Совокупностей
Нулевая гипотеза в этом случае заключается в том, что все m генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, имеют равные дисперсии, т.е. σ21 = σ22 = … = σ2m = σ2.
Критерий Хартлея. Применяется при одинаковых объёмах выборки n 1 = n 2 = … n m = n. Выдвигается нулевая гипотеза о равенстве (однородности) ряда дисперсий σ21 = σ22 = … = σ2m = σ2. Критерий предусматривает вычисление статистики
F max = 
≤ F max α. (3.11)
При выполнении неравенства нулевую гипотезу не отвергают. В противном случае – отвергают и принимают альтернативную гипотезу.
Пример 3.5. Испытано на растяжение 5 серий по 20 образцов. Значения выборочных дисперсий составляют: s 21 = 154; s 22 = 208; s 23 = 186; s 24 = 197; s 24 = 153.
Требуется проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий предела прочности материала при альтернативной гипотезе σ21 ≠ σ22.
По формуле (3.11)
F max = 
= 1,36
По таблице 3.4 для α = 0,05; m = 5 и k = 20 – 1 = 19
F max 0.05 = 3,71
Условие (3.11) выполняется
Заключение: дисперсии равны друг другу.
Таблица 3.4 – Критические значения критерия Хартлея F max α
| k = n –1 | m | ||||||||||
| 39,0 | 87,5 | 40,3 | |||||||||
| 15,4 47,5 | 27,8 | 39,2 | 50,7 | 62,0 | 72,9 | 83,5 | 93,9 | ||||
| 9,60 23,2 | 15,5 37,0 | 20,6 | 25,2 | 29,5 | 33,6 | 37,5 | 41,1 | 44,6 | 48,0 | 51,4 | |
| 7,15 14,9 | 10,8 | 13,7 | 16,3 | 18,7 | 20,8 | 22,9 | 24,7 | 26,5 | 28,2 | 29,9 | |
| 5,82 11,1 | 8,38 15,5 | 10,4 19,1 | 21,1 | 13,7 | 15,0 | 16,3 | 17,5 | 18,6 | 19,7 | 20,7 | |
| 4,99 8,89 | 6,94 12,1 | 8,44 14,5 | 9,70 16,5 | 10,8 18,4 | 11,8 | 12,7 | 13,5 | 14,3 | 15,1 | 15,8 | |
| 4,43 7,50 | 6,00 9,9 | 7,18 11,7 | 8,12 13,2 | 9,03 14,5 | 9,78 15,8 | 10,5 16,9 | 11,1 17,9 | 11,7 18,9 | 12,2 19,8 | 12,7 | |
| 4,03 6,54 | 5,34 8,5 | 6,31 9,9 | 7,11 11,1 | 7,80 12,1 | 8,41 3,1 | 8,95 13,9 | 9,45 14,7 | 9,91 15,3 | 10,3 16,0 | 10,7 16,6 | |
| 3,72 5,85 | 4,85 7,4 | 5,67 8,6 | 6,34 9,6 | 6,92 10,4 | 7,42 11,1 | 7,87 11,8 | 8,28 12,4 | 8,66 12,9 | 9,01 13,4 | 9,34 13,9 | |
| 3,28 4,91 | 4,16 6,1 | 4,79 6,9 | 5,30 7,6 | 5,72 8,2 | 6,09 8,7 | 6,42 9,1 | 6,72 9,5 | 7,00 9,9 | 7,25 10,2 | 7,48 10,6 | |
| 2,86 4,07 | 3,54 4,9 | 4,01 5,5 | 4,37 6,0 | 4,68 6,4 | 4,95 6,7 | 5,19 7,1 | 5,40 7,3 | 5,59 7,5 | 5,77 7,8 | 5,93 8,0 | |
| 2,46 3,32 | 2,95 3,8 | 3,29 4,3 | 3,54 4,6 | 3,76 4,9 | 3,94 5,1 | 4,10 5,3 | 4,24 5,5 | 4,37 5,6 | 4,49 5,8 | 4,59 5,9 | |
| 2,07 2,63 | 2,40 3,0 | 2,61 3,3 | 2,78 3,4 | 2,91 3,6 | 3,02 3,7 | 3,12 3,8 | 3,21 3,9 | 3,29 4,0 | 3,36 4,1 | 3,39 4,2 | |
| 1,67 1,96 | 1,85 2,2 | 1,96 2,3 | 2,04 2,4 | 2,11 2,4 | 2,17 2,5 | 2,22 2,5 | 2,26 2,6 | 2,30 2,6 | 2,33 2,7 | 2,36 2,7 | |
| Примечание. Верхняя строка в каждой графе для α = 0,05; нижняя – для α = 0,01 |
Критерий Кочрена. Используется также при равных объёмах отдельных выборок и является предпочтительным по сравнению с критерием Хартлея в случаях, когда одна из выборочных дисперсий значительно больше остальных, а также при m > 12.
