Выпуклость дифференцируемой функции

РАЗДЕЛ 6. ВЫПУКЛОСТЬ

· Излагается важное в дальнейшем понятие выпуклости

· Рассматриваются вопросы выпуклости функций одной и нескольких переменных

 

ВЫПУКЛОСТЬ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ

Определение. Непрерывная на интервале (a,b) функция f, называется выпуклой вниз (соответственно, выпуклой вверх), если для любых точек , , и любого числа справедливо неравенство

(1)

(соответственно, неравенство

. (1’)

В правой части неравенства (1) стоит значение функции f в произвольной точке , расположенной на отрезке , содержащемся в интервале (a,b). Левая часть в (1) выражает собой ординату точки координатной плоскости, абсцисса которой равна , , и которая лежит на прямолинейном отрезке (хорде), соединяющем точки и графика функции f.

Итак, если непрерывная функция f выпукла вниз на интервале (a,b), то для любых его точек , , график функции f на отрезке расположен ниже хорды, стягивающей концевые точки графика на этом отрезке (см. рис.1, а)).

 

Рис.1

 

Аналогично, заключаем, что если непрерывная функция f выпукла вверхна интервале (a,b), то для любых его точек , , график функции f на отрезке расположен выше хорды, стягивающей концевые точки графика на этом отрезке (см. рис.1, b)).

Обозначим . Тогда , откуда .

Неравенство (1) принимает вид

 

, (2)

или, после умножения обеих частей его на множитель ,

. (3)

Поскольку , то после элементарных преобразований неравенство (4) переходит в неравенство

, (4)

справедливое для любого .

Итак, условие (1) равносильно неравенству (4).

В случае выпуклости вверх знаки неравенств (2)-(4) следует сменить на противоположные.

 

ВЫПУКЛОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ

 

Теорема. Для того, чтобы дифференцируемая на функция f была выпукла вниз (вверх) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы её производная функция не убывала (не возрастала) на этом интервале.

◄Доказательство проведём для выпуклой вниз функции. Докажем сначала, что её производная не убывает.

Пусть , . Переходя в неравенстве (4) к пределу при , получим:

. (5)

Переходя в неравенстве (4) к пределу при , получим:

. (6)

Из неравенств (5) и (6) следуют неравенства , что и требовалось доказать.

Обратно, пусть производная функция не убывает на . Пусть , . Следует доказать, что выполняется неравенство (4). Для этого заметим, что дифференцируема на , следовательно, непрерывна на и непрерывна на . Тогда по теореме Лагранжа, применённой к отрезку где , находим:

. (7)

Аналогично, по теореме Лагранжа, применённой к отрезку

. . (8)

Так как не убывает на , выполняется неравенство , из которого следует, ввиду (7) и (8), неравенство (4), равносильное выпуклости вниз рассматриваемой функции.►

Теорема. Функция , дифференцируемая на интервале ,тогда и только тогда выпукла вниз на этом интервале, когда для любой точки и любой точки справедливо неравенство

.

Противоположное неравенство

,
справедливо для всех, тогда и только тогда, когда функция выпукла вверх на .

 

◄ Доказательство проведём для случая выпуклой вниз функции. Пусть сначала дифференцируемая функция выпукла вниз на . Тогда, какустановлено в теореме 30.1, справедливы неравенства (5) и (6).Неравенство (5) можно преобразовать к равносильному виду

. (9)

Преобразование состоит в умножении обеих частей неравенства (5) на положительный знаменатель и замене обозначений: точку заменяем на , а точку на точку , считая, что . Точно также, при , преобразуем неравенство (6), заменяя точку на точку , а точку на . После этого преобразования снова получим неравенство (9).

Таким образом, если дифференцируемая функция выпукла вниз на интервале , то для всех выполняется неравенство (9). Для выпуклой вверх функции имеем, соответственно,

.

Обратно, пусть для всех выполняется неравенство (9).

Рассмотрим произвольные точки , . Применяя неравенство (9) к точке и считая , получим неравенство , а применяя его к точке и считая , получаем неравенство , на основании которых, с учётом условия , имеем

.

Следовательно, производная функции не убывает на . По теореме 30.1 функция выпукла вниз на . ►

 

Геометрически свойство выпуклости вниз дифференцируемой функции f на означает, что её график в пределах этого интервала располагается выше касательной, проведенной в любой точке графика; для выпуклой вверх дифференцируемой функции картина противоположная (см. рис. 2).

Рис.2

 

Замечание 1. Если обозначить

,
то свойство выпуклости вниз(вверх) дифференцируемой функции на равносильно тому, что для любой точки неравенство () справедливо для всех . Отметим, что