РАЗДЕЛ 7. НЕЯВНАЯ ФУНКЦИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
· Излагается теория неявных функций
· Рассматриваются задачи теории неявных функций, условного экстремума
НЕЯВНАЯ ФУНКЦИЯ. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ, НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ 
, ОПРЕДЕЛЯЕМОЙ УРАВНЕНИЕМ 
Термин «неявная функция» относится к способу задания функциональной зависимости между 
и 
и означает, что вместо явной формулы 
эта зависимость представлена уравнением 
.
Следует отметить, что уравнение 
не всегда определяет функцию . Например, уравнение 
функцию не определяет.
Кроме того, уравнение не всегда позволяет однозначно выразить через . Например, уравнение 
, задающее окружность на плоскости, определяет при 
две непрерывные функции 
и 
.
В этом примере можно например дополнительно потребовать чтобы выполнялось неравенство 
. Тогда мы получим только .
В общей ситуации условия, при которых существует единственная функция , задаваемая уравнением дает следующая теорема.
Теорема. Пусть 
определена и непрерывна вместе с частными производными 
и 
в окрестности U точки 
такой, что 
и 
. Тогда существуют числа 
и 
такие, что на множестве 
уравнение равносильно уравнению где 
непрерывная и дифференцируемая на 
функция, и 
.
Замечание. Равносильность и означает, что уравнение однозначно определяет в рассматриваемой области дифференцируемую функцию такую, что 
, вообще, 
при 
.
Теорема. Пусть функция 
непрерывна и имеет все непрерывные частные производные в окрестности точки 
такой, что 
, причем 
. Тогда существуют числа 
такие, что в области 
, 
, 
уравнение 
равносильно уравнению 
, причем функция 
непрерывна и имеет непрерывные частные производные, причем
.
ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ О СУЩЕСТВОВАНИИ, НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ОПРЕДЕЛЯЕМОЙ УРАВНЕНИЕМ. ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ СИСТЕМОЙ УРАВНЕНИЙ
Теорема. Пусть функция непрерывна и имеет все непрерывные частные производные в окрестности точки такой, что , причем . Тогда существуют числа такие, что в области , , уравнение равносильно уравнению , причем функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные, причем
.
Рассмотрим систему уравнений
Эта система задаёт совокупность неявных функций. Рассмотрим частный случай такой системы.
Теорема. Пусть 
,
где функции 
, 
, 
непрерывны и имеют непрерывные производные в некоторой области 
(точки 
). Пусть матрица Якоби 
имеет в этой области ранг 2. Тогда, если, например, минор 
, то в области 
систему можно преобразовать к уравнению
, 
,
где 
есть непрерывно дифференцируемая функция от 
в области 
и
, 
,
Замечание. Уравнения системы определяют в 
некоторую поверхность 
и называются параметрическими уравнениямиэтой поверхности. Теорема утверждает, что поверхность 
есть график функции 
. Обозначают 
, 
и уравнения принимают вид 
.
Если зафиксировать 
, то 
– уравнение координатной линии на 
(аналогично, 
при фиксированном 
также представляет собой уравнение координатной линии на 
). Векторы 
и 
– касательные векторы к координатным линиям. Если взять точку поверхности, соответствующую параметрам 
и рассмотреть касательную плоскость в этой точке, то векторы 
и 
лежат в этой плоскости. Если ранг матрицы 
равен 2, это означает, что 
и 
не параллельны и их векторное произведение представляет собой нормальный вектор к касательной плоскости и
,
где буквы 
, 
, 
обозначают соответствующие определители. В этих обозначениях формулы принимают вид
, 
,
а единичный вектор 
нормали, получаемый при делении вектора на его модуль 
, равен
Преобразуем выражение 
. По определению векторного произведения, 
, где 
– угол между 
и 
. Тогда
,
где 
, 
, 
.