Находят статистику
G max = 
≤ G α. (3.12)
При выполнении неравенства нулевую гипотезу не отвергают. В противном случае – отвергают и принимают альтернативную гипотезу.
Пример 3.6. Проверить нулевую гипотезу Н 0: σ21 = σ22 = … = σ2 по условию примера 3.5
По формуле (3.12)
G max = 
= 0,232
По таблице 3.5 для α = 0,05; m = 5 и k = 20 – 1 = 19
G α = G 0,05 = 0,356
Условие (3.12) выполняется
Заключение: гипотеза принимается.
Таблица 3.5 – Критические значения критерия Кочрена G α
| m | k = n – 1 | |||||||||||||
| ∞ | ||||||||||||||
| 0,9958 0,9990 | 0,9750 0,9950 | 0,9392 0,9794 | 0,9057 0,9586 | 0,8772 0,9373 | 0,8534 0,9172 | 0,5332 0,8988 | 0,8159 0,8823 | 0,8010 0,8674 | 0,7880 0,8539 | 0,7341 0,7949 | 0,6602 0,7067 | 0,5813 0,6062 | 0,5000 0,5000 | |
| 0,9669 0,9933 | 0,8709 0,9423 | 0,7977 0,8831 | 0,7457 0,8335 | 0,7071 0,7933 | 0,6771 0,7606 | 0,6530 0,7335 | 0,6333 0,7107 | 0,6167 0,6912 | 0,6025 0,6743 | 0,5466 0,6059 | 0,4748 0,5153 | 0,4031 0,4230 | 0,3333 0,3333 | |
| 0,9065 0,9676 | 0,7679 0,8643 | 0,6841 0,7814 | 0,6287 0,7212 | 0,5895 0,6761 | 0,5598 0,6410 | 0,5365 0,6129 | 0,5175 0,5897 | 0,5017 0,5702 | 0,4884 0,5536 | 0,4366 0,4884 | 0,3720 0,4057 | 0,3093 0,3251 | 0,2500 0,2500 | |
| 0,8412 0,9279 | 0,6838 0,7885 | 0,5981 0,6957 | 0,5441 0,6329 | 0,5065 0,5875 | 0,4783 0,5531 | 0,4564 0,5259 | 0,4387 0,5037 | 0,4241 0,4854 | 0,4118 0,4697 | 0,3645 0,4094 | 0,3066 0,3351 | 0,2513 0,2644 | 0,2000 0,2000 | |
| 0,7808 0,8828 | 0,6161 0,7218 | 0,5321 0,6258 | 0,4803 0,5635 | 0,4447 0,5195 | 0,4184 0,4866 | 0,3980 0,4608 | 0,3817 0,4401 | 0,3682 0,4229 | 0,3568 0,4084 | 0,3135 0,3529 | 0,2612 0,2858 | 0,2119 0,2229 | 0,1667 0,1667 | |
| 0,7271 0,8376 | 0,5612 0,6644 | 0,4800 0,5685 | 0,4307 0,5080 | 0,3974 0,4695 | 0,3726 0,4347 | 0,3535 0,4105 | 0,3384 0,3911 | 0,3259 0,3751 | 0,3154 0,3616 | 0,2756 0,3105 | 0,2278 0,2494 | 0,1833 0,1929 | 0,1429 0,1429 | |
| 0,6798 0,7945 | 0,5157 0,6152 | 0,4377 0,5209 | 0,3910 0,4627 | 0,3595 0,4226 | 0,3362 0,3932 | 0,3185 0,3704 | 0,3043 0,3522 | 0,2926 0,3373 | 0,2829 0,3248 | 0,2462 0,2779 | 0,2022 0,2214 | 0,1616 0,1700 | 0,1250 0,1250 | |
| 0,6385 0,7544 | 0,4775 0,5727 | 0,4027 0,4810 | 0,3584 0,4251 | 0,3286 0,3870 | 0,3067 0,3592 | 0,2901 0,3378 | 0,2768 0,3207 | 0,2659 0,3067 | 0,2568 0,2950 | 0,2226 0,2514 | 0,1820 0,1992 | 0,1446 0,1521 | 0,1111 0,1111 | |
| 0,6020 0,7175 | 0,4450 0,5358 | 0,3733 0,4469 | 0,3311 0,3934 | 0,3029 0,3572 | 0,2823 0,3308 | 0,2666 0,3106 | 0,2541 0,2945 | 0,2439 0,2813 | 0,2353 0,2704 | 0,2032 0,2297 | 0,1655 0,1811 | 0,1308 0,1376 | 0,1000 0,1000 | |
| 0,5410 0,6528 | 0,3924 0,4751 | 0,3264 0,3919 | 0,2880 0,3328 | 0,2624 0,3099 | 0,2439 0,2861 | 0,2299 0,2680 | 0,2187 0,2535 | 0,2098 0,2419 | 0,2020 0,2320 | 0,1737 0,1961 | 0,1403 0,1535 | 0,1100 0,1157 | 0,0833 0,0833 | |
| 0,4709 0,5747 | 0,3346 0,4069 | 0,2758 0,3317 | 0,2419 0,2882 | 0,2195 0,2593 | 0,2034 0,2386 | 0,1911 0,2228 | 0,1815 0,2104 | 0,1736 0,2002 | 0,1671 0,1918 | 0,1429 0,1612 | 0,1144 0,1251 | 0,0889 0,0934 | 0,0667 0,0667 | |
| 0,3894 0,4799 | 0,2705 0,3297 | 0,2205 0,2654 | 0,1921 0,2288 | 0,1735 0,2048 | 0,1602 0,1877 | 0,1501 0,1748 | 0,1422 0,1646 | 0,1357 0,1567 | 0,1303 0,1501 | 0,1108 0,1248 | 0,0879 0,0960 | 0,0675 0,0709 | 0,0500 0,0500 | |
| 0,3434 0,4247 | 0,2354 0,2871 | 0,1907 0,2295 | 0,1656 0,1970 | 0,1493 0,1759 | 0,1374 0,1608 | 0,1286 0,1495 | 0,1216 0,1406 | 0,1160 0,1338 | 0,1113 0,1283 | 0,0942 0,1060 | 0,0743 0,0810 | 0,0567 0,0595 | 0,0417 0,0417 | |
| 0,2929 0,3632 | 0,1980 0,2412 | 0,1593 0,1913 | 0,1377 0,1635 | 0,1237 0,1454 | 0,1137 0,1327 | 0,1061 0,1232 | 0,1002 0,1157 | 0,0958 0,1100 | 0,0921 0,1054 | 0,0771 0,0867 | 0,0604 0,0658 | 0,0457 0,0480 | 0,0333 0,0333 | |
| 0,2370 0,2940 | 0,1576 0,1915 | 0,1259 0,1508 | 0,1082 0,1281 | 0,0968 0,1135 | 0,0887 0,1033 | 0,0827 0,0957 | 0,0780 0,0898 | 0,0745 0,0853 | 0,0713 0,0816 | 0,0595 0,0668 | 0,0462 0,0503 | 0,0347 0,0363 | 0,0250 0,0250 | |
| 0,1737 0,2151 | 0,1131 0,1371 | 0,0895 0,1069 | 0,0765 0,0902 | 0,0682 0,0796 | 0,0623 0,0722 | 0,0583 0,0668 | 0,0552 0,0625 | 0,0520 0,0594 | 0,0497 0,0567 | 0,0411 0,0461 | 0,0316 0,0344 | 0,0234 0,0245 | 0,0167 0,0167 | |
| 0,0998 0,1225 | 0,0632 0,0759 | 0,0495 0,0585 | 0,0419 0,0489 | 0,0371 0,0429 | 0,0337 0,0387 | 0,0312 0,0357 | 0,0292 0,0334 | 0,0279 0,0316 | 0,0266 0,0302 | 0,0218 0,0242 | 0,0165 0,0178 | 0,0120 0,0125 | 0,0083 0,0083 | |
| Примечание. Верхняя строка в каждой графе для α = 0,05; нижняя – для α = 0,01 |
Критерий Бартлета. При неодинаковом числе образцов в отдельных партиях n i ≥ 5 однородность дисперсий может быть проверена с помощью критерия Бартлета.
χ2 = 
, (3.13)
где
с = 1 + 
, (3.14)
s 2 = 
, (3.15)
Если выполняется условие
χ2 ≤ χ2α (3.16)
для выбранного уровня значимости α и числа степеней свободы k = m – 1, то нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий совокупностей, из которых взяты выборки, не отвергают. В противном случае – отвергают и принимают альтернативную гипотезу.
В случае подтверждения нулевой гипотезы, на основании выражения (3.15) производят новую оценку генеральной дисперсии σ2.
