Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕостроение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов




ѕример

ƒл€ заданного стержн€ построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

–ешение.

1. –ассмотрим стержень, нагруженный силами, лежащими в одной плоскости (рис. 3а). Ёту плоскость называют силовой. ѕредположим, что силова€ плоскость совпадает с плоскостью, проход€щей через ось стержн€ и одну из главных центральных осей сечени€, т.е. €вл€етс€ главной плоскостью. ѕон€тие о главных центральных ос€х вводитс€ при рассмотрении геометрических характеристик сечени€. ƒанное предположение необходимо, чтобы правильно определить вид нагружени€, и в дальнейшем специально оговариватьс€ не будет.

¬ыберем расчетную схему в виде оси стержн€, на которую перенесем все действующие внешние силовые факторы (рис. 3б).

Ќайдем равнодействующую нагрузки, распределенной на участке —¬ (на рис. 3б изображена пунктиром):

1 = 40 Ј 2 = 80 кЌ.

Ќапомним, что равнодействующую параллельных сил прикладывают в центре т€жести участка, на котором действует распределенна€ нагрузка. ¬ нашем примере Ц по середине участка —¬.

z
y
x
z
2 м
2 м
q=40 кЌ/м
ћ1=20 кЌЈм
а)
15
M1=20кЌЈм
Pq
3 м
z
у
 
q=40 кЌ/м
z
ј
B
P1
RB
z
2 м
2 м
2,375 м
Q ,кЌ
65
20
50
52,8
б)
ћ, кЌЈм

–ис. 3

 

¬ соответствии с видом св€зей изображаем реакции, выбираем систему координат и составл€ем уравнени€ статики, из которых определ€ем величину и направление реакций св€зей:

Σћј = - ћ1 - –1 Ј 3 + R¬ Ј 4 = Ц 20 Ц 80 Ј 3 + R¬ Ј 4 = 0; R¬ = = 65 кЌ.

Σћ¬ = - ћ1 - Ј 4 + –1 Ј 1 = Ц 20 Ц Ј 4 + 80 Ј 1 = 0; = = 15 кЌ.

ΣFZ = = 0; = 0.

ƒл€ проверки правильности полученных значений реакций можно использовать условие равенства нулю суммы проекций всех сил на вертикальную ось и условие равенства нулю суммы моментов всех силовых факторов относительно любой точки, отличной от точек ј и ¬, например, относительно точки .

ѕолучаем: ΣFY = - –1 + R¬ = 15 Ц 80 + 65 = 0;

ΣћC = - ћ1 - Ј 2 + –1 Ј 1 + R¬ Ј 2 = - 20 Ц 15 Ј 2 - 80 Ј 1 + 65 Ј 2 = 0.

2. –азбиваем стержень на участки. ¬ рассматриваемом примере два участка ј— и —¬.

3. Ќа каждом участке методом сечений определ€ем внутренние силовые факторы.

–ассмотрим участок ј—. –ассечем стержень на две части сечением на рассто€нии z от начала координат (от т. ј) и правую часть мысленно отбросим. ¬с€ нагрузка расположена в плоскости yz (рис. 3), причем силы параллельны оси у (учтено, что = 0), поэтому при составлении условий равновеси€ отсеченной части внешние силовые факторы не дают проекции на оси z и х (на рисунке не показана) и не создают моменты относительно осей у и z (рис. 3а). —ледовательно, в любом сечении стержн€ равны нулю четыре внутренних силовых фактора:

N = QX = MY = MZ = 0.

ќтличными от нул€ остаютс€ только поперечна€ сила QY и изгибающий момент M. Ёти внутренние силовые факторы лежат в силовой плоскости (в плоскости yz). »х часто обозначают без индекса осей.

“аким образом, в рассматриваемом примере в любом поперечном сечении стержн€ могут возникать только два внутренних силовых фактора Ц поперечна€ сила QY и изгибающий момент M, т.е. имеет место поперечный изгиб.

»з метода сечений следуют следующие правила определени€ внутренних силовых факторов при поперечном изгибе:

ѕоперечна€ сила Q в рассматриваемом сечении равна алгебраической сумме проекций на поперечную ось (ось y ) всех сил, действующих на рассматриваемую часть стержн€.

