Содержание задания
· Для полученной схемы рассчитать все токи методом контурных токов.
· Проверить расчет по второму закону Кирхгофа и по уравнению баланса мощностей.
· Рассчитать ток в ветви №2 по методу узловых потенциалов, приняв равным нулю потенциал узла, указанного в задании.
· Рассчитать ток в ветви с сопротивлением R4 методом эквивалентного генератора, рассматривая схему относительно указанной ветви как активный двухполюсник.
Заданные параметры:
| Метод расчета | Расчетные величины | ||||||||||||||
| 1. Метод контурных токов | I1, А | I2, А | I3, А | I4, А | I5, А | I6, А | I7, А | I8, А | |||||||
| 5.70 | 4.75 | 2.02 | -12.47 | 1.45 | 7.72 | º I3 | º I2 | ||||||||
| 2. Баланс мощностей. | P потр, Вт | P ген, Вт | |||||||||||||
| 95.74 | 95.74 | ||||||||||||||
| 3. Метод узловых потенциалов | j1, В | j2, В | j3, В | j4, В | I2, А | ||||||||||
| º j1 | -4.99 | 2.85 | 4.75 | ||||||||||||
| 4. Метод эквивалентного генератора. | EЭ = U 23 ХХ, В | RЭ = R 23, Ом | I4, А | ||||||||||||
| 9.24 | 0.34 | -12.47 | |||||||||||||
Исходная схема.
По условию задания R 6= 0. Тогда схема упрощается:
Сразу отметим, что, т.к. узлы 1 и 2 схемы соединены ветвью с нулевым сопротивлением, то их потенциалы одинаковы (но ток I 6 может быть не равен 0).
Кроме того, очевидно, что ветви 2 и 8 представляют собой, фактически, одну ветвь, т.к. в своей общей точке 6 они соединены без ответвлений и, следовательно, I 8 º I 2.
Ветви 3 и 7 также представляют собой, фактически, одну ветвь, т.к. в своей общей точке 5 они соединены без ответвлений и, следовательно, I 7 º I 3.
Метод контурных токов (МКТ).
В схеме 7 независимых ветвей (с одним и тем же током, без ответвлений) и 4 узла, в которых соединяются более, чем 2 ветви (т.е. 3 и больше). Для расчета по методу контурных токов нужно NК независимых контуров.
NК = m - (n - 1), где m = 7 - число независимых ветвей,
n = 4 - число узлов, в которых соединяются более, чем
2 ветви.
Т.е. в нашем случае NК = 4. Выбранные независимые контуры и направления контурных токов показаны на рисунке.
По ветви с источником тока протекает один контурный ток I 44, совпадающий по направлению с током источника. Следовательно,
I 44 = I = 9 А
Т.е. необходимость рассмотрения контура 44 отпадает.
Уравнения по второму закону Кирхгофа для остальных контуров (11, 22 и 33) при их обходе в направлении протекания контурных токов принимают вид:
Перепишем полученную систему уравнений в более удобном для решения виде:
В матричной форме: 
где
, 
, 
Решение можно найти, вычислив матрицу, обратной матрице [ R ]:
В нашем случае
Þ 
Т.е. контурные токи равны
(как уже отмечалось ранее, этот контурный ток равен току источника тока)
Найдем реальные токи в ветвях. Для этого алгебраически просуммируем соответствующие контурные токи (контурные токи, совпадающие по направлению с выбранным направлением реального тока, учитываем с плюсом, в противном случае - с минусом).
Проверка решения.
1-й закон Кирхгофа для узлов выполняется автоматически, это следует из алгоритма нахождения реальных токов через контурные.
2-й закон Кирхгофа для контуров.
Вывод: найденные токи удовлетворяют законам Кирхгофа.
Баланс мощностей.
Уравнение баланса мощностей имеет вид
Источник ЭДС работает в генераторном режиме, если ток в источнике одного направления с ЭДС. Для такого источника Pген = E × I > 0. В противном случае источник ЭДC потребляет энергию и Pген = E × I < 0.
Источник тока работает в генераторном режиме, если напряжение на его зажимах направлено навстречу току источника. Для такого источника Pген = U × I > 0. В противном случае источник тока потребляет энергию и Pген = U × I < 0. В нашем случае напряжение на зажимах источника тока есть U 43 = E 5 - I 5 R 5
Вывод: найденные токи удовлетворяют уравнению баланса мощностей.
Метод узловых потенциалов (МУП).
Требуется рассчитать ток в ветви №2 по методу узловых потенциалов, приняв равным нулю потенциал узла №1. В общем случае для расчета по МУП нужно NУ узлов:
NУ = n - 1, где n - число узлов, в которых соединяются более, чем 2 ветви.
Еще раз отметим, что в нашей схеме есть 4 узла, в которых соединяются более, чем 2 ветви. Это узлы №1, 2, 3 и 4. Т.е. в нашем случае NУ = 3. Причем потенциалы двух узлов одинаковы и в соответствии с заданием j 2 = j 1 = 0. Поэтому достаточно составить уравнения только для узлов 3 и 4.
где
- сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 3,
- сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 4,
- взятая со знаком минус сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узлы 3 и 4,
J 3 и J 4 - узловые токи, в нашем случае они равны
(в формировании узлового тока участвуют ветви, подходящие к узлу и содержащие источники ЭДС и/или тока; вклад ЭДС ветви в формирование узлового тока равен ± E × G, где G - проводимость ветви, причем если ЭДС направлена к узлу, то используем знак "+", а если от узла, то знак "-"; если ток источника тока "втекает" в узел, то он берется со знаком "+", а если "вытекает" из узла, то со знаком "-").
Система из 2-х линейных уравнений легко решается:
В нашем случае
По известным потенциалам узлов можно рассчитать токи в ветвях.
Токи в ветвях с ненулевым сопротивлением определяются с помощью обобщенного закона Ома:
. Здесь Iab - ток ветви ab, текущий от узла a к узлу b; E - ЭДС в ветви (если ЭДС направлена от узла a к узлу b, то она берется со знаком "+", в противном случае со знаком "-"); ja и jb - потенциалы узлов a и b соответственно (ja - jb = Uab - падение напряжения вдоль ветви ab). Можно пользоваться и таким правилом для расстановки знаков: E и U входят в формулу со знаками "+", если они со направлены с искомым током, и со знаками "-", если противоположно направлены.
Токи в ветвях с нулевым сопротивлением определяются с помощью 1-го закона Кирхгофа из уравнения, составленного для любого узла, к которому присоединена такая ветвь.
Найдем ток ветви №2:
, что совпадает с найденной по МКТ величиной.
Аналогичным образом можно найти токи других ветвей:
Токи, найденные по МУП, совпадают с токами, найденными по МКТ.
