Вычисление длин линий и дирекционных углов по координатам начала и конца линии

Прямая и обратная геодезические задачи

Вычислительная обработка результатов измерений на местности, проводимая при составлении планов, решение ряда землеустроительных задач, подготовка данных для выноса проектов в натуру непосредственно связаны с прямой и обратной геодезическими задачами на координаты.

Прямая геодезическая задача. Сущность данной задачи (рис.2) в следующем: по известным координатам точки 1 (x₁, y₁), линии 1-2, дирекционному углу этой линии а_1-2 и ее горизонтальному проложению d_1-2 требуется определить координаты точки 2.

Рис. 2. Прямая и обратная геодезические задачи

Проведя через точки 1 и 2 линии, параллельные координатным осям, получим прямоугольный треугольник 1-2'-2, в котором известны гипотенуза d_1-2 и острый угол r = a_1-2. Катеты этого треугольника есть приращения координат Δ x и Δ y, которые могут быть получены по формулам:

 

Δ x = d_1-2 cos a_1-2 ; Δ y = d_1-2 sin a_1-2 ; (1)

 

Контроль: d = .

 

Следует помнить, что в общем случае знаки приращений координат зависят от четверти, определяемой дирекционным углом заданного направления (см. табл. 1).

Тогда координаты искомой точки 2 определятся по формулам:

x₂ = x₁ + Δx; y₂ = y₁ + Δy;

или

 

x₂ = x₁ + d_1-2 cos a_1-2 ; y₂ = y₁ + d_1-2 sin a_1-2 .

 

Приращения координат и координаты искомой точки вычисляются с точностью, соответствующей точности измерения горизонтальной длины линии.

Обратная геодезическая задача. По известным координатам точек 3 (x₃, y₃) и 4 (x₄, y₄) требуется определить горизонтальное проложение стороны d_3-4 и дирекционный угол направления a_3-4.

Согласно рис.2 и формуле (1) можно записать

 

Δ x = x₄ - x₃; Δ y = y₄ - y₃.

По найденным значениям приращений координат Δ x и Δ y, решая прямоугольный треугольник, вычисляют табличный угол:

tg r = ,

 

отсюда

r = arctg .

По знакам приращений координат Δ x и Δ y определяют, в какой четверти находится данное направление. Затем, руководствуясь соотношением между табличным и дирекционным углами (см. табл. 1), находят дирекционный угол направления. Например, в рассматриваемом случае знаки приращений координат показывают, что направление 3-4 находится в IV четверти, тогда

a_3-4. = 360° - r.

Зная дирекционный угол направления и приращения координат, определяют горизонтальное проложение стороны

d_3-4 = = = .

 

По этой формуле значение горизонтального проложения стороны определяется трижды; сходимость результатов служит надежным контролем решения задачи. Наибольшее внимание при решении обратной задачи следует уделять вычислению приращений координат Δ x и Δ y

Вычисление длин линий и дирекционных углов по координатам начала и конца линии

Название отрезков линий	Название концов отрезков	Координаты (м)	Длина линии (м)	Дирекционный угол a°
Хм	Ум	ОГЗ	Через ГУ	По карте
1-2
2-3
3-4
4-1