РАЗДЕЛ 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N –ГО ПОРЯДКА
· Изучаются дифференциальные уравнения n –го порядка
· Рассматриваются линейные уравнения, уравнения с постоянными коэффициентами, вопросы устойчивости
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N –ГО ПОРЯДКА. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ 
.
Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно n-ой производной:
(1)
Теорема. Пусть 
- некоторый заданный набор чисел. Пусть функция от 
переменных 
обладает следующими свойствами: она непрерывна на совокупности переменных в области 
,
, 
, …, 
(2)
и пусть частные производные 
по аргументам 
ограничены (это, в частности, выполнено, если эти частные производные непрерывны в рассматриваемой области).
Тогда существует такое число 
и такая функция 
, определенная в интервале , что
(3)
для всех 
из этого интервала, причем
(4)
Полученное решение 
зависит от заданных чисел 
. Если считать эти числа изменяющимися параметрами и обозначить 
, то решение уравнения (1), соответствующее такому выбору параметров обозначим 
и назовём общим решением.
При фиксированных значениях (4) получаем частное решение, или решение задачи Коши с начальными условиями (4). График этого частного решения – интегральная кривая.
Приведём пример решения задачи Коши для уравнения
(5)
с начальными условиями 
Здесь функция тождественно равна 1 и все условия теоремы выполнены в любой точке 
. Проинтегрировав уравнение 1 раз, получаем
(6)
после следующего интегрирования имеем
(7)
Наконец,
(8)
где – произвольные пока постоянные подлежат вычислению
Зададим точку 
: (9)
Тогда, подставляя в (8) 
находим:
.
Подставив в (7), получаем 
, наконец, из (6) получаем 
.
Итак, искомое решение с заданными начальными условиями (9) имеет вид 
.
Отметим, что уравнение (5) удовлетворяет всем условиям сформулированной теоремы, поэтому любое его решение получается по формуле (8) при подходящем выборе чисел 
.
ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Дифференциальное уравнение n-го порядка общего вида
(10)
в некоторых случаях может быть сведено к уравнению меньшего порядка.
Случай 1. Уравнение (10) не содержит x, т.е. имеет вид
(11)
Примем y за независимую переменную, а 
– за новую неизвестную функцию. Тогда, по правилу дифференцирования сложной функции,
, (12)
и, согласно (12),
(13)
и т.д.
При подстановке найденных значений 
в (11) получаем уравнение порядка 
.
Пример. Решить задачу Коши:
, (14)
Полагаем 
, тогда 
, 
согласно (12) и (13), откуда
,
Либо 
, либо
. (15)
В первом случае 
, 
- очевидно, решение исходного уравнения, однако не дающее решения задачи Коши (14).
Интегрируя по y обе части уравнения (15), получаем
,
. (16)
Из начальных условий:
при 
, 
, а 
, поэтому
, 
, а так как по (12), 
, при имеем, ввиду того, что :
, 
.
Следовательно, (16) принимает вид
,
, 
при , ввиду (14), , откуда 
, 
.
В итоге получаем: 
.
Случай 2. Левая часть (10) не содержит y, т.е.
Полагаем 
и получаем уравнение порядка n-1
Если же вместе с y отсутствуют и 
, т.е. если
,
то замена 
даёт уравнение порядка n-k:
Пример: 
Положим 
. Тогда
, 
, 
,
считая, что 
, получаем в этой области
, 
, откуда 
.
Случай 3.
Уравнение (10) – однородное по 
, т.е. для любого k 
(16)
где a – показатель однородности.
Положим
где u – новая неизвестная функция, а под 
понимаем произвольную первообразную. Последовательно находим:
и т.д. (17)
Подставляя в уравнение (10) и учитывая (16), получаем:
что приводит к дифференциальному уравнению
Пример: 
.
Показатель a однородности по 
равен 2, полагаем и используем формулы (17):
или, при 
(а , очевидно, решение),
, 
, 
, 
,
где 
- произвольные постоянные.
Если рассмотреть случай , то формула 
и решение .