Арифметический цикл с рекуррентной зависимостью

Решение задач с циклическими вычислительными процессами

Циклы с параметром. Оператор FOR

Вычисление конечных сумм и произведений

Задача 1. Вычислить сумму . Значения величин A, B, m и n ввести с клавиатуры.

Алгоритм решения этой задачи очевиден, и наглядно описывается с приведенной на рис. 4.1 блок-схемой.

Код программы:

Sub pr1()

Dim A As Double, B As Double, S As Double

Dim n As Integer, m As Integer, i As Integer

A = InputBox(“A=“)

B = InputBox(“B=“)

m = InputBox(“m=“)

n = InputBox(“n=“)

For i = m To n

S = S + i ^ 2 / (n + i)

Next i

S = A + B * S

MsgBox(“S= “ & S)

EndSub

 

Рис. 4.1. Блок-схема алгоритма решения задачи 1

Задача 2. Найти сумму S всех целых чисел, кратных 3 на отрезке [M, N].

Эта задача похожа на предыдущую. Отличие состоит в том, что, просматривая все числа из интервала [M, N], мы должны проверить, делится ли число i без остатка на 3 прежде, чем его суммировать к S. Для проверки деления используется операция mod – деление с остатком целых чисел, в результате выполнения которой получаем остаток от деления в виде целого числа. Таким образом, условие деления числа i на 3 без остатка будет иметь вид: i mod 3 = 0.

Алгоритм решения этой задачи отличен от предыдущего наличием условия в теле арифметического цикла, и описан с помощью приведенной ниже блок-схемы (рис. 4.2).

 

Рис. 4.2. Блок-схема алгоритма решения задачи 2

Код программы:

Sub pr2()

Dim M As Double, N As Double, S As Double

Dim i As Integer

M = InputBox(“M=“)

N = InputBox(“N=“)

For i = M To N

If i Mod 3 = 0 Then S = S + i

Next i

MsgBox(“S= “ & S)

End Sub

Задача 3. Для заданного значения N найти .

Для вычисления Y, необходимо сделать следующие преобразование исходной формулы:

(1)

Блок-схема алгоритма представлена на рис. 3.

Рис. 3. Блок-схема алгоритма решения задачи 3

Код программы:

Sub pr3()

Dim Y As Double, i As Integer, N As Integer

N = InputBox(“Введите N“)

Y = 1

For i = 0 To (N – 1) \ 2

If N Mod 2 = 1 Then

Y = Y * (2 * i + 1)

Else

Y = Y * 2 * (i + 1)

End If

Next i

If N Mod 2 = 1 Then Y = - Y

MsgBox(“Y= “ & Y)

End Sub

Вложенный арифметический цикл

Под вложенным арифметическим циклом понимают такую алгоритмическую структуру, при которой в тело одного цикла с параметром включен другой цикл со своим параметром. Другими словами составная инструкция вида

FOR I = …

FOR J = …

FOR K = …

является признаком вложенного арифметического цикла.

Задача 4. Вычислить .

Блок-схема алгоритма решения задачи представлена на рис. 4.

Код программы:

Sub pr4()

Dim Y As Double, Pr As Double, k As Integer, p As Integer

k = InputBox(“Введите k=“)

p = InputBox(“Введите p=“)

For k = 1 To 10

Pr = 1

For p = 1 To 4

Pr = Pr * (k – p) ^ 2

Next p

Y = Y + k ^ 3 * Pr

Next k

MsgBox(“Y= “ &Y)

End Sub

Рис. 4. Блок-схема алгоритма решения задачи 4

Итерационные циклы

Итерационные циклы чаще всего используются для вычисления бесконечных сумм, бесконечных произведений и пределов функций и рядов.

Задача 5. Вычислить . Вычисления остановить при выполнении условия .

Для решения этой задачи удобно использовать оператор цикла с предусловием Do While.

Блок-схема алгоритма решения задачи представлена на рис. 4.

Код программы – процедура pr5.

