Л. В. АВИЛОВА, Л. В. ДОЛГОВА
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
ЧАСТЬ 2
ОМСК 2015
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Омский государственный университет путей сообщения
___________________________________
Л. В. Авилова, Л. В. Долгова
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
Часть 2
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве учебно-методического пособия для выполнения индивидуальной
самостоятельной работы студентами 1-го курса всех специальностей
Омск 2015
УДК 517.23(075.8)
ББК 22.161.11я73
А20
Приложения производных: Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуальной самостоятельной работы студентами 1-го курса всех специальностей. Часть 2 / Л. В. Авилова, Л. В. Долгова; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2015. 29 с.
Учебно-методическое пособие написано в соответствии с действующей программой по курсу математики для технических вузов, содержит краткие теоретические сведения о приложении производных при вычислении пределов, исследовании функций и построении их графиков. В пособии приведены правила Лопиталя, подробная схема исследования функций, алгоритм построения графика функции, разобраны примеры решения задач. Типовые расчеты включают в себя по тридцать вариантов типовых заданий для самостоятельной работы студентов.
Предназначено для студентов 1-го курса всех специальностей.
Библиогр.: 5 назв. Рис. 16.
Рецензенты: доктор техн. наук, профессор В. А. Нехаев;
канд. пед. наук, доцент Т. П. Фисенко.
_________________________
© Омский гос. университет
путей сообщения, 2015
ОГЛАВЛЕНИЕ
| Введение ………………………………………………………………………… | |
| 3. Задания для самостоятельной работы ………………………………………. | |
| 3.1. Варианты типового расчета «Вычисление пределов с помощью правил Лопиталя» …………………………………………………………………... | |
| 3.2. Образец выполнения типового расчета «Вычисление пределов с помощью правил Лопиталя» ……………………………………………………… | |
| 3.3. Варианты типового расчета «Исследование функции и построение графика» …………………………………………………………………………. | |
| 3.4. Образец выполнения типового расчета «Исследование функции и построение графика» …………………………………………………………… | |
| Библиографический список ……………………………………………………. |
ВВЕДЕНИЕ
Данное учебно-методическое пособие состоит из двух частей. Первая часть содержит краткие теоретические сведения по темам «Применение производной при вычислении пределов», «Применение производной при исследовании функций и построении их графиков». Во второй части представлены варианты заданий типовых расчетов по данным темам для самостоятельной работы.
Вторая часть настоящего издания является логическим продолжением первой части и включает в себя по 30 вариантов заданий типового расчета для каждой из тем «Применение производной при вычислении пределов», «Применение производной при исследовании функций и построении их графиков».
В первом типовом расчете необходимо найти пределы функций с помощью правил Лопиталя. В каждом варианте предложено пять задач на различные типы неопределенностей. Приведены образцы-примеры решения всех задач типового расчета, что поможет студентам лучше разобраться в данной теме.
Во втором типовом расчете необходимо исследовать функцию и построить ее график. В каждом варианте дано по четыре функции разных видов. Приведены подробные примеры решения стандартных задач из типового расчета. Задачи сопровождаются подробными объяснениями, которые помогут студенту при решении своего варианта. Задания типового расчета по сложности можно разбить на два уровня.
Авторы выражают благодарность Ирине Павловне Гринь за предоставленные методические материалы, некоторыми из этих материалов авторы воспользовались при составлении типового расчета.
3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Варианты типового расчета
«Вычисление пределов с помощью правил Лопиталя»
Найти пределы, используя правило Лопиталя.
Вариант 1
| Вариант 2
| Вариант 3
|
Вариант 4
| Вариант 5
| Вариант 6
|
Вариант 7
| Вариант 8 
| Вариант 9
|
Вариант 10
| Вариант 11
| Вариант 12
|
Вариант 13
| Вариант 14
| Вариант 15
|
Вариант 16 
| Вариант 17 
| Вариант 18 
|
Вариант 19
| Вариант 20
| Вариант 21
|
Вариант 22
| Вариант 23
| Вариант 24
|
Вариант 25
| Вариант 26
| Вариант 27
|
Вариант 28
| Вариант 29
| Вариант 30
|
Образец выполнения типового расчета
«Вычисление пределов с помощью правил Лопиталя»
П р и м е р 3.1. Найти предел: 
Решение.
Правило Лопиталя применялось дважды.
П р и м е р 3.2. Найти предел: 
Решение.
П р и м е р 3.3. Найти предел: 
Решение.
П р и м е р 3.4. Найти предел: 
Решение.
П р и м е р 3.5. Найти предел: 
Решение.
Представим 
Получим 
Имеем неопределенность вида 
Применим правило Лопиталя: 
П р и м е р 3.6. Найти предел: 
Решение.
Логарифмируем выражение 
получим 
Затем находим предел: 
, т. е. 
. Отсюда 
и 
.
П р и м е р 3.7. Найти предел: 
Решение.
Логарифмируем выражение 
получим 
Затем находим предел: 
0 (воспользуемся первым замечательным пределом: 
), т. е. 
. Отсюда 
и 
П р и м е р 3.8. Найти предел: 
Решение.
= 
Обозначим данную функцию через 
и прологарифмируем ее: 
Вычислим предел логарифма данной функции, применяя правило Лопиталя: 
, т. е. 
Отсюда 
и 
П р и м е р 3.9. Найти предел: 
Решение.
. Приведем дроби к общему знаменателю и выполним преобразования: 
П р и м е р 3.10. Найти предел: 
Решение.
Варианты типового расчета
«Исследование функции и построение графика»
Исследовать функции и построить их графики.
Вариант 1
1. 
2. 
3. 
4. 
| Вариант 2
1. 
2. 
3. 
4. 
| Вариант 3
1.  2. 
3. 
4. 
|
Вариант 4
1. 
2. 
3. 
4. 
| Вариант 5
1. 
2. 
3. 
4. 
| Вариант 6
1. 
2. 
3. 
4. 
|
Вариант 7
1. 
2. 
3. 
4. 
| Вариант 8
1. 
2. 
3. 
4. 
| Вариант 9
1. 
2. 
3. 
4. 
|
Вариант 10
1. 
2. 
3. 
4. 
| Вариант 11
1.  2. 
3. 
4. 
| Вариант 12
1. 
2. 
3. 
4. 
|
Вариант 13
1. 
2. 
3. 
4. 
| Вариант 14
1. 
2. 
3. 
4.  .
| Вариант 15
1. 
2. 
3. 
4. 
|
Вариант 16
1. 
2. 
3. 
4. 
| Вариант 17
1. 
2. 
3. 
4. 
| Вариант 18
1. 
2. 
3. 
4. 
|
Вариант 19
1. 
2. 
3. 
4. 
| Вариант 20
1. 
2. 
3. 
4. 
| Вариант 21
1. 
2. 
3. 
4. 
|
Вариант 22
1. 
2. 
3. 
4. 
| Вариант 23
1. 
2. 
3. 
4. 
| Вариант 24
1. 
2. 
3. 
4. 
|
Вариант 25
1. 
2. 
3. 
4. 
| Вариант 26
1. 
2. 
3. 
4. 
| Вариант 27
1. 
2. 
3. 
4. 
|
Вариант 28
1. 
2. 
3. 
4. 
| Вариант 29
1. 
2. 
3. 
4. 
| Вариант 30
1. 
2. 
3. 
4. 
|
