Лекция 13
Обобщенная проблема и процедура Релея Ритца
Обобщенная симметричная задача собственных значений
В рассмотренных выше примерах механическая система специально подбиралась таким образом, что матрица масс системы была диагональной. В этом случае (см. лекцию 10) уравнения колебаний (уравнения Лагранжа 2-го рода) приводятся к задаче
(15.1)
с симметричной матрицей 
.
Однако рассмотрим следующий пример (рис. 15.1), отличающийся от примера из 10-й лекции лишь тем, что:
1) второй груз тяжелее первого в два раза;
2) пружины не считаются невесомыми, но имеют массу 
.
В этом случае вновь потенциальная энергия системы складывается из потенциальных энергий деформации пружин:
. (15.2)
Что касается кинетической энергии системы, то сначала получим выражение для кинетической энергии отдельной пружины (рис. 15.2). Продольные перемещения в продольном направлении изменяются по линейному закону:
(15.3)
Тогда, обозначив массу пружины, получим для кинетической энергии пружины следующее выражение:
. (15.4)
Теперь, имея формулу (15.4), мы можем без труда записать выражение для кинетической энергии всей системы (рис. 15.1), которая складывается из кинетических энергий двух грузов и трех пружин:
. (15.5)
Вновь, как в лекции 10, воспользуемся уравнениями Лагранжа 2-го рода:
. (15.6)
После вычисления производных кинетической и потенциальной энергий (15.5), (15.2) и подстановки их в (15.6) получим уравнения колебаний системы:
(15.7)
или в матричном виде
, (15.8)
где
. (15.9)
Теперь стандартная подстановка 
приводит (15.7) к виду
. (15.10)
Казалось бы, умножив (15.10) на 
, это уравнение можно привести к виду (15.1):
. (15.11)
Однако хотя и матрица жесткости 
, и матрица инерции 
симметричны, матрица 
оказывается симметричной лишь в частных случаях. Таких, например, как приведенные в лекции 10 где матрица была диагональной. Для рассмотренной выше задачи, которая совсем ненамного сложней, получим, положив для определенности 
,
. (15.12)
Что же это получается? Почти все рассмотренные методы были предназначены для симметричных матриц. И вот оказывается, что в большинстве случаев, представляющих практический интерес, эти методы неприменимы.
Конечно это не так, иначе мы не стали бы тратить столько времени на их изучение. Задача
(15.13)
в случае симметричных матриц и сводится к задаче
(15.14)
с симметричной матрицей 
следующим образом.
Сначала выполним разложение матрицы 
по схеме Холецкого:
. (15.15)
Это разложение возможно, так как матрица масс механической системы по физическому смыслу является положительно определенной. Подставляя (15.15) в (15.13) и вводя обозначение
, (15.16)
приводим систему (15.13) к виду
(15.17)
где 
.
Матрица симметрична, так как
. (15.18)
Подводим итог. Собственные значения так называемой обобщенной задачи на собственные значения (15.13) при симметричных матрицах и совпадают с собственными значениями симметричной задачи (15.14), где матрица определяется через и (15.17). При этом собственные вектора обобщенной задачи 
выражаются через собственные вектора симметричной задачи соотношением (15.16).
Заключительное замечание. В преобразовании (15.17) используется матрица, обратная к треугольной 
. Сложно ли получить матрицу обратную данной? Нет, не сложно, и особенно для треугольной матрицы. В самом деле, если ввести обозначение 
, то, согласно определению обратной матрицы,
(15.19)
Из определения матричного произведения следует, что (15.19) можно рассматривать как 
линейных систем вида:
, (15.20)
где 
– столбцы матрицы .
Поскольку матрица 
- треугольная, системы (15.20) решаются очень легко. Кстати, с точки зрения эффективности алгоритма нет необходимости решать одну за другой 
систем (15.20). Гораздо меньше времени потребуется, если рассматривать (15.20) как одну систему, но с правыми частями.
Между прочим, в предыдущем замечании был почти полностью описан алгоритм вычисления обратной матрица, известный как метод Гаусса ‑ Жордана [1]. Для обращения произвольной невырожденной матрицы 
по этому методу следует сначала сформировать матрицу размера 
и занести в первые столбцов матрицу , а в оставшиеся столбцов – единичную матрицу порядка 
:
. (15.21)
Далее к матрице применяется метод Гаусса. При этом сам процесс исключения выполняется только один раз, а операции с правыми частями повторяются для каждого столбца правой половины матрицы (15.21). Решение системы для каждого варианта правых частей заносится на место соответствующего столбца ‑ вектора правой части. Тогда по окончании процедуры Гаусса правые столбцов (15.21) будут содержать решений системы вида:
, (15.22)
где через 
обозначен 
-й столбец единичной матрицы.
Очевидно, что эти столбцов и будут содержать матрицу обратную , так как согласно (15.22)
. (15.23)