Рис. 5 Блок-схема алгоритма решения задачи 5

Sub pr5()

Dim Y As Double, E As Double, i As Integer

E = InputBox(“Введите погрешность вычислений”)

i = 1: Y = 0

Do While i/2^i >= E

Y = Y + i /2^2

i = i + 1

Loop

MsgBox(“Y=” & Y)

End Sub

Рекуррентные формулы

Арифметический цикл с рекуррентной зависимостью

Многие циклические вычислительные процессы используют рекуррентные зависимости при решении различных математических задач. В общем виде формулу для рекуррентных вычислений можно представить так:

(2)

В этой рекуррентной формуле для вычисления i -го члена последовательности , где , используются k предыдущих членов последовательности . Для вычислений по формуле (2) нужно задать k первых членов последовательности - .

В ряде случаев рекуррентную формулу легко вывести. Например, для суммы ряда, описанной формулой S = , рекуррентная формула выводится из отношения текущего члена ряда к предыдущему.

(1)

Из (1) и находится рекуррентная формула:

(2)

Использование рекуррентных формул, как правило, сокращает текст программы и время выполнения на компьютере. Однако, в большинстве случаев, рекуррентную формулу нужно написать программисту, что в ряде случаев вызывает определенные трудности. Один из таких случаев рассмотрен в решении задачи 6.

Задача 6. Вычислить значение .

Знаменатель формулы для вычисления tgX представляет собой цепную дробь. Для вычисления такого знаменателя в цикле удобно использовать рекуррентную зависимость с памятью в один член последовательности . Для вывода рекуррентной формулы следует использовать табл. 1.

Таблица 1

Номер i	Член последовательности	Величина

Из табл. 1 легко заметить, что рекуррентная формула принимает вид:

(3)

Блок-схема алгоритма решения задачи представлена на рис. 6.

Код программы представлен процедурой pr6.

Код программы:

Sub pr6()

Dim X As Double, A As Double; i As Integer

X=InputBox(“Введите X”)

A = 1

For i = 1 TO 5

A =11 - 2*i- X*X/A

Next i

MsgBox(“tg X = ” & Format(A, “fixed”))

End Sub

Рис. 6 Блок-схема алгоритма решения задачи 6

Задача 7. Пользуясь рекуррентной формулой, для заданного N вычислить , если известны , а вычисляется по формуле

(4)

Таблица имён

Математ.величина	Обозначениев программе	Содержательный смысл	Типпеременной
i	i	Номер текущего члена последовательности	integer
N	N	Номер последнего члена последовательности	integer
	Y3	Член последовательности с номером i-3	double
	Y2	Член последовательности с номером i-2	double
	Y1	Член последовательности с номером i-1	double
	Y	Член последовательности с номером i	double
	S	Искомая сумма	double

Первым шагом в работе алгоритма является ввод данных Y₀, Y₁, Y₂, N. При вводе трех первых значений последовательности нужно использовать рабочие ячейки Y3, Y2 и Y1, соответственно. На втором шаге требуется проанализировать значение N. Если N < 3, то рекуррентная формула для подсчета S суммы первых N членов не потребуется. Для определения S при условии N < 3, в алгоритме предусмотрен переключатель (оператор Select Case), имеющий три ветви: N = 0, N = 1, в противном случае (куда попадает и случай N = 2). Для каждой ветви подсчитывается соответствующая сумма S. Третий шаг выполняется только в том случае, если N > 2. На этом шаге для I от 3 до N по рекуррентной формуле вычисляются Y_I и подсчитывается их сумма S. Найденное значение S на последнем четвертом шаге выводится на экран.

Блок-схема алгоритма решения задачи представлена на рис. 7.

Код программы представлен процедурой pr7.

Sub pr7()

Dim Y3 As Double, Y2 As Double, Y1 As Double, Y As Double

Dim S As Double

Dim N As Integer, i As Integer

Y3=InputBox(“Введите Y0”)

Y2=InputBox(“Введите Y1”)

Y1=InputBox(“Введите Y2”)

N=InputBox(“Введите N”)

Select Case N

Case 0

S=Y3

Case 1

S=Y3+Y2

Case Else

S=Y3+Y2+Y1

End Select

If N>2 Then

For i=3 To N

Y=Log(Abs(Y1*Y1+Y3+1)

S=S+Y

Y3=Y2

Y2=Y1

Y1=Y

Next i

End If

MsgBox(“S = ” & Format(S, “fixed”))

End Sub

Рис. 7. Блок-схема алгоритма решения задачи 7