Разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

(12)

Если то уравнение (12) имеет корни

при этом общее решение уравнения (11) имеет вид

.

Если то уравнение (12) имеет корень кратности 2,

при этом общее решение уравнения (11) имеет вид

.

Если то уравнение (12) имеет комплексно-сопряжённые корни, при этом общее решение уравнения (11) имеет вид

Во всех этих случаях при заданных значениях можно найти , что однозначно определит решение уравнения (11).

Отметим, что в случае комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения имеет место осцилляция. При этом если , то колебания затухают, если , то их амплитуда растёт.

Примеры. Найти общее решение для каждого из уравнений

1.

2.

3.

Первому уравнению соответствует характеристическое уравнение

имеющее корни Таким образом, общее решение этого уравнения имеет вид

Второму уравнению соответствует характеристическое уравнение

имеющее корень кратности 2 и общее решение этого уравнения имеет вид .

Третьему уравнению соответствует характеристическое уравнение

имеющее комплексно-сопряжённые корни .

Для него и общее решение этого уравнения имеет вид

.

Перейдём к неоднородному случаю и рассмотрим уравнение

. (13)

Как отмечалось выше, общее решение уравнения (12) имеет вид

+

где - любые два линейно независимые решения (11), произвольные постоянные, а любое частное решение уравнения (13).

В общем случае можно отыскать по формуле (10), однако это требует большого количества вычислений. В ряде случаев можно заранее указать тот вид, в котором имеет смысл искать решение .

Например, если постоянная и если то

искомое частное решение. Если линейная комбинация функций , или их произведений, то можно использовать метод неопределённых коэффициентов, как в следующем примере.

Пример. Решить уравнение

Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

, подставляя эту величину в исходное уравнение, получаем

-5(

Ввиду линейной независимости функций из этого равенства вытекает, что откуда Таким образом, общее решение этого уравнения имеет вид

Задачи. Найти общее решение уравнения:

1.

2.

3.

4.

5.

6.