Формулировка теоремы о существовании, непрерывности и дифференцируемости функции определяемой уравнением. Формулировка теоремы о неявных функциях, определяемых системой уравнений

РАЗДЕЛ 7. НЕЯВНАЯ ФУНКЦИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ

· Излагается теория неявных функций

· Рассматриваются задачи теории неявных функций, условного экстремума

НЕЯВНАЯ ФУНКЦИЯ. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ, НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ , ОПРЕДЕЛЯЕМОЙ УРАВНЕНИЕМ

Термин «неявная функция» относится к способу задания функциональной зависимости между и и означает, что вместо явной формулы эта зависимость представлена уравнением .

Следует отметить, что уравнение не всегда определяет функцию . Например, уравнение функцию не определяет.

Кроме того, уравнение не всегда позволяет однозначно выразить через . Например, уравнение , задающее окружность на плоскости, определяет при две непрерывные функции и .

В этом примере можно например дополнительно потребовать чтобы выполнялось неравенство . Тогда мы получим только .

В общей ситуации условия, при которых существует единственная функция , задаваемая уравнением дает следующая теорема.

Теорема. Пусть определена и непрерывна вместе с частными производными и в окрестности U точки такой, что и . Тогда существуют числа и такие, что на множестве уравнение равносильно уравнению где непрерывная и дифференцируемая на функция, и .

Замечание. Равносильность и означает, что уравнение однозначно определяет в рассматриваемой области дифференцируемую функцию такую, что , вообще, при .

Теорема. Пусть функция непрерывна и имеет все непрерывные частные производные в окрестности точки такой, что , причем . Тогда существуют числа такие, что в области , , уравнение равносильно уравнению , причем функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные, причем

ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ О СУЩЕСТВОВАНИИ, НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ОПРЕДЕЛЯЕМОЙ УРАВНЕНИЕМ. ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ СИСТЕМОЙ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим систему уравнений

Эта система задаёт совокупность неявных функций. Рассмотрим частный случай такой системы.

Теорема. Пусть ,

где функции , , непрерывны и имеют непрерывные производные в некоторой области (точки ). Пусть матрица Якоби имеет в этой области ранг 2. Тогда, если, например, минор , то в области систему можно преобразовать к уравнению

, ,

где есть непрерывно дифференцируемая функция от в области и

, ,

Замечание. Уравнения системы определяют в некоторую поверхность и называются параметрическими уравнениямиэтой поверхности. Теорема утверждает, что поверхность есть график функции . Обозначают , и уравнения принимают вид .

Если зафиксировать , то – уравнение координатной линии на (аналогично, при фиксированном также представляет собой уравнение координатной линии на ). Векторы и – касательные векторы к координатным линиям. Если взять точку поверхности, соответствующую параметрам и рассмотреть касательную плоскость в этой точке, то векторы и лежат в этой плоскости. Если ранг матрицы равен 2, это означает, что и не параллельны и их векторное произведение представляет собой нормальный вектор к касательной плоскости и