»згибающий момент в рассматриваемом сечении равен алгебраической сумме моментов относительно рассматриваемого сечени€ (относительно оси х, перпендикул€рной плоскости чертежа на рис. 3б) от всех силовых факторов, действующих на рассматриваемую часть стержн€.

ѕравила знаков дл€ поперечной силы Q и изгибающего момента ћ удобно по€снить графически (рис. 4).

Q 0
Q 0
M 0
M 0
Mвнешн.
Mвнешн.
Mвнешн.
Mвнешн.
а) б)

–ис. 4

 

≈сли внешн€€ сила расположена слева от сечени€ и направлена вверх (отбрасывают правую часть стержн€), то поперечную силу в сечении считают положительной, если сила направлена вниз Ц отрицательной (рис. 4а). ƒл€ сил, расположенных справа от сечени€, правило знаков обратное.

ƒл€ изгибающих моментов правило знаков следующее:

≈сли момент от внешнего силового фактора (от сосредоточенной силы, от распределенной нагрузки, от сосредоточенного момента), действующего на левую часть стержн€, направлен по ходу часовой стрелки, то внутренний изгибающий момент в сечении считают положительным, если против хода часовой стрелки Ц отрицательным (рис. 4б). ƒл€ моментов, расположенных справа от сечени€, правило знаков обратное.

ѕри использовании приведенных правил знаки поперечных сил и изгибающих моментов не завис€т от того, какую часть стержн€ отбрасывают.

«апишем аналитические выражени€ дл€ поперечной силы и изгибающего момента на участке ј—, пользу€сь сформулированными выше правилами. –ассмотрим сечение в пределах участка ј— на рассто€нии z от начала координат (от т. ј). ѕравую часть отбрасываем. јбсцисса сечени€ z измен€етс€ в пределах 0 ≤ z ≤ 2 м. ƒл€ поперечной силы получаем:

Q = = 15 кЌ.

«нак Ђплюсї, т.к. была отброшена права€ часть стержн€ и реакци€ направлена вверх (рис. 4).

»згибающий момент будет равен:

ћ = ћ1 + Ј z = 20 + 15 Ј z (кЌЈм).

«наки выбраны в соответствии с рис. 4.

»згибающий момент на участке ј— измен€етс€ по линейному закону. √рафик Ц пр€ма€ лини€. ƒл€ ее построени€ достаточно найти две точки. ѕолучаем:

ћZ=0 = 20 кЌЈм; ћZ=2 = 20 + 15 Ј 2 = 50 кЌЈм.

¬ыбираем ось отсчета и строим эпюры. ѕоложительные значени€ внутренних силовых факторов откладываем от оси сечени€ вверх. ќтрицательные Ц вниз (рис. 3б).

–ассмотрим участок —¬. ѕроведем сечение в пределах этого участка (рис. 3б). јбсцисса z на этом участке измен€етс€ в пределах 2 ≤ z ≤ 4 м. “ак как участок стержн€ длиной z включает часть распределенной нагрузки, то замен€ем эту нагрузку ее равнодействующей –q = q (z Ц 2). –авнодействующую –q помещаем в центр т€жести учитываемой распределенной нагрузки, т.е. по середине отрезка (z - 2).

ƒл€ поперечной силы получаем:

Q = - –q = q (z Ц 2) = 15 - 40Ј (z Ц 2).

»згибающий момент равен:

ћ = ћ1 + Ј z - –q Ј = 20 + 15z Ц 40 Ј (z Ц 2) Ј = 20 + 15z Ц 20(z Ц 2)2.

ѕоперечна€ сила измен€етс€ по линейному закону. ¬ычисл€ем ее значени€ в начале и в конце участка:

QZ=2 = 15 кЌ; QZ=4 = 15 Ц 40 Ј (z - 2) = 15 Ц 40 Ј (4 - 2) = - 65 кЌ.

ѕо полученным значени€м строим эпюру поперечных сил.

»згибающий момент измен€етс€ по закону квадратной параболы. ќпредел€ем значени€ изгибающего момента в начале и в конце участка:

ћZ=2 = 20 + 15 Ј 2 = 50 кЌЈм; ћZ=4 = 20 + 15 Ј 4 Ц 20 Ј (4 Ц 2)2 = 0.

ƒл€ определени€ абсциссы точки экстремума вычисл€ем первую производную от функции, характеризующей закон изменени€ изгибающего момента на участке —¬, и приравниваем ее к нулю:

= 15 Ц 40 Ј (z Ц 2) = 0; z = 2,375 м.

¬ычисл€ем изгибающий момент в точке экстремума и строим эпюру изгибающих моментов:

ћZ=2,375 = 20 + 15 Ј 2,375 Ц 20 Ј (2,375 Ц 2)2 = 52,8 кЌЈм.

ƒл€ контрол€ правильности построени€ эпюр поперечных сил и изгибающих моментов используем дифференциальные зависимости:

= q (1), = Q (2).

–ассмотрим эпюру поперечных сил. Ќа участке ј— распределенна€ нагрузка отсутствует, т.е. q = 0, поэтому тангенс угла наклона касательной к графику поперечной силы, равный первой производной от поперечной силы, согласно формуле (1) должен быть равен нулю. —ледовательно, касательна€ и весь график должны быть параллельны оси отсчета, что и имеет место. Ќа участке —¬

тангенс угла наклона касательной к графику поперечной силы отрицателен и посто€нен в пределах этого участка. —огласно формуле (1) и интенсивность распределенной нагрузки q должна быть отрицательной (направленной вниз) и по длине участка не измен€тьс€, что и соответствует расчетной схеме.

–ассмотрим эпюру изгибающих моментов. Ќа участке ј— тангенс угла наклона касательной к графику изгибающего момента положителен и посто€нен в пределах участка. —ледовательно, согласно зависимости (2) должна быть положительна и посто€нна поперечна€ сила на этом участке, что соответствует эпюре поперечных сил. Ќа участке —¬ тангенс угла наклона касательной к графику изгибающего момента уменьшает свое положительное значение до нул€ (в точке максимума), а затем становитс€ отрицательным, измен€€сь в пределах участка. —ледовательно, и поперечна€ сила должна измен€ть свое положительное значение до нул€, а затем становитьс€ отрицательной, измен€€сь в пределах участка. »менно такой характер изменени€ поперечной силы и имеет место.

ќбратим внимание, что в соответствии с формулой (2) перва€ производна€ от изгибающего момента равна поперечной силе и, следовательно, в сечени€х, где поперечна€ сила равна нулю, на эпюре изгибающих моментов имеет место экстремум. ѕоэтому при построении эпюры изгибающих моментов исследование на экстремум можно не проводить (не вычисл€ть первую производную, приравнивать ее нулю и т.д.), а определ€ть абсциссы сечений, где имеет место экстремум, приравнива€ поперечную силу нулю.

¬ заключении отметим общие закономерности при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов:

1. ≈сли пр€мой стержень нагружен силами и парами сил, лежащими в главной плоскости, причем сосредоточенные и распределенные силы перпендикул€рны к оси стержн€, то имеет место поперечный изгиб, т.е. в поперечных сечени€х возникают только два внутренних силовых фактора Ц поперечна€ сила Q и изгибающий момент ћ;

2. ¬ сечени€х, где приложены сосредоточенные силы, перпендикул€рные к оси стержн€, на эпюре поперечных сил имеет место скачок на величину этих сил.

3. ¬ сечени€х, где приложены сосредоточенные моменты, на эпюре изгибающих моментов имеет место скачок на величину этих моментов.

4. ¬ сечени€х, где поперечна€ сила равна нулю, на эпюре изгибающих моментов имеет место экстремум, т.е. изгибающий момент достигает максимума или минимума.

 

—одержание

1 ¬ведение ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ3

2 јлгоритм определени€ внутренних силовых факторовЕЕЕЕЕЕЕЕ.4

3 ѕостроение эпюр внутренних силовых факторов

3.1 ѕостроение эпюр продольных силЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ.4

3.2 ѕостроение эпюр крут€щих моментовЕЕЕЕЕЕЕЕЕ..ЕЕЕ...7

3.3 ѕостроение эпюр продольной силы и изгибающих моментовЕЕЕ..10





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-12-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 589 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

ƒва самых важных дн€ в твоей жизни: день, когда ты по€вилс€ на свет, и день, когда пон€л, зачем. © ћарк “вен
==> читать все изречени€...

494 - | 457 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.033 с.