Выпуклые вверх и выпуклые вниз функции нескольких переменных

Назовём множество выпуклым, еслидля любых двух точек этого множества отрезок, соединяющий их, весь принадлежит этому множеству.

Наглядное определение выпуклости функции можно сформулировать так: функция выпукла вверх(вниз), если она определена на выпуклом множестве и для любых двух точек графика этой функции отрезок, соединяющий их, лежит под(над) графиком этой функции.

Переформулируем это определение в виде, более удобном для проверки и пригодном для функции . Пусть , ,

, ). Любую точку отрезка, соединяющего точки , можно представить в виде , Соответствующую ей точку графика можно представить в виде . То, что точка лежит над , означает, что

()

Если это неравенство выполнено для всех , из некоторого выпуклого множества и любого то мы говорим, что выпукла вверх на Выпуклость вниз означает смену неравенства () на противоположный. Если нестрогие неравенства при заменяются строгими, то говорят о строгой выпуклости. Легко видеть, что выпуклость вверх функции равносильна выпуклости вниз функции , и наоборот.

Если функция имеет непрерывные вторые производные, то условия выпуклости можно представить в удобном для проверки виде.

Теорема. Пусть выпуклое подмножество . Тогда

1. выпукла вниз тогда и только тогда, когда для любой точки выполнены неравенства .
2. выпукла вверх тогда и только тогда, когда для любой точки выполнены неравенства .
3. Если для любой точки выполнены неравенства то строго выпукла вниз.
4. Если для любой точки выполнены неравенства то строго выпукла вверх.

 

В качестве примера применения этой теоремы рассмотрим функцию Кобба-Дугласа

на выпуклом множестве =

.

Так как выполнены неравенства Кроме того,

По второму пункту теоремы, выпукла вверх. Если , то строго выпукла вверх.

Теорема допускает обобщение на функции от большего количества переменных.

Теорема. Пусть выпуклое подмножество Рассмотрим матрицу её второго дифференциала (матрицу Гессе)

и её главные угловые миноры

.

Если для всех S и всех то строго выпукла вниз.

Если для всех S и всех то строго выпукла вверх.

Перейдём к случаю нестрогой выпуклости. Назовём главным минором матрицы порядка любой её минор, полученный вычеркиванием из исходной матрицы строк и столбцов с одинаковыми номерами. Без ограничения общности обозначим произвольный главный минор рассматриваемой матрицы.

Теорема. выпукла вниз тогда и только тогда, когда для всех S и всех главных миноров порядка

выпукла вверх тогда и только тогда, когда для всех S и всех главных миноров порядка

Результаты этих теорем можно переформулировать в терминах второго дифференциала функции

Теорема. Пусть выпуклое подмножество

Если положительно определённая квадратичная форма, то строго выпукла вниз.

Если отрицательно определённая квадратичная форма, то строго выпукла вверх.

выпукла вниз тогда и только тогда, когда положительно полуопределённая квадратичная форма.

выпукла вверх тогда и только тогда, когда отрицательно определённая квадратичная форма.

Сформулируем ещё две полезные теоремы.

Теорема. Если выпуклы вверх(вниз) и то выпукла вверх(вниз).

Теорема. Пусть выпуклое подмножество , определена на интервале, содержащем множество значений S. Тогда:

1. Если выпукла вверх и выпукла вверх и возрастает, то выпукла вверх.
2. Если выпукла вниз и выпукла вниз и возрастает, то выпукла вниз.
3. Если выпукла вверх и выпукла вниз и убывает, то выпукла вниз.
4. Если выпукла вниз и выпукла вверх и убывает, то выпукла вверх.

& Пусть , выпуклое подмножество . Тогда, в первом случае,

() ( + ,

что и требовалось доказать. Остальные случаи рассматриваются вполне аналогично.%

Примечание. В этой теореме все условия существенные. Например, если ,

, то, хотя обе эти функции строго выпуклы вверх, функция выпукла вниз в некоторой окрестности точки Следовательно, условие возрастания функции в первом утверждении теоремы отбросить нельзя. Условие выпуклости функции тоже нельзя отбросить, как показывает следующий пример. Пусть , . При этом первая функция выпукла вверх, а вторая возрастает. Однако выпуклая вниз функция.