Что такое переходные процессы и в результате чего они возникают? В каких цепях имеют место переходные процессы?

Лабораторная работа № 4. Переходные процессы в цепях первого и второго порядка

 

Цель работы: получение навыков экспериментального исследования переходных процессов в цепи с одним накопителем энергии (конденсатором) и с двумя накопителями энергии.

Подготовка к работе:

Что такое переходные процессы и в результате чего они возникают? В каких цепях имеют место переходные процессы?

Переходные процессы — процессы, возникающие в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих к изменению их режима работы, то есть при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например, ключей, переключателей для включения или отключения источника или приёмника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.

Физическая причина возникновения переходных процессов в цепях — наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, то есть индуктивных и ёмкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов не может изменяться скачком при коммутации (процесс замыкания или размыкания выключателей) в цепи.

2) Записать законы коммутации.

Ток через индуктивный элемент L непосредственно до коммутации i_L (0^-) равен току во время коммутации и току через этот же индуктивный элемент непосредственно после коммутации i_L (0⁺), так как ток в катушке мгновенно измениться не может:

 

 

Напряжение на конденсаторе С непосредственно до коммутации U_C (0^-) равно напряжению во время коммутации и напряжению на конденсаторе непосредственно после коммутации U_C (0⁺), так как невозможен скачок напряжения на конденсаторе:

 

3) Что такое переходный, принуждённый и свободный токи?

Переходный ток - процесс перехода электрического тока из одного состояния в другое (включение, выключение, переключение, изменение параметров элементов цепи и др.)

Принужденный ток - принужденный ток, определяется в установившемся режиме после коммутации. Этот ток создается внешним источником питания. Если в цепь включен источник постоянной ЭДС, принужденный ток будет постоянным, если в цепи действует источник синусоидальной ЭДС, принужденный ток изменяется по периодическому, синусоидальному закону

Свободный ток - свободный ток, определяется в схеме после коммутации, из которой исключен внешний источник питания. Свободный ток создается внутренними источниками питания: ЭДС самоиндукции индуктивности или напряжением заряженной емкости.

4) Каков физический смысл постоянной времени цепи? Чему равна постоянная времени цепи R-C?

Постоянная времени цепи – это время за которое свободная составляющая напряжением или тока изменится в «е» раз.

5) Что называют коэффициентом затухания цепи?

6) Привести уравнения, по которым изменяются u_C(t), i_C(t) при коротком замыкании цепи R-C, начертить графики u_C(t), i_C(t).

7) Записать уравнение по второму закону Кирхгофа для свободных составляющих напряжений цепи R-L-C и соответствующее ему характеристическое уравнение.

По второму закону Кирхгофа t ≥ 0 имеем:

.

Учитывая, что , получаем дифференциальное уравнение второго порядка для свободной составляющей напряжения

.

Характеристическое уравнение при этом имеет вид:

.

Характер электромагнитных процессов в контуре зависит от соотношения параметров R, L, С, входящих в выражение для корней характеристического уравнения

.

В зависимости от знака подкоренного выражения корни могут быть вещественными или комплексно-сопряженными. Они определяют характер свободных составляющих переходных токов и напряжений.

8) При каких корнях характеристического уравнения в цепи R-L-C возникает апериодический разряд конденсатора? Написать уравнения для u_C(t), i(t), u_L(t) при апериодическом разряде конденсатора. Привести графики этих величин.

Пусть корни характеристического уравнения вещественны и отличны друг от друга. Это имеет место при условии

.

Так как и и, кроме того, , то при изменении t от 0 до ∞ величины и убывают от 1 до 0 и при том разность всегда положительна.

Ток i не меняет своего направления, т.е. конденсатор все время разряжается. Такой односторонний разряд конденсатора называют апериодическим.

В интервале времени 0 < t < t_m ток по абсолютному значению возрастает и достигает максимума при . Значение t_m находится из условия . В интервале времени t_m < t < ∞ ток по абсолютному значению убывает, стремясь к нулю.

Рассмотрим случай, когда корни характеристического уравнения вещественны и равны друг другу.

Это происходит при , т.е. при . В этом случае . При этом выражения для тока и напряжения становятся неопределенными из-за равенства нулю числителя и знаменателя. Раскроем эти неопределенности по правилу Лопиталя, считая, что p₁ – переменная и стремится к . Для тока получим

 

 

 

9) При каких корнях характеристического уравнения в цепи R-L-C возникает колебательный разряд конденсатора? Написать уравнения для u_C(t), i(t), u_L(t) при колебательном разряде конденсатора. Привести графики этих величин.

 

Пусть корни характеристического уравнения являются комплексными. Это имеет место при условии , т.е. при . Обозначим . Тогда корни характеристического уравнения запишутся:

, (9.43)

где . Угол Q лежит в пределах , так как и .

Переходный ток

Кривая тока i подобна кривой Ri. Процесс в данном случае является колебательным. Ток и напряжение на всех участках периодически меняют знак. Амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону, в цепи совершаются затухающие колебания. Угловая частота этих колебаний

.

 

10) Что такое логарифмический декремент колебания?

Логарифмический декремент колебаний — безразмерная физическая величина, описывающая уменьшение амплитуды колебательного процесса и равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колеблющейся величины в одну и ту же сторону:

Логарифмический декремент колебаний

;

 

11) Что такое критическое сопротивление цепи R-L-C? Что такое критический режим цепи R-L-C?

При соотношении параметров контура из конденсатора, катушки и резистора

,

где R_КР - критическое сопротивление резистора R, корни характеристического уравнения контура вещественные, равные и отрицательные:

p₁ = p₂ = p = -R / (2L).

Переходный процесс получается апериодическим, но граничным с колебательным процессом. Переходный ток и переходное напряжение в этом случае имеют вид:

u_C = (A₁ + A₂ t) e^pt;

.

R² = 4L/C

Данный режим можно назвать граничным или критическим. Здесь оба корня характеристического уравнения совпадают, но при этом являются действительными и отрицательными. Общее решение уравнения выражается функцией.

 

Задание к выполнению работы

 

1. Собрать цепь (см. рисунок 5.1).

2. Установить значения Uвх, R и C согласно варианту (см. таблицу 5.1), R₁=100-300 Ом.

3. На вход осциллографа подать напряжение с конденсатора.

4. Срисовать в масштабе полученную кривую u_C(t).

Рисунок 5.1

 

 

Рисунок 5.2

 

Таблица 5.1

№ варианта	Uвх,В	R,Ом	С,мкФ

 

Таблица 5.2

№ варианта	Uвх,В	R,Ом	С,мкФ

Таблица 5.3

№ варианта	R, Ом	L, мГн	С, мкФ

5.2.5 Изменить согласно варианту один из параметров цепи (см. таблицу 5.2), срисовать в масштабе новую кривую u_C(t), совместив ее с первой. Сравнить полученные кривые.

5.2.6 Собрать цепь (см. рисунок 5.2)

5.2.7 Установить значения R, L и C согласно варианту (см. таблицу 5.3). Измерить сопротивление катушки Rк. Напряжение на входе U_вх установить порядка 20-30В, R₁=50-300 Ом.

5.2.8 На вход осциллографа подать напряжение с конденсатора.

5.2.9 Исследовать колебательный разряд конденсатора, срисовать в масштабе осциллограмму напряжения u_C(t).

5.2.10 Добиться критического режима в цепи, меняя сопротивление R. Записать величину полученного сопротивления R_кр (эксп). Учесть сопротивление катушки Rк. Зарисовать полученную осциллограмму напряжения u_C(t).

5.2.11 Увеличить сопротивление цепи R в 2 раза по сравнению с критическим. Зарисовать осциллограмму напряжения u_C(t) при апериодическом разряде конденсатора.