Понижение порядка дифференциального уравнения

РАЗДЕЛ 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N –ГО ПОРЯДКА

· Изучаются дифференциальные уравнения n –го порядка

· Рассматриваются линейные уравнения, уравнения с постоянными коэффициентами, вопросы устойчивости

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N –ГО ПОРЯДКА. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ .

Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно n-ой производной:

(1)

Теорема. Пусть - некоторый заданный набор чисел. Пусть функция от переменных обладает следующими свойствами: она непрерывна на совокупности переменных в области ,

, , …, (2)

и пусть частные производные по аргументам ограничены (это, в частности, выполнено, если эти частные производные непрерывны в рассматриваемой области).

Тогда существует такое число и такая функция , определенная в интервале , что

(3)

для всех из этого интервала, причем

(4)

Полученное решение зависит от заданных чисел . Если считать эти числа изменяющимися параметрами и обозначить , то решение уравнения (1), соответствующее такому выбору параметров обозначим и назовём общим решением.

При фиксированных значениях (4) получаем частное решение, или решение задачи Коши с начальными условиями (4). График этого частного решения – интегральная кривая.

Приведём пример решения задачи Коши для уравнения

(5)

с начальными условиями

Здесь функция тождественно равна 1 и все условия теоремы выполнены в любой точке . Проинтегрировав уравнение 1 раз, получаем

(6)

после следующего интегрирования имеем

(7)

Наконец,

(8)

где – произвольные пока постоянные подлежат вычислению

Зададим точку : (9)

Тогда, подставляя в (8) находим:

Подставив в (7), получаем , наконец, из (6) получаем .

Итак, искомое решение с заданными начальными условиями (9) имеет вид .

Отметим, что уравнение (5) удовлетворяет всем условиям сформулированной теоремы, поэтому любое его решение получается по формуле (8) при подходящем выборе чисел .