина | Обозначение в программе | Содержательный смысл | Тип переменной |
| i | i | Номер итерации | вещественный |
| X | X | Параметр бесконечного ряда | вещественный |
| Y | Y | Искомая сумма | вещественный |
| A | Член последовательности A с номером i | вещественный |
| ε | E | Требуемая точность расчетов | вещественный |
Блок-схема алгоритма решения задачи представлена на рис. 8.
Код программы – процедура pr8.
 |
Рис. 8. Блок-схема алгоритма решения задачи 8
Sub pr8()
Dim Y As Double, X As Double, E As Double, A As Double
Dim i As Double
X = InputBox(“X=”)
E = InputBox(“E=”)
i =1: A= -X*X/2: Y = 0
Do While Abs(A) >= E
Y = Y + A
i=i+ 1
A = -X*X / 2 / i / (2*i - 1)*A
Loop
MsgBox(“Y=” & Y)
End Sub